基于干擾觀測器的多航天器固定時間姿態協同跟蹤控制

陳傳志,張云嘯,張 俞,張迎雪,余虹志,張 杰,鄧小康

(1.南京航空航天大學 航天學院, 南京 210016; 2.深空星表探測機構技術重點實驗室, 南京 210016; 3.上海宇航系統工程研究所, 上海 201109)

0 引言

隨著航天科學技術不斷發展,單體航天器因其復雜的結構與高維護成本已難以適應多樣化的航天任務。而多個結構簡單、成本較低的小型航天器相互協調完成復雜航天任務,可以有效彌補單體航天器的缺陷。此外,多航天器系統還擁有擴展性強與可靠性高等優點[1]。多航天器姿態協同控制技術是航天器編隊成功完成任務的重要保障,其在多個領域如重力場測量和合成孔徑雷達中有著廣泛應用[2],因此近年來吸引了越來越多學者的關注。

目前,航天器姿態協同控制方法主要包括領導跟隨方法、虛擬結構方法和基于行為的方法。在使用領導跟隨法對多航天器進行姿態控制時,各跟隨航天器在保持姿態一致的條件下需協同跟蹤領航航天器姿態。Mehrabian等[3]針對特定航天任務對編隊航天器姿態的高精度要求,考慮重力梯度與執行器力矩受限的影響,基于領導跟隨法設計了一種多航天器姿態協同控制器。在虛擬結構法中,多航天器系統將被視為一個虛擬的剛體進行機動控制,通過建立結構狀態和航天器自身狀態之間的函數關系,設計控制策略,實現多航天器姿態協同控制目標。在文獻[4-6]中,研究人員通過虛擬結構法提出了多種多航天器姿態協同控制方法。編隊航天器往往需要同時完成多個任務目標,基于行為法是一種對每一個控制任務目標對應的控制行為進行加權平均處理的控制策略。Hu等[7]基于行為控制方法設計了一種事件觸發通信方法,使信息傳輸受限情況下的航天器編隊相對位置協調控制問題得以解決。在以上提到的方法中,虛擬結構法缺乏靈活性和適應性,基于行為法中穩定性分析復雜,而領導跟隨法結構簡單,易于實施,被廣泛應用于多航天器姿態控制中。因此,本文中將基于領導跟隨法設計姿態協同控制策略。

本文中將滑模控制應用在基于領導跟隨法的姿態協同控制策略中。滑模控制因其結構簡單,響應速度快,對于外部干擾與參數不確定性不敏感的特性,也被廣泛應用于衛星編隊控制算法的設計之中。但傳統滑模控制的特點是在其平衡點附近漸近收斂,無法在有限時間內快速響應。相比之下,有限時間方法在平衡點附近收斂速度快,并且具備較強的抗擾能力[8],其中非線性終端滑模面是設計有限時間控制器的有效工具。終端滑模面相較于線性滑模面具有有限時間收斂的優點,因而基于終端滑模設計的控制器將使系統狀態更快收斂至平衡點,并且具備更強魯棒性。為克服傳統終端滑模的奇異問題,文獻[9]在考慮時變擾動與執行器故障的影響下,將非奇異快速終端滑模面(NFTSM)與自適應方法結合,設計了一種高精度分布式姿態協同控制器。但是其并未在控制器的設計上考慮代數環問題。文獻[10]提出的基于反步法的快速終端滑模方法,不僅提高了傳統終端滑模的收斂速度,避免了奇異問題,而且通過選擇合適的滑模面避免了代數環問題。在有限時間方法中,當系統狀態在初始時刻遠離平衡點時,收斂速度會有明顯下降,導致收斂時間增加。因此,亟需設計一種收斂時間獨立于初始狀態的姿態協同控制方法。有學者提出了固定時間控制,能保證系統狀態在固定時間內收斂至平衡點。相比于有限時間控制,固定時間控制的時間上界取決于系統參數相關的正常數,而與初始狀態無關[11]。因此,無論系統狀態在最初時刻與期望平衡點相差多大,其也將在固定時間內收斂,從而加快系統收斂速度。此外,有限時間方法的高穩態特性、強魯棒性和強抗擾能力依然被固定時間方法保留。

在復雜空間環境中,多航天器姿態協同會受到太陽光壓、重力梯度和地磁力等不確定的干擾力矩影響,這將導致未考慮外部擾動基礎上所設計的控制律的魯棒性受到挑戰。為了克服航天器外部擾動對控制系統帶來的負面影響,文獻[12]結合有限時間概念設計了一種新型自適應律以估計并補償未知環境干擾;文獻[13]提出了一種自適應律解決了外部擾動上界未知情況下的多航天器姿態控制問題。但上述文獻使用自適應方法估計干擾值導致收斂時間較長,且未考慮實際應用中由于安裝偏差、燃料消耗與帆板展開等造成的系統慣量不確定性。文獻[14]采用神經網絡估計慣量不確定性與外部干擾,結合反步法設計控制律實現航天器姿態跟蹤,但利用神經網絡觀測干擾的計算成本太大、快速性差,無法保證系統固定時間收斂穩定。

基于以上研究,針對受擾動下的多航天器一致性姿態跟蹤問題,將系統慣量不確定性分離出來,與外部干擾共同作為復合干擾項,采用二階積分滑模法(SOSMC)設計復合干擾觀測器對其實時估測。利用干擾觀測值,基于固定時間滑模理論設計姿態跟蹤控制器,并利用Lyapunov理論證明控制系統的穩定性及在固定時間內的收斂性。最后通過仿真結果表明,提出的控制器可使多航天器固定時間內準確完成姿態跟蹤任務,驗證了方法的有效性與優越性。

1 基礎知識與問題描述

1.1 多航天器姿態協同控制模型

本文中通過修正羅德里格參數(modified rodrigues parameters,MRPs)建立航天器姿態運動學方程,該方法具有對旋轉描述無冗余和可克服奇異性的優點。假設以N個航天器組成的姿態協同跟蹤系統為研究對象,第i個成員的姿態運動學和動力學方程為

(1)

(2)

其中:qi∈R3表示第i個航天器的姿態,qi(t)=ρitan(φi(t)/4);ωi=[ωi1,ωi2,ωi3]T∈R3為航天器的姿態角速度;J0i∈R3×3為航天器標稱轉動慣量矩陣; ΔJi∈R3×3為慣量不確定矩陣;ui∈R3為作用于航天器的控制力矩;di∈R3為航天器所受到的外部干擾力矩。式(1)中的雅可比矩陣Ti(qi)∈R3×3定義為

(3)

In∈Rn×n為n×n單位矩陣。對于向量x=[x1,x2,x3]T,x×∈R3×3定義為

(4)

定義主航天器的姿態軌跡為qd且滿足以下假設:

1.2 代數圖論

1.3 相關定義及引理

定義1[15]:考慮如下非線性系統:

(5)

系統初始狀態為x(0)=x0。

如果在有限時間內系統式(5)的任意解x(t,x0)能收斂至平衡點,且平衡點為全局漸進穩定,即x(t,x0)=0,?t≥T(x0),其中T:Rn→R+∪{0}為收斂時間函數,則系統平衡點可以在有限時間內趨于全局穩定。

定義2[16]:考慮系統式(5),如果在有限時間內系統任意解x(t,x0)能收斂至平衡點,且收斂時間的上界T(x0)有界,即存在正常數Tmax可使T(x0)≤Tmax,?x0∈Rn,則系統平衡點是全局固定時間穩定的。

引理1[17]:如果ξ1,ξ2,…,ξN≥0,那么下列結論成立:

(6)

(7)

引理2[18]:考慮系統式(5),如果存在連續正定Lyapunov函數V滿足以下條件:

(8)

其中,λ1>0,0<γ<1,那么系統式(5)是有限時間穩定的,且收斂時間上界Ts滿足:

(9)

引理3[19]:考慮系統式(5),如果存在一個連續的徑向無界函數V:Rn→R+∪{0}滿足:

1)V(x(t))=0?x(t)=0;

則系統狀態能在固定時間Tr內收斂至平衡點并穩定,且時間上界Tr其滿足:

(10)

1.4 問題描述

本文中以N個跟隨航天器與一個主航天器組成的多航天器系統為研究對象,定義姿態跟蹤誤差e1i、e2i和e1ij為

e1i=qi-qd

(11)

(12)

e1ij=qi-qj

(13)

2 系統模型構建與設計

2.1 復合干擾觀測器設計

在實際航天器編隊中,外部干擾與慣量不確定性難以精確測量,本節采用觀測器對兩者組成的復合干擾進行實時估計,提高編隊系統控制魯棒性。滑模觀測器常用于對于擾動的估計中,二階積分滑模作為傳統一階滑模的推廣,在保留傳統滑模良好性能的前提下,能夠有效抑制抖振,因此本文設計基于二階積分滑模控制(SOSMC)的復合干擾觀測器,以實現對復合干擾的精確估計。

通過對姿態方程式(2)進行適當的變換,可構建由外部干擾與內部慣量不確定性干擾組成的復合干擾項:

(14)

則可將式(2)表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

證明：對式(16)求導并將式(15)代入可得

(19)

將式(17)代入式(19)可得二階積分滑模面

(20)

令

(21)

那么

(22)

由式(20)—式(22)可得

(23)

取Lyapunov函數如下

(24)

對式(24)求導有

(25)

其中

(26)

由式(20)—式(21)可得

(27)

(28)

設

因此

(29)

根據式(24)有

(30)

(31)

由引理2可知V(σim)可在有限時間Tf內收斂至0,Tf滿足

(32)

注1：與傳統的干擾觀測器相比,本文中設計的觀測器不需要干擾相關先驗信息,即可實現對干擾的高精度在線估計,體現了較高的工程應用價值。

2.2 分布式固定時間控制器設計

聯立式(1)和式(15),可得二階形式的姿態控制模型:

(33)

為了避免航天器實際編隊飛行任務中的代數環問題(航天器i,j的控制輸入ui、uj相互耦合,形成死循環)并減輕通信負擔,引入一固定時間滑模觀測器來估計主航天器期望姿態,其形式如下:

(34)

假設3：由N個跟隨航天器組成的多航天器編隊系統間的通信拓撲為無向連通圖,而虛擬主航天器與接收其信號的跟隨航天器之間的通信拓撲為有向連接。

上述滑模觀測器的固定時間收斂特性可由下面性質給出。

(35)

其中

基于狀態觀測器(34),定義姿態誤差θ1i和θ2i為

θ1i=qi-p1i

(36)

(37)

選取終端滑模面為

(38)

其中1/2<η<1, 11,αi和βi是正常數。

為了實現航天器編隊在復合干擾下的強魯棒性,完成對于期望姿態的固定時間跟蹤,并且避免航天器間代數環通信問題,本文中基于復合干擾觀測器式(16)—式(17)、期望姿態觀測器式(34)和終端滑模面式(38),設計分布式控制律如下:

(39)

定理2：對于滿足假設1與假設3的多航天器編隊系統式(1)、式(2),采用控制律式(35),能夠使姿態跟蹤誤差e1i和e2i在固定時間Tab內收斂到區域Ω內,收斂時間Tab=T0+T1+T2,其中T0、T1、T2和Ω分別如式(35)、式(45)、式(51)和式(55)所示。

首先對滑模面si的收斂性質進行分析。

對于第i個航天器,選取下述Lyapunov函數

(40)

對V1i兩側同時求導可得

(41)

將姿態誤差式(11)—式(12)代入式(41)有

(42)

代入式(33)與控制律式(39)有

(43)

(44)

由引理3可知,滑模面si可在固定時間T1內收斂到區域Ω1內,且T1與Ω1分別滿足:

(45)

(46)

其中Δsi為一個靠近原點的正常數。

接下來考慮系統狀態到達滑模面后的情況,對姿態跟蹤誤差e1i和e2i的收斂特性進行分析。

首先,證明e1i和e2i固定時間收斂。

當si=0時,由式(38)可得

(47)

針對第i個航天器,選取下述Lyapunov函數

(48)

沿著式(47)對V2i求導可得

(49)

根據η、r1和g1的取值,由引理1可得

(50)

其中,

由引理3可知,e1i和e2i將在固定時間T2內收斂到原點附近,T2如下:

(51)

因為當si=0時,狀態變量e1i可以在固定時間內收斂至零附近,所以滑模面(38)為固定時間滑模面。

然后,分析e1i和e2i的收斂區域。

由|sim|≤Δsi可將式(38)改寫為

(52)

可將式(52)表示為如下2種形式

綜上所述,姿態誤差量e1i和e2i將在固定時間Tab內收斂到區域Ω內,Ω如下所示:

(55)

注2：由式(51)可知,固定收斂時間與航天器編隊初始狀態無關,只與控制參數有關。因此,對于任意初始狀態,均可通過調節控制參數提前預估收斂時間。

3 仿真實驗與結果分析

仿真針對4個跟隨航天器協同跟蹤一個虛擬領航者的編隊,它們之間的通信拓撲關系如圖1所示。

圖1 通信拓撲關系

編隊的鄰接矩陣A和B定義如下:

B=diag(1,1,0,0)

編隊中各航天器的標稱轉動慣性矩陣分別取為:

各航天器慣性不確定性矩陣分別取為:

編隊中各航天器的初始姿態分別選擇為:

q1(0)=[2.2,2,-2.2]T,q2(0)=[-2,2,3]T

q3(0)=[-2,-2.3,2.5]T,q4(0)=[-1.5,2.7,-1.3]T

編隊中主航天器的期望參考姿態軌跡取為qd=[0.2cos(0.5t),0.2sin(0.5t),0.3]T,外部擾動力矩取為di=0.012 5[sin(0.2t),cos(0.2t),sin(0.4t)]TN·m,編隊中各航天器的初始角速度設為[0,0,0]Trad/s。

復合干擾觀測器(17)中參數選取為η1=2,η2=0.5。

分布式固定時間控制器(39)參數選取如下:

αi=βi=0.1,η=0.6,r1=1.3,μ1=2.3,r2=0.9,μ2=1.3,δ1=δ2=1。

圖2 干擾觀測器估計誤差edi響應曲線

圖3 復合干擾Dfi與觀測值

圖4 姿態跟蹤誤差e1i響應曲線

圖5描述了控制力矩的響應曲線。可以看出,控制力矩ui在固定時間內趨于穩定,且變化光滑平穩,沒有出現抖振現象。并且由圖5可以看出,在航天器逐漸穩定后,控制力矩ui保持較小值周期變化,證明只需很小的控制力矩就能保證航天器在穩態階段持續跟蹤主航天器姿態。

圖5 控制力矩ui響應曲線

此外,本文中將通過與自適應有限時間控制策略的對比分析,來驗證所提出控制策略的有效性與優越性。選取了自適應有限時間控制策略進行對比分析,2種控制策略下的仿真結果如圖6所示。其中,各對比量的定義如下:

由圖6可以看出,與自適應有限時間控制策略相比,本文中控制方法中姿態跟蹤誤差的值始終更小,且能更快收斂至原點,說明該控制方法精度更高,收斂時間更短。雖然本文中的控制力矩在初始時更大,但在0.5 s后小于自適應有限時間控制策略,并且之后變化更加平穩,可以看出該控制方法對于執行器要求更低,燃油消耗更少。

由仿真結果可知,該控制方法對于航天器編隊姿態協同跟蹤控制具有不錯的控制效果,且對擾動具備一定的魯棒性。

圖6 對比結果

4 結論

本文中研究了受外部干擾與慣量不確定性條件下的多航天器系統姿態協同跟蹤問題。設計了一致性姿態協同控制器,使得受復合干擾情況下的航天器編隊能夠實現對期望姿態的精確跟蹤。歸納得到以下結論:

1) 設計的二階積分滑模觀測器能在較快時間內實現對復合干擾的快速準確跟蹤。并且該觀測器無需獲得復合干擾的先驗信息,涉及控制參數少,具備較高的工程應用價值。

3) 通過對比驗證,與自適應有限時間方法相比,本文中提出的姿態控制策略精度更高,收斂速度更快與燃油消耗更少。

未來可以考慮航天器中實際執行器的物理限制,后續研究中進一步針對航天器控制輸入飽和問題設計固定時間姿態協同控制律,提升收斂時間預估準確性,并改善執行器飽和情況給系統帶來的性能下降與失穩現象。