K［Z（n），σ］上的分次擴張

王苗苗 梁婕

摘?要：設V是除環K的全賦值環，Aut（K）是K的自同構群，Z是整數加群，σ：Z（n）→Aut（K）是一個群同態。K［Z（n），σ］是Z（n）在K上的斜群環，K（Z（n），σ）是K［Z（n），σ］的商除環.設單同態i：Z（n-1）→Z（n），將Z（n-1）自然地嵌入Z（n）的前n-1個分量，則τ=σ°i：Z（n-1）→Aut（K）是一個群同態，此時斜群環K［Z（n-1），τ］可以自然地看作是KZ（n），σ的子環.令D=K（Z（n-1），τ），則D是K［Z（n-1），τ］的商除環.令Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1）.假設A是V在KZ（n），σ上的分次擴張，Jg（A）是A的分次Jacobson根，則AJg（A）是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴張.假設AJg（A）∩D=S0，AJg（A）∩DY，Y-1；θ=B，可以得出B是S0在DY，Y-1；θ上的分次擴張.

關鍵詞：全賦值環；分次擴張；高斯擴張；商除環

中圖分類號：O153.3??文獻標識碼：A?AMS（2000）主題分類號：16W50

Abstract：Let?V?be?a?total?valuation?ring?of?a?division?ring?K，Aut（K）?be?the?group?of?automorphisms?of?K，Z?be?the?additive?group?of?integers，and?σ：Z（n）→Aut（K）?be?a?group?homomorphism.Let?KZ（n），σ?be?the?skew?group?ring?of?Z（n）?over?K，K（Z（n），σ）?be?the?quotient?division?ring?of?KZ（n），σ.Let?the?injective?i：Z（n-1）→Z（n）?embed?Z（n-1）?naturally?into?the?front?n-1?components?of?Z（n），then?τ=σ°i：Z（n-1）→Aut（K）?is?a?group?homomorphism，and?the?skew?group?ring?K［Z（n-1），τ］?can?be?naturally?regarded?as?a?subring?of?KZ（n），σ.Let?D=K（Z（n-1），τ），then?D?is?the?quotient?division?ring?of?K［Z（n-1），τ］.Let?Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1）.Suppose?that?A?is?a?graded?extension?of?V?in?KZ（n），σ?and?Jg（A）?is?the?graded?Jacobson?radical?of?A，then?AJg（A）?is?a?Gauss?extension?of?V?in?K（Z（n），σ）.Assuming?AJg（A）∩D=S0，AJg（A）∩DY，Y-1；θ=B，it?follows?that?B?is?a?graded?extension?of?S0?in?D［Y，Y-1；θ］.

Keywords：total?valuation?ring；graded?extension；gauss?extension；quotient?division?ring

1?概述

設V是除環K的全賦值環，σ：Z（n）→Aut（K）是一個群同態.本文將研究K［Z（n），σ］上的分次擴張。2007年，Brungs等人在文獻［1］中提出了張量積中全賦值環的分次擴張問題，并證明了分次擴張的集合與高斯擴張的集合之間有一個一一對應的關系，故為了研究高斯擴張，可以研究與其對應的分次擴張.另外，分次擴張是一類重要的分次代數，其本身也具有重要的研究價值.他們研究了分次擴張A與之對應的高斯擴張的性質，之后出現了許多相關問題的研究.2007年，謝光明和Marubayashi在文獻［2］中詳細地研究了K（X，σ）上的高斯擴張.斜羅朗多項式環是一類重要的環，謝光明和Marubayashi對斜羅朗多項式環K［X，X-1；σ］上分次擴張的完全分類進行了研究，得到了很多有價值的研究成果.在文獻［3］和［4］中，他們根據A1和A-1的性質，把斜羅朗多項式環K［X，X-1；σ］上的分次擴張，分成了8種不同的類型，分別是（a）類，（b）類，（c）類，（d）類，（e）類，（f）類，（g）類和（h）類分次擴張，并對每一類分次擴張的結構進行了詳細的刻畫.2010年，謝光明等人在文獻［5］中對分次擴張的性質進行了詳細的討論，他們把K［X，X-1；σ］上的分次擴張分為類型（Ⅰ）和類型（Ⅱ），并證明了：A是類型（Ⅰ）的分次擴張當且僅當A是（a）類，（b）類，（c）類，（d）類，（f）類或（g）類分次擴張，A是類型（Ⅱ）的分次擴張當且僅當A是（e）類或（h）類分次擴張.2010—2012年之間，謝光明等人在文獻［67］中對K（X，σ）上高斯擴張的商除環等問題進行了探討.2009年，謝光明等人在文獻［8］中對K［Z（2），σ］上的平凡分次擴張進行了完全的刻畫，但對KZ（2），σ上一般類型的分次擴張，現在的研究還相對較少.2017年，李海賀在文獻［9］中研究了域上群環KZ（n）上分次擴張問題，并完全刻畫了KZ（n）上的分次擴張.2021年，羅鑫鑫在文獻［10］中對斜群環K［Z（n），σ］上的平凡分次擴張進行了刻畫.但對K［Z（n），σ］上一般類型的分次擴張，目前研究的非常少，本文將探索相關問題.

2?預備知識

本小節，將介紹一些相關的重要概念.

定義1［3］：設K是一個除環，若對k∈K，k≠0，有k∈V或k-1∈V，則稱V是K的一個全賦值環.

定義2［3］：設A是K［Z（n），σ］的子環，若對0≠α∈A，設α=a1Xk1+…+anXkn，有ajXkj∈A（1SymbolcB@

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n），則稱A是K［Z（n），σ］上的分次子環.

定義3［3］：設A=μ∈Z（n）AμXμ是K［Z（n），σ］上的分次子環，若對aXμ∈K［Z（n），σ］，有aXμ∈A或（aXμ）-1∈A，則稱A是K［Z（n），σ］上的分次全賦值環.

定義4［3］：設A=μ∈Z（n）AμXμ是K［Z（n），σ］上的分次全賦值環，若A0=V，則稱A是V在K［Z（n），σ］上的分次擴張.

定義5［11］：設A=μ∈Z（n）AμXμ是V在K［Z（n），σ］上的分次擴張，則稱A的分次極大左理想的交Jg（A）是A的分次Jacobson根.

定義6［1］：設R是K（Z（n），σ）上的一個全賦值環，R∩K=V.如果R滿足下述條件：對α=a1Xμ1+a2Xμ2+…+amXμm∈K［Z（n），σ］，當aiXμiRajXμjR（1SymbolcB@

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m）時，必定有αR=aiXμiR.則稱R是V在K（Z（n），σ）上的一個高斯擴張.

定義7［11］：設R是整環，若對任意的a，b∈R，b≠0，存在c，d∈R，d≠0.使得da=cb，則稱R滿足左Ore條件或稱R是一個左Ore集.

3?K［Z（n），σ］上的分次擴張

設V是除環K的全賦值環，σ：Z（n）→Aut（K）是一個群同態，KZ（n），σ=∑mi=1aiXui|ai∈K，ui∈Z（n）是Z（n）在K上的斜群環，則對任意的a∈K，u∈Z（n），Xua=σ（u）（a）Xu.KZ（n），σ有一個商環K（Z（n），σ）.設l：Z（n-1）→Z（n）自然地將Z（n-1）嵌入Z（n）的前n-1個分量.令τ=σ°l：Z（n-1）→Aut（K），則有環的單同態：

f：K［Z（n-1），τ］→KZ（n），σ；

∑aiXμi→∑aiXl（μi）.

所以我們可以將K［Z（n-1），τ］看作KZ（n），σ的一個子環.設D=K（Z（n-1），τ），則D可自然地看作K（Z（n），σ）的一個子除環.在本文中，令Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1），則KZ（n），σ可看作是D上的斜羅朗多項式環，即KZ（n），σ=D［Y，Y-1；θ］.在本文中，我們將研究KZ（n），σ上的分次擴張與D［Y，Y-1；θ］上分次擴張的密切聯系.

引理1［11］：設R是一個整環且R是一個左Ore集.則對任意的δ1，δ2，…，δn∈R且δ1≠0，δ2≠0，…，δn≠0，存在η1，η2，…，ηn∈R且η1≠0，η2≠0，…，ηn≠0，使得η1δ1=η2δ2=…=ηnδn.

引理2［1］：設A=μ∈Z（n）AμXμ是V在KZ（n），σ上的分次擴張，A0=V，Jg（A）是A的分次Jacobson根，那么Jg（A）是可局部化的，并且R=AJg（A）是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴張.

引理3［1］：設R是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴張，那么A=R∩KZ（n），σ是V在KZ（n），σ上的一個分次擴張，并且Jg（A）=J（R）∩KZ（n），σ，R=AJg（A）.

引理4［1］：V在KZ（n），σ上的所有分次擴張組成的集合與V在K（Z（n），σ）上的所有高斯擴張組成的集合之間存在一個雙射φ，且具體的映射方式為φ：A→φ（A）=AJg（A），φ-1：R→φ-1（R）=R∩KZ（n），σ.

其中A是V在KZ（n），σ上的一個分次擴張，R是V在K（Z（n），σ）上的一個高斯擴張.

引理5：設A是V在KZ（n），σ上的分次擴張，R=AJg（A），將D=K（Z（n-1），τ）看作K（Z（n），σ）的子除環.則對λ∈D，λ≠0，有（λR）∩D=λ（R∩D）.

證明：對λ∈D，λ≠0.顯然（λR）∩Dλ（R∩D）成立.另一方面，對α∈（λR）∩D，存在β∈R，使得α=λβ，則β=λ-1α∈D，故α=λβ∈λ（R∩D），從而（λR）∩Dλ（R∩D）.因此對λ∈D，λ≠0，有（λR）∩D=λ（R∩D）.

類似于參考文獻［3］中引理1.1的證明，我們可得下面的引理6和引理7.

引理6：B=j∈ZSjYj是D［Y，Y-1；θ］上的一個子集，S0是D的全賦值環，則B是S0在D［Y，Y-1；θ］上的一個分次擴張當且僅當

（1）對任意的j∈Z，Sj是D的一個加法子群；

（2）對任意的j1，j2∈Z，都有Sj1θj1（Sj2）Sj1+j2；

（3）對任意的j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D.

引理7：設A=μ∈Z（n）AμXμ是KZ（n），σ的一個子集，A（0，0，…，0）=V，則A是V在KZ（n），σ的一個分次擴張當且僅當

（1）對任意的μ∈Z（n），Aμ是K的一個加法子群；

（2）對任意的μ1，μ2∈Z（n），Aμ1σ（μ1）（Aμ2）Aμ1+μ2；

（3）對任意的μ∈Z（n），Aμ∪σ（μ）（A--μ）=K.

定理1：設A是V在KZ（n），σ上的分次擴張，R=AJg（A），將K［Z（n-1），τ］看作KZ（n），σ的一個子環，將D=K（Z（n-1），τ）看作K（Z（n），σ）的子除環.令R∩DYj=SjYj，則：

（1）S0是V在D上的高斯擴張；

（2）B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴張.

證明（1）當j=0時，R∩D=S0.由引理2可得，R是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴張，則R是K（Z（n），σ）上的一個全賦值環.對λ∈D，有λ∈R或λ-1∈R，從而λ∈S0或λ-1∈S0，故S0是D的全賦值環.并且S0∩K=（R∩D）∩K=R∩（D∩K）=R∩K=V.對0≠λ′∈KZ（n-1），τ，設λ′=a1Xk1+…+asXks，則存在t，使得atXktRajXkjR（1SymbolcB@

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s）.因R是V在K（Z（n），σ）的高斯擴張，則λ′R=atXktR，由引理5可得λ′S0=λ′（R∩D）=（λ′R）∩D=（atXktR）∩D=atXkt（R∩D）=atXktS0.

因此S0是V在D上的高斯擴張.

（2）由題設條件可知，B=R∩DY，Y-1；θ，B=∑ajYj|aj∈D，∑ajYj∈R.對0≠α∈B，設α=δ-11γ1Yl1+…+δ-1sγsYls，其中δ1，…，δs，γ1，…γs∈K［Z（n-1），τ］且δ1≠0，…，δs≠0.由引理1可得，存在η1，η2，…，ηs∈KZ（n-1），τ且η1≠0，η2≠0，…，ηs≠0，使得η1δ1=η2δ2=…=ηsδs.則

（η1δ1）α=（η1δ1）（δ-11γ1Yl1+…+δ-1sγsYls）

=η1γ1Yl1+…+ηsγsYls

α′∈KZ（n-1），τY，Y-1；θ=KZ（n），σ.

從而存在m，使得ηmγmYlmRηjγjYljR（1SymbolcB@

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s）.因R是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴張，則α′R=ηmγmYlmR.因αR=（η1δ1）-1α′R=（η1δ1）-1ηmγmYlmR=δ-1mγmYlmR，并且δ-1jγjYljRδ-1mγmYlmR=αRR.則δ-1jγjYlj∈R，故δ-1jγjYlj∈B，因此B是D［Y，Y-1；θ］的一個分次子環.

因DY，Y-1；θ=KZ（n），σK（Z（n），σ），則對βYj∈D［Y，Y-1；θ］，有βYj∈R或（βYj）-1∈R，從而βYj∈B或（βYj）-1∈B，因此B是D［Y，Y-1；θ］的一個分次全賦值環.故B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴張.

根據引理4和定理1可得，R=AJg（A）且R=BJg（B），所以AJg（A）=BJg（B）.

上述定理的逆命題也成立.

定理2：將K［Z（n-1），τ］看作K［Z（n），σ］的子環.設S0是V在D=K（Z（n-1），τ）上的高斯擴張，B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴張.令Sj∩KXυ=A（υ，j）Xυ，υ∈Z（n-1）.則A=μ∈Z（n）AμXμ=υ∈Z（n-1），j∈ZA（υ，j）X（υ，j）是V在KZ（n），σ上的分次擴張，并且AJg（A）=BJg（B）.

證明：因B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴張.由引理6可得，則對j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D，且對j1，j2∈Z，都有Sj1θj1（Sj2）Sj1+j2.因Sj∩KXυ=A（υ，j）Xυ，則A（0，0，…，0）=S0∩K=V，且對υ1，υ2∈Z（n-1），j1，j2∈Z，都有

A（υ1，j1）σ（υ1，j1）（A（υ2，j2））Xυ1+υ2=（A（υ1，j1）Xυ1）θj1（A（υ2，j2）Xυ2）

=（Sj1∩KXυ1）θj1（Sj2∩KXυ2）

Sj1θj1（Sj2）∩KXυ1+υ2

Sj1+j2∩KXυ1+υ2

=A（υ1+υ2，j1+j2）Xυ1+υ2.

則對υ1，υ2∈Z（n-1），j1，j2∈Z，都有A（υ1，j1）σ（υ1，j1）（A（υ2，j2））A（υ1+υ2，j1+j2）.

對υ∈Z（n-1），j∈Z，0≠a∈K.假設aA（υ，j），則aXυA（υ，j）Xυ=Sj∩KXυ，故aXυSj.因j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D，則aXυ∈θj（S--j），故（θ-j（aXυ））-1=θ-j（X-υa-1）=θ-j（τ（-υ）（a-1）X-υ）=σ（-υ，-j）（a-1）X-υ∈S-j.

從而σ（-υ，-j）（a-1）X-υ∈S-j∩KX-υ=A（-υ，-j）X-υ，則a∈σ（υ，j）（A-（-υ，-j））.因此對υ∈Z（n-1），j∈Z，都有A（υ，j）∪σ（υ，j）（A-（-υ，-j））=K.

由引理7可得，A=μ∈Z（n）AμXμ=υ∈Z（n-1），j∈ZA（υ，j）X（υ，j）是V在KZ（n），σ上的分次擴張.由引理4和定理1可知，AJg（A）=BJg（B）.

結語

本文主要討論了KZ（n），σ上的分次擴張與D［Y，Y-1；θ］上分次擴張的密切聯系.通過定理1可得，已知KZ（n），σ上的一個分次擴張A，可以構造出D［Y，Y-1；θ］上的一個分次擴張B，通過定理2可得，已知D［Y，Y-1；θ］上的一個分次擴張B，可以構造出KZ（n），σ上的一個分次擴張A.并且滿足性質AJg（A）=BJg（B）.比較定理1與定理2可得，定理1與定理2互為逆命題.

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作者簡介：王苗苗（1995—?），女，漢族，河南周口人，碩士，現就讀于廣西師范大學數學與統計學院，研究方向：代數及其應用。