小學數學實驗的設計邏輯和實施策略
——“三角形的內角和”的教學與思考

文| 錢 滔

（作者單位：江蘇省常熟市凱文小學）

數學實驗在學生理解數學概念方面起著重要的作用。其作為學生動手操作的載體，對于培養學生的數學核心素養有著顯著的促進作用。然而，許多教師在開展數學實驗時面臨學生操作不順、無所獲的問題。下面結合“三角形的內角和”一節，對數學實驗的設計邏輯和實施策略進行探討。這個過程強調了優化實驗流程、細化操作指導和引導學生說理驗證的重要性，可以幫助教師更好地發揮數學實驗課的教學價值，促進學生數學核心素養的全面發展。

一、研究緣起：為什么要研究“三角形的內角和”

“三角形的內角和”的證明需要平行線公理的加持，因此小學階段學生是無法對其進行證明的。通過學情前測不難發現，班內或多或少有學生已經知道三角形內角和是180°了，那本課教學的核心問題是什么？應該培養學生哪方面的素養？這引發了對數學實驗課程的思考和研究，希望通過優化數學實驗流程、發展學生的說理能力來解決這一核心問題，提高學生的數學素養和推理能力。因此，本次研究旨在探討如何在“三角形的內角和”這一數學實驗課中有效地進行數學實驗，引導學生更好地理解數學概念，并培養其數學素養和推理能力。

二、教前思考：怎樣教學“三角形的內角和”

既然不少學生已經知道三角形的內角和是180°，教師教學時可以直面學情，啟發學生思考下面兩個問題：（1）真的是180°嗎？（2）用什么方法來證明？這樣的引導可以激發學生的思考和好奇心，引導他們主動探索和學習。在數學實驗課中，教師可以設計一些簡單的實驗活動，讓學生通過實際操作來發現三角形的內角和，如通過剪紙、折紙或者利用幾何畫板進行模擬實驗等。這樣的實踐操作能夠幫助學生更直觀地理解三角形內角和的性質，激發他們對數學學習的興趣，并培養他們的觀察、實驗和推理能力。此外，教師還可以設計一些啟發性的問題，引導學生進行討論和交流，促進他們的合作和思維碰撞。這樣的教學方式不僅可以加深學生對“三角形的內角和”的理解，還可以培養他們的邏輯思維能力和表達能力。

三、教學實踐：數學實驗設計的邏輯和實施

小學數學實驗要從明確活動要求、強化示范指導、提高實驗效率、重視說理驗證等方面下功夫。下面結合“三角形的內角和”一節談談具體的做法。

（一）模擬實驗——激發數學實驗需求

課標中指出：要利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗，將抽象的數學知識直觀化，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構。數學實驗的開展必須有實驗的動機，倘若學生已經知道結果，就會大大降低其探究欲望，影響實驗效果，阻礙學生數學思維的發展。

常規教學：通過問題“對于三角形的內角和你知道些什么”了解學生的學情，發現已有不少學生知道“三角形的內角和是180°”，而后進行量角實驗，這時總有學生會把內角和180°當作已知條件，在量出兩個角的度數后，如31°、48°，接著根據“兩個角的度數和”想辦法去湊180°，通過計算得到第三個角的度數是101°后再去量。交流環節看似很流暢，學生測得的數據都是180°，得出了結論，其實這是無效實驗。

教學重構：教師利用幾何畫板呈現任意正方形和長方形，通過“拖動”操作，改變正方形的邊長和長方形的長與寬，讓學生發現內角和固定不變，都是90×4=360（度）。

接著，教師利用“運動控制臺”工具，呈現一個在運動中不斷改變形狀的三角形。學生發現，隨著三角形形狀的變化，其三個內角的度數也在不斷變化。在觀察示范實驗的過程中，學生提出以下問題：（1）內角的度數在不斷變化，那內角和是不是也在不斷變化呢？（2）假如內角和是固定的，那會是多少度呢？（3）假如內角和真的是固定不變的，為什么內角的度數在改變，內角和卻是固定不變的呢？這些問題正是本節課要研究的核心問題。

不少學生由于親眼看到內角的度數隨著三角形形狀的變化在不斷變化，甚至覺得三角形的內角和就是會變化的！這種錯誤的直覺，正好引發了后續進行數學實驗的需要。

（二）摸底學情——優化實驗實施方案

學生是學習的主體，但同時也都是獨立的個體。每位學生的學情各不相同，所以數學實驗應該基于學生的學情進行設計，且分工要有層次性，流程應盡可能清楚。

常規教學：教師提出活動要求——4 人小組每人任意畫一個三角形，然后標上“∠1、∠2、∠3”，接著量出三角形每個內角的度數，再把它們加起來填到小組活動記錄表中，最后觀察組內其他同學的測量數據。

數學實驗流程看似簡單、清晰，活動也設計得非常開放，“自主畫”“任意畫”的活動要求使得被測量的三角形更具隨機性，但是筆者忽略了非常重要的一點，那就是“學生的個體差異”。在執教過程中（本次執教班級45 人），多達27%的學生誤差過大（內角和超過200°）。由于任意畫三角形，個別學生內角度數出現小數，因此無法準確讀數；還有個別后進生不會測量，誤差更大。千奇百怪的實驗數據導致課堂教學難以推進。

教學重構：教師給每個四人小組準備了活動材料，組長按要求從材料袋中取出3 種顏色的三角形各1 個、學習單1 張、小組活動記錄表1 張，用于數據的匯總。

出示活動要求：首先組長將三角形發給組員，組員用量角器量出∠1、∠2、∠3 的度數，算出內角和。然后，組長在學習單上任意畫一個三角形，量出3 個內角的度數，算出內角和，測量完后把數據填寫到小組活動記錄表中。為了測量方便，教師為每個小組準備了銳角三角形（三個角分別為50°、60°、70°）、直角三角形（三個角分別為30°、60°、90°）和鈍角三角形（三個角分別為20°、30°、130°），讓組員進行測量，同時準備了學習單，讓每個小組的組長任意畫出三角形，測量，然后計算內角和。這樣的設計不僅照顧了學生的個體差異，同時兼顧了素材的多樣性。本次執教班級44 人（11 個小組），要求每位組長提供一組關于內角和的隨機數據。

在展示實驗數據環節，雖然測量的都是相同形狀的三角形，但是由于測量存在誤差，學生測量計算得到的內角和數據都在180°左右。交流完數據后，學生提出猜測：三角形的內角和應該在180°左右，真的是這樣嗎？其他形狀三角形的內角和也在180°左右嗎？部分學生半信半疑。這時，教師亮出11 位組長測量的隨機三角形的內角和數據。學生發現，這么多隨機畫出的三角形內角和也都在180°左右，這樣就堅定了大家的猜測。

（三）示范指導——細化實驗操作流程

教師是教學活動的組織者和引導者。數學家的舉世發明尚需時間。讓幾個小學生在有限的數學課堂中進行發明創造并非易事。倘若教師任由學生操作，多半會無功而返。為此，不論是數學實驗活動，還是日常數學教學，教師都應該在學生自主學習時加強巡視，并及時給予點撥和幫助。

常規教學：教師讓學生通過剪一剪、折一折的方法自主驗證，然后組織學生匯報。這種教學方法的弊端是學生可能只是機械地進行剪紙和折紙的操作，而缺乏對數學原理的深刻理解。他們可能只是按照老師的要求進行實驗，而沒有真正理解其中蘊含的數學道理。

教學重構：通過核心問題“不測量，不計算，你能想辦法求出三角形的內角和嗎”引領學生思考。另外，利用成果展示板催生更多求三角形內角和的方法：“把你們小組的方法粘貼到成果展示板上后，想想是否還有不同的方法。”

通過小組合作，本次執教不僅呈現出1、2、3 這3 種常規方法，還出現了4、5、6 這3 種預設之外的素材（見圖1），不過只要言之有理，都是好素材。豐富的實驗成果更加堅定了學生對三角形內角和是180°的信念。此時，教師引導學生進行說理驗證，自然水到渠成！

圖1

（四）說理驗證——完善數學實驗結果

數學結論的得出要經歷系統論證的過程。學生假如僅通過不完全歸納就得出了結論，對數學思維嚴謹性的培養是不利的。不管是測量法還是剪拼成平角，都不可避免存在誤差，要想繞過平行線公理對三角形的內角和進行說明，就要利用數學小故事啟發學生思考。

教學時，教師通過呈現數學故事“因為長方形的內角和總是360°，聰明的帕斯卡通過把長方形分成兩個完全相同的三角形，從而解釋了為什么三角形的內角和總是180°”，引導學生進行說理驗證：①任意長方形沿對角線對折都可以分成兩個完全相同的直角三角形。（見圖2）②因為∠1+∠2=90°，∠2=∠3，所以∠1+∠3 也等于90°。③其再加上直角就是180°。通過說理，學生發現：因為任意直角三角形中兩個銳角的和總是90°，所以再加上一個直角后，任意直角三角形的內角和就一定是180°。

圖2

用同樣的方法，把任意三角形沿高分成兩個直角三角形后（見圖3），再次讓學生先交流后說理。預設1：①因為∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°。②90+90=180（度）預設2：①左邊直角三角形內角和為180°，右邊直角三角形內角和為180°，加起來一共360°。②去掉中間兩個直角的度數，360-180=180（度）。

圖3

通過這種多角度的探討和說理，學生不僅能夠驗證數學結論的正確性，而且能夠體會到數學思維的嚴謹性和邏輯性。最后，教師利用幾何畫板軟件進行示范實驗（仍用圖3 中的三角形），對三角形的三個頂點進行“拖動”操作，呈現任意三角形。學生發現不管三角形的形狀如何改變，∠1 加∠2 總是等于90°，∠3 加∠4 也總是等于90°，合起來就是180°?？磥恚还苋切涡螤钊绾巫兓?，內角和總是180°。這樣的教學有助于學生初步養成講道理、有條理的思維品質。

四、教學啟示

合理的實施策略是數學實驗教學的關鍵所在。首先，在設計實驗時，教師要充分考慮學生的學習需求和個體差異。為每個小組準備不同形狀的三角形和活動材料，設置明確的活動要求，可以激發學生的學習興趣，同時也照顧了學生的個體差異，兼顧了素材的多樣性。其次，在實驗過程中，教師的示范指導和引導也非常關鍵。教師要通過引導學生自主探究，讓他們在實驗中發現規律，并進行說理驗證，從而深化對數學概念的理解。另外，摸底學情也是非常重要的一環。實驗前，教師可以通過提問或者小測驗等方式了解學生對三角形內角和概念的掌握情況，有針對性地進行實驗設計和教學引導，從而更好地滿足學生的學習需求。最后，說理驗證是教學實踐中的重要環節。進行說理驗證，可以幫助學生鞏固所學知識，培養邏輯思維能力，也能夠讓學生更深入地理解數學概念。在說理驗證的過程中，學生不僅能夠發現數學知識的規律，還能夠培養邏輯思維和表達能力。

綜上所述，數學實驗對于培養學生理性思維有著不可或缺的作用。數學教學不僅僅要告訴學生結論，更重要的是教會學生如何進行數學思考和數學表達。通過這樣的教學，學生能夠在未來的學習和工作中更好地應用數學知識解決實際問題。教師只有不斷在細化實驗流程、強化示范指導、啟發說理表達上下功夫，才能充分發揮數學實驗課的價值，使發展學生數學核心素養的工作落到實處！