復(fù)雜干擾下的管溝機(jī)器人內(nèi)外環(huán)滑模自抗擾控制

傅茂龍，孟 文，孟祥印，楊子鐿，羅錦澤

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031)

0 引言

鐵路涵洞，公路排水渠和地下城市管網(wǎng)的排水管溝發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，但是排水管溝的維護(hù)是一項(xiàng)艱巨且具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，利用機(jī)器人系統(tǒng)可以有效地解決該問題。管溝機(jī)器人也是一種輪式移動(dòng)機(jī)器人(WMR，wheeled mobile robot)輪式移動(dòng)機(jī)器人是一種經(jīng)典的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，一種經(jīng)典的多輸入多輸出系統(tǒng)，具有強(qiáng)耦合以及容易受到外界環(huán)境干擾的系統(tǒng)參數(shù)時(shí)變的自動(dòng)控制系統(tǒng)[1]。精準(zhǔn)的控制是機(jī)器人完成復(fù)雜任務(wù)的基礎(chǔ)，由于機(jī)器人的Brockett約束條件的存在，機(jī)器人無法獲得連續(xù)可微，線性時(shí)不變的控制系統(tǒng)[2]。機(jī)器人的控制問題一直是近些年來的熱門問題，并且也已經(jīng)取得了一定的成果，目前比較成熟的一些控制方法有：反步法控制[3-4]；反步法和模糊PID組合方法[5-6]；滑模變結(jié)構(gòu)控制[7-10]，模糊控制[11]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[12-13]，自適應(yīng)控制[14]等等。然而，上述的這些控制方法，都未考慮輪式移動(dòng)機(jī)器人(WMR)的復(fù)雜環(huán)境擾動(dòng)，在實(shí)際的隧道管溝環(huán)境，隧道管溝機(jī)器人有可能受到積水，沉積物以及淤泥等情況，會(huì)嚴(yán)重影響到隧道管溝機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制性能。

現(xiàn)階段為了解決上述的問題，出現(xiàn)了一定的魯棒控制方式：文獻(xiàn)[15]提出了一種在打滑狀態(tài)下的自適應(yīng)控制，利用(RBF NN)徑向基函數(shù)，逼近運(yùn)動(dòng)過程受到的滑動(dòng)，建立編隊(duì)機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型，來適應(yīng)滑動(dòng)與不滑動(dòng)的情況。文獻(xiàn)[16]針對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)本身的特性，提出具有約束狀態(tài)以及輸入能力有限制的機(jī)器人的自適應(yīng)控制，結(jié)合反步法設(shè)計(jì)出抗飽和的控制方法，針對(duì)外界的擾動(dòng)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的自適應(yīng)控制律，最終證明了方法的有效性。文獻(xiàn)[17]針對(duì)的是機(jī)器人本身所承受的載荷不確定的情況，采取的是預(yù)測(cè)控制的方式，整體機(jī)器人分為兩個(gè)控制部分，一部分是離線計(jì)算和在線調(diào)度的部分，采用極大極小的魯棒預(yù)測(cè)控制算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)于機(jī)器人的跟蹤控制，證明了方法的有效性。盡管上述的方法能夠在一定程度上抑制復(fù)雜環(huán)境以及機(jī)器人本身系統(tǒng)限制帶來的影響，也具有相對(duì)不錯(cuò)的系統(tǒng)性能，但是上述的控制方式還是存在著一些問題：①自適應(yīng)控制需要知道擾動(dòng)的大致范圍，但實(shí)際情況無法獲知；②對(duì)于預(yù)測(cè)控制，需要實(shí)時(shí)計(jì)算更新速度等參量，計(jì)算量會(huì)比較大。

對(duì)于以上的問題，一些相關(guān)的學(xué)者提出了基于觀測(cè)的思想，利用觀測(cè)到的機(jī)器人內(nèi)部擾動(dòng)以及外界環(huán)境擾動(dòng)，提前對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行抑制，設(shè)計(jì)出基于擾動(dòng)觀測(cè)器的控制律。因其觀測(cè)器具有其他控制方式不具備的優(yōu)點(diǎn)，近些年也一直是研究的熱點(diǎn)，常用的擾動(dòng)觀測(cè)器有：非線性指數(shù)擾動(dòng)觀測(cè)器；擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[18]；慢時(shí)變干擾觀測(cè)器；廣義的比例積分觀測(cè)器；文獻(xiàn)[19]提出了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的自適應(yīng)跟蹤控制方法，重點(diǎn)是觀測(cè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程中機(jī)器人內(nèi)部干擾，解決了模型中存在的不確定問題，利用觀測(cè)值，有效地提高了機(jī)器人整體性能。文獻(xiàn)[20]提出了一種基于超螺旋干擾觀測(cè)器的機(jī)器人控制方法，首先基于反步法設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)學(xué)控制律，利用超螺旋干擾觀測(cè)器觀測(cè)得到的復(fù)合干擾，配合設(shè)計(jì)的非線性滑模控制，取得了不錯(cuò)的抗干擾能了和跟蹤性能；文獻(xiàn)[1]對(duì)比擾動(dòng)建模與不建模的情況下的軌跡跟蹤控制，發(fā)現(xiàn)對(duì)干擾進(jìn)行建模后比PID控制器誤差更小。文獻(xiàn)[21]提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的線性自抗擾控制，對(duì)機(jī)器人受到的總擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)，再利用觀測(cè)到的總擾動(dòng)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的ADRC控制器，能夠有效的抑制不確定因素對(duì)于機(jī)器人性能的影響，使得機(jī)器人能夠準(zhǔn)確無誤的跟蹤上軌跡。

本文提出一種復(fù)雜環(huán)境干擾下的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)滑模變結(jié)構(gòu)自抗擾控制方法。首先，把復(fù)雜環(huán)境干擾解耦成橫向與縱向的干擾，在此基礎(chǔ)上建立干擾下的管溝機(jī)器人的差分運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。依據(jù)管溝機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立外環(huán)滑模變結(jié)構(gòu)控制器，引入非線性微分器，求解出理想的速度與角速度控制律。設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)機(jī)器人實(shí)際過程中受到的擾動(dòng)，利用擾動(dòng)的估計(jì)值構(gòu)建內(nèi)環(huán)的滑模控制器，修正外環(huán)的理論角速度與速度控制律。最后利用Lyapunov穩(wěn)定性原理對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，同時(shí)搭建了Matlab的Simulink仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)比三種不同的控制方法，驗(yàn)證了控制方法的有效性和可靠性。

1 隧道管溝機(jī)器人差分驅(qū)動(dòng)模型

如圖1所示，隧道管溝機(jī)器人左右兩側(cè)分別采用一個(gè)直流無刷電機(jī)進(jìn)行控制，故物理模型可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化，如圖2所示。

圖1 隧道管溝機(jī)器人物理模型

圖2 隧道管溝機(jī)器人簡(jiǎn)化物理模型

隧道管溝機(jī)器人的左右輪的線速度為vl和vr，依據(jù)增加復(fù)雜環(huán)境干擾的物理模型，推出隧道管溝機(jī)器人的前進(jìn)速度與角速度如下：

(1)

依據(jù)上述公式以及解耦的復(fù)雜環(huán)境干擾，推出機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(2)

2 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 外環(huán)速度滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

(3)

式中，k1>0，k2>0是滑模面參數(shù)。

依據(jù)上式，即可推出理想的姿態(tài)角θd和速度控制律V如下：

(4)

2.2 外環(huán)角速度滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

本文引入一個(gè)非線性的微分控制器，因?yàn)樵谇蠼馑淼拦軠蠙C(jī)器人的角速度控制律時(shí)，需要對(duì)上式的θd進(jìn)行求微分，由于求導(dǎo)的過程較為復(fù)雜，定義θd=σ1，采用如下的非線性微分器求解：

(5)

(6)

式中，sign是符號(hào)切換函數(shù)。

定義機(jī)器人姿態(tài)角的跟蹤誤差為：θe=θ-θd設(shè)定角速度控制器的滑模面為：s3=θe，滑模面的趨近律為：-k5s3-ε1sign(s3)，則可以推導(dǎo)角速度的控制律如下：

(7)

式中，k5>0，ε1>0是滑模面的參數(shù)。

綜上所述，從而保證機(jī)器人角速度θ能夠快速跟蹤上θd。

2.3 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

重新定義機(jī)器人的跟蹤誤差如下：

(8)

結(jié)合上述，推導(dǎo)出如下的誤差微分方程：

(9)

式中，ux=Vcosθ代表軸的速度輸入，uy=Vsinθ代表軸的速度輸入，uθ=W代表機(jī)器人的角速度輸入，dx=Vecosθ+vhsinθ代表軸的干擾，dy=Vesinθ-vhcosθ代表軸的干擾，de=We代表角速度的干擾。

上式中的Ve和We由如下表達(dá)式構(gòu)成：

(10)

依據(jù)上述公式，定義x1=ex，x2=dx，y1=ey，y2=dy，θ1=eθ，θ2=dθ設(shè)計(jì)如下的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)：

(11)

設(shè)計(jì)觀測(cè)器增益參數(shù)α1，α3，α5>0，α2，α4，α5<0，β1，β2，β3>0使得觀測(cè)器系統(tǒng)的根軌跡全部位于復(fù)平面的左半邊，使得觀測(cè)器收斂。

2.4 內(nèi)環(huán)滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

(12)

則設(shè)計(jì)的內(nèi)環(huán)的控制律如下方程所示：

(13)

3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

3.1 外環(huán)滑模控制器穩(wěn)定性分析

依據(jù)上式的速度控制律方程，已知滑模面為s1=xe，s2=ye本小節(jié)以x為例子分析外環(huán)滑模控制器的穩(wěn)定性，假定x狀態(tài)的Lyapunov方程如下所示：

(14)

對(duì)Lyapunov方程進(jìn)行求導(dǎo)，得到如下公式：

(15)

分析θ狀態(tài)變量的角速度外環(huán)滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性，依據(jù)上式可知滑模面為：s3=θe，定義如下的Lyapunov方程：

(16)

對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得如下方程：

(17)

式中，sign(s3)為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)s3≠0時(shí)，sign(s3)在接近0的范圍內(nèi)的可以近似看作如下方程：

(18)

式中，ε是一個(gè)極小的正數(shù)

則對(duì)上式的Lyapunov求導(dǎo)結(jié)果變?yōu)槿缦拢?/p>

(19)

3.2 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器穩(wěn)定性分析

定義如下觀測(cè)的誤差方程：

(20)

依據(jù)上述，可以推出如下方程式：

(21)

以下從X軸方向分析觀測(cè)器的穩(wěn)定性，Y軸和角速度類似。

(22)

定理1：對(duì)于任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，存在對(duì)稱正定矩陣P，滿足如下的Lyapunov方程[22]：

(23)

則可以定義觀測(cè)器的Lyapunov方程為：

V(g)=β1ξTPξ

(24)

則可以推導(dǎo)出觀測(cè)器Lyapunov方程導(dǎo)數(shù)如下：

(25)

并且有如下關(guān)系式：

(26)

(27)

由上式可知，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的收斂速度與參數(shù)β1有關(guān)系，隨著β1逐漸變小，觀測(cè)誤差逐漸收斂至0。

3.3 內(nèi)環(huán)滑模變結(jié)構(gòu)控制器穩(wěn)定性分析

定理2：對(duì)于G：[0，∞)∈，不等式方程的解為[23]：

(28)

式中，a為任意的常數(shù)。

設(shè)計(jì)滑模面為：s4=x1，由上述可以推出：

(29)

選取Lyapunov函數(shù)為：

(30)

則可以推導(dǎo)出如下方程：

(31)

依據(jù)上式可以推導(dǎo)出如下方程：

(32)

V(s4)(t)≤e-(2k6-1)(t-t0)V(s4)(t0)+

(33)

當(dāng)t→∞時(shí)，控制系統(tǒng)的收斂速度取決于滑模控制器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的參數(shù)。選取k6>0.5，可以推出如下公式：

(34)

3.4 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

綜合考慮擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器與滑模變結(jié)構(gòu)控制器的閉環(huán)系統(tǒng)，設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為：V(q)=V(g)+V(s4)，則可以推導(dǎo)出如下方程：

(35)

閉環(huán)系統(tǒng)整體收斂速度取決于觀測(cè)器參數(shù)與滑模控制參數(shù)，選取合適參數(shù)使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。以上分析了X軸上x狀態(tài)的穩(wěn)定性，剩下的y，θ控制器結(jié)構(gòu)類似，所以穩(wěn)定性分析方法一致。

4 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)滑模自抗擾控制方法結(jié)構(gòu)框圖

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，以比較不同控制系統(tǒng)的性能表現(xiàn)。在實(shí)驗(yàn)中，使用了三種不同的控制系統(tǒng)，包括：PID控制系統(tǒng)、不加觀測(cè)器的滑?？刂葡到y(tǒng)以及添加了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑?？刂葡到y(tǒng)。實(shí)驗(yàn)的框圖如圖3所示，其中外環(huán)控制器得出理想的速度與角速度控制律，并將這些控制律應(yīng)用于系統(tǒng)中。同時(shí)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器用于觀測(cè)系統(tǒng)所受到的擾動(dòng)，并將其反饋到系統(tǒng)中。內(nèi)環(huán)的控制器通過觀測(cè)到的擾動(dòng)值對(duì)外環(huán)的速度與角速度進(jìn)行修正，從而保證整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。具體而言，當(dāng)系統(tǒng)受到外部擾動(dòng)時(shí)，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器會(huì)及時(shí)地檢測(cè)到并反饋到內(nèi)環(huán)的控制器中，從而使控制器能夠?qū)λ俣群徒撬俣冗M(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整，以保證系統(tǒng)的性能表現(xiàn)。通過這樣的仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，可以評(píng)估不同的控制系統(tǒng)的性能表現(xiàn)，驗(yàn)證所提出算法的有效性。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)框圖

5 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的在復(fù)雜環(huán)境干擾下使用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)滑?？刂品椒ǖ挠行?，使用Matlab中的Simulink模塊來搭建控制結(jié)構(gòu)框圖。在干擾仿真實(shí)驗(yàn)中，首先引入不同程度的隨機(jī)干擾信號(hào)，然后對(duì)比測(cè)試了使用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)滑?？刂品椒ê蛡鹘y(tǒng)的PID控制方法在干擾環(huán)境下的表現(xiàn)差異，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證控制方法的可行性。

本文選取的理想路徑為：xd=t，yd=sin(0.5xd)+0.5xd+1，各個(gè)控制器模塊的參數(shù)如表1所示。

表1 控制器參數(shù)

如圖4所示，圖中展示了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)(ESO)的值，ESO將機(jī)器人系統(tǒng)的輸入和輸出作為觀測(cè)器的輸入，得出了對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量的觀測(cè)值?？梢钥吹接^測(cè)器準(zhǔn)確的觀測(cè)出對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量的值，并且具有很好的精度，能夠有效的對(duì)管溝機(jī)器人狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)控。

圖4 ESO觀測(cè)器觀測(cè)狀態(tài)變量值

圖5 管溝機(jī)器人狀態(tài)變量

圖6 管溝機(jī)器人的實(shí)際位置

實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：

依據(jù)上述的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以推斷出：在這三種不同的控制方式下，管溝機(jī)器人都表現(xiàn)出了不錯(cuò)的控制性能。但是因?yàn)閿U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器能夠?qū)崟r(shí)的觀測(cè)出機(jī)器人受到的干擾，并且配內(nèi)環(huán)的滑模控制器來修正外環(huán)的理想控制參量，所以獲得了更好的控制精度和性能。并且在仿真實(shí)驗(yàn)中，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)滑模自抗擾控制對(duì)運(yùn)動(dòng)的軌跡和姿態(tài)角都獲得了不錯(cuò)的控制效果。綜上所述，在實(shí)際的工作過程中，當(dāng)機(jī)器人的干擾條件和環(huán)境發(fā)生變化時(shí)，設(shè)計(jì)的控制器依舊能夠保持穩(wěn)定的控制性能，在實(shí)際工程環(huán)境中使用這種控制算法，可以提高機(jī)器人的工作效率和魯棒性，助力機(jī)器人進(jìn)行管溝巡檢作業(yè)。

6 結(jié)束語(yǔ)

為解決管溝機(jī)器人在復(fù)雜干擾環(huán)境下的運(yùn)動(dòng)控制問題，提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)滑模自抗擾控制方法。首先將復(fù)雜環(huán)境干擾解耦成橫向和縱向的干擾參量，并且在此基礎(chǔ)上建立了受干擾的差分驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模型。在受干擾差分運(yùn)動(dòng)學(xué)模型基礎(chǔ)上，建立了外環(huán)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，得出理想的速度和角速度控制律。在此同時(shí)，建立出機(jī)器人系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，利用觀測(cè)得到的擾動(dòng)建立出內(nèi)環(huán)的滑?？刂破?，對(duì)外環(huán)的控制律進(jìn)行修正，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性和運(yùn)動(dòng)控制精度。

利用Lyapunov穩(wěn)定性原理分析系統(tǒng)，證明了整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，確保機(jī)器人系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。同時(shí)在Matlab的Simulink中搭建了三種控制方式的仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)出的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的內(nèi)外環(huán)滑模自抗擾控制方法具有更高的運(yùn)動(dòng)控制精度和更強(qiáng)的抗干擾性能，能夠更好的適應(yīng)干擾環(huán)境下的控制需求。因此，本文設(shè)計(jì)的控制方法具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值和研究意義。