一類具有弱Allee效應(yīng)離散捕食系統(tǒng)的1∶4共振

楊金玲, 鄧圣福

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

在許多生物數(shù)學(xué)模型中,捕食者-獵物模型一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)之一,它在人口動(dòng)力學(xué)行為中扮演著十分重要的角色。對(duì)于離散模型的研究,很多學(xué)者做出了重要的貢獻(xiàn)。例如,Huang等[1]分析具有Holling Ⅳ函數(shù)的非單調(diào)功能反應(yīng)的捕食者-獵物模型的分岔。 Zhong等[2]研究具有強(qiáng)Allee效應(yīng)[3]的捕食者-獵物模型,并對(duì)不動(dòng)點(diǎn)附近的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行討論。Chen等[4]研究具有Allee效應(yīng)的捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。Wang等[5]討論Allee效應(yīng)對(duì)獵物和捕食者種群的穩(wěn)定作用。Zhang等[6-7]研究具有強(qiáng)Allee效應(yīng)的捕食系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的1∶2共振,還研究具有弱Allee效應(yīng)的捕食系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的1∶2和1∶3共振。更多有關(guān)Allee效應(yīng)的研究參見文獻(xiàn)[8-14]。

考慮具有弱Allee效應(yīng)的離散捕食系統(tǒng)[15],有

(1)

(2)

則不動(dòng)點(diǎn)E*是一個(gè)正的不動(dòng)點(diǎn)。Zhang等[7]等研究系統(tǒng)(1)在不動(dòng)點(diǎn)E*處的1∶2和1∶3共振,發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)會(huì)發(fā)生Neimark-Sacker分岔、倍周期分岔等,并采用混合控制策略控制1∶2和1∶3共振。然而,系統(tǒng)(1)在不動(dòng)點(diǎn)E*處的1∶4共振還未被分析。因此,本文對(duì)一類具有弱Allee效應(yīng)離散捕食系統(tǒng)的1∶4共振進(jìn)行研究。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮不動(dòng)點(diǎn)為x=0的映射,有

x→F(x)=Ax+f2(x)+f3(x)+…+fr-1(x)+O(|x|r),x∈Rn。

(3)

式(3)中:A為Jacobian矩陣;fs(x)是Cr光滑的s次多項(xiàng)式向量值函數(shù),fs(x)=O(|x|s),即

考慮近似恒同變換

(4)

G(y)=H-1°F°H(y),

則可以將式(3)化為

G(y)=Ay+f2(y)+…+fs-1(y)+[fs(y)-(hs(Ay)-Ahs(y))]+O(|y|s+1)。

式中:|y|?1。

每次變換后,再將y換回x,最后可以將式(3)化為

G(x)=Ax+g2(x)+…+gr-1(x)+O(|x|r),gs(x)∈Gs。

(5)

定義1[16]映射(5)的j次截取式(2≤j≤r-1),即映射(3)的j次正規(guī)形為

Ax+g2(x)+…+gj(x)。

式中:gi(x)∈Gi,i=2,…,j。

系統(tǒng)(1)可以寫成一個(gè)平面映射,即

(6)

其Jacobian矩陣為

J(x,y)的特征方程為

p(λ)=λ2+Q(x*,y*)λ+S(x*,y*)。

對(duì)1∶4共振進(jìn)行研究,對(duì)應(yīng)于不動(dòng)點(diǎn)E*附近有特征值±i,即p(λ)=λ2+1,將其與p(λ)的表達(dá)式進(jìn)行比較,可得Q(x*,y*)=0,S(x*,y*)=1。由此可得

(7)

(8)

其中有

(9)

將系統(tǒng)(9)代入系統(tǒng)(8),有

(10)

(11)

(12)

2 主要結(jié)論及證明

定理1對(duì)充分小的α=(α1,α2),映射(12)可經(jīng)光滑可逆變換化為

(13)

(14)

證明:取光滑的多項(xiàng)式變換

根據(jù)正規(guī)形理論[16]及計(jì)算,若取

式中:μ=μ(α),可以將映射(12)化為正規(guī)形(13)的形式。

H2,1(0),H0,3(0)是H2,1(α),H0,3(α)當(dāng)參數(shù)α取0時(shí)的結(jié)果,證畢。

為了將差分方程轉(zhuǎn)化為微分方程,用流去近似Γα(ω)。Γα(ω)的線性部分為

ω┃→μ(α)ω。

可以將μ(α)寫成指數(shù)的形式

μ(α)=eλ(α)=eε1(α)+iε2(α)。

定理2對(duì)充分小的α,映射(13)的第4次迭代可表示為

(15)

(16)

考慮非線性部分,對(duì)映射(13)進(jìn)行4次迭代,每一次迭代的形式分別為

對(duì)于充分小的|α|,由μ4(0)=1可知,映射Γα(ω)接近于恒同映射id(ω)=ω,故可用流的單位-時(shí)間位移進(jìn)行近似。對(duì)系統(tǒng)(15)進(jìn)行3次Picard迭代,即

考慮σ(α)的實(shí)部和虛部為新開折參數(shù)。假設(shè)

σ(α)=β(α)=β1(α)+iβ2(α),

把β1,β2作為參數(shù),其中,

式中:p1,p2分別為μ(α)的實(shí)部和虛部,顯然,

因此,將β作為參數(shù),則式(15)化為

(17)

對(duì)系統(tǒng)(17)進(jìn)行尺度變換,令ω=γ(β)η,γ(β)∈Cr,其中,

系統(tǒng)(17)可化為

(18)

最后,對(duì)系統(tǒng)(18)作極坐標(biāo)變換,令η=ρeiφ,有

(19)

式(19)中:a(β)=ReA(β);b(β)=ImA(β)。

由文獻(xiàn)[17]中的引理9.15,類似地,可得定理3。

定理3系統(tǒng)(18)有以下7種復(fù)雜的分岔曲線。

1) 系統(tǒng)(18)始終有平凡平衡點(diǎn)E0(0,0),且在E0處發(fā)生Hopf分支。此外,當(dāng)λ=-i時(shí),有一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán);當(dāng)λ=i時(shí),極限環(huán)消失。

2) 系統(tǒng)(18)的非平凡平衡點(diǎn)Sk,Ek(k=1,2,3,4)存在切(折)分支,在相應(yīng)的參數(shù)值處,8個(gè)非平凡平衡點(diǎn)出現(xiàn)或消失。

3) 非平凡平衡點(diǎn)Sk,Ek發(fā)生Hopf分支,從非平凡反鞍點(diǎn)Ek分支出4個(gè)“小”極限環(huán)。

4) 存在“小”同宿回路分支?！靶　杯h(huán)由Hopf分支產(chǎn)生,由于非平凡鞍點(diǎn)Sk的同宿軌道而消失。

5) 存在“方形”異宿環(huán)。

6) 存在“葉形”異宿環(huán)。根據(jù)鞍點(diǎn)量σ0=trΛ(Sk)的符號(hào),可以確定產(chǎn)生的是穩(wěn)定或不穩(wěn)定的“大”極限環(huán)。

7) “大”極限環(huán)的切(折)分支。在兩個(gè)“大”環(huán)處,外面的極限環(huán)穩(wěn)定,且兩個(gè)極限環(huán)碰撞并消失。

系統(tǒng)(18)的分支圖1～4[17],如圖1～4所示。

圖1 系統(tǒng)(18)的分支圖1 圖2 系統(tǒng)(18)的分支圖2Fig.1 Bifurcation diagram 1 of system (18) Fig.2 Bifurcation diagram 2 of system (18)

根據(jù)定理3,可以得到系統(tǒng)(1)的相關(guān)結(jié)論。顯然,系統(tǒng)(18)的平凡平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(1)的平凡不動(dòng)點(diǎn),系統(tǒng)(18)的4個(gè)非平凡對(duì)稱平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(1)的單個(gè)周期4環(huán)。系統(tǒng)(18)非平凡平衡點(diǎn)的切分支和Hopf分支對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(1)非平凡不動(dòng)點(diǎn)的切分支和Neimark-Sacker分支,系統(tǒng)(18)的同宿軌道和異宿軌道對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(1)的異宿結(jié)構(gòu),系統(tǒng)(18)的極限環(huán)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(1)的不變曲線。

3 數(shù)值模擬

對(duì)系統(tǒng)(1)的參數(shù)進(jìn)行賦值,模擬系統(tǒng)(1)的相關(guān)性質(zhì)。系統(tǒng)(1)在E*附近的相圖,如圖5所示。當(dāng)a0=1.8,r0=3,α1=0.003,α2=-0.087 31,c=0.185 185時(shí)(條件1),系統(tǒng)(1)的不動(dòng)點(diǎn)E*為穩(wěn)定的焦點(diǎn)(圖5(a))。當(dāng)a0=1.63,c=0.873 053,r0=6.269 230,α1=0.012,α2=0.345時(shí)(條件2),系統(tǒng)(1)在不動(dòng)點(diǎn)E*處發(fā)生Neimark-Sacker分岔,產(chǎn)生“方形”異宿環(huán)(圖5(b))。當(dāng)a0=1.812,c=0.166 27,r0=2.903 85,α1=0.063,α2=0.055時(shí)(條件3),系統(tǒng)(1)在不動(dòng)點(diǎn)E*處產(chǎn)生了“葉形”異宿環(huán)(圖5(c))。當(dāng)a0=1.99,α2=-0.01,c=0.005 12,r0=2.020 6,α1=-0.04時(shí)(條件4),系統(tǒng)(1)的不動(dòng)點(diǎn)E*為穩(wěn)定的焦點(diǎn)(圖5(d))。

(a) 條件1 (b) 條件2

4 結(jié)束語

研究具有弱Allee效應(yīng)的捕食者-獵物系統(tǒng),當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時(shí),系統(tǒng)(1)的不動(dòng)點(diǎn)E*發(fā)生1∶4共振。為更方便地研究系統(tǒng)(1)的性質(zhì),首先,將系統(tǒng)(1)寫成一個(gè)平面映射,對(duì)映射的線性部分進(jìn)行Jordan化,再將系統(tǒng)化為復(fù)數(shù)的形式。然后,根據(jù)正規(guī)形理論將其化為正規(guī)形,利用Picard迭代及時(shí)間1映射,將離散系統(tǒng)化為常微分方程系統(tǒng)。最后,作尺度變換和極坐標(biāo)變換,將常微分方程系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)的形式。通過分析常微分方程退化平衡點(diǎn)附近的性質(zhì),得到離散系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)附近的性質(zhì)。對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值模擬,結(jié)果表明,隨著參數(shù)值和擾動(dòng)的變化系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)定的焦點(diǎn)、“方形”異宿環(huán)、“葉形”異宿環(huán)及Neimark-Sacker分支等。