對高中物理實驗題中直線斜率計算的討論

譚小虎 陳嘉聰 馬 穎

(廣州大學物理與材料科學學院,廣東 廣州 510006)

培養學生的實驗探究能力是高中物理教學的重要目標,實驗數據處理是實驗探究的重要一環.課標明確提出學生要會用圖像處理實驗數據,能根據圖像獲得結論[1].

實驗數據擬合直線斜率的計算是高中物理實驗題常見的考查形式,這類題計算方法多、計算量大、出錯概率高,且在教學中常常缺少明確的計算方法指導,成為學生不易攻克的難點問題.本文為尋求簡便、準確的計算方法,討論了最小二乘法、逐差法[2]、作圖法[3]和常見不嚴謹解法在計算結果與過程方面的差異,希望能為實驗數據擬合直線斜率計算題的教學提供一定參考.

1 問題提出與初步分析

以2019年高考物理江蘇卷第11題第4、第5小問為例,對原題文字敘述和圖表稍作調整后,問題呈現如下.

為測量Rx,利用圖1(a)所示電路,調節滑動變阻器測得5組電壓U1和電流I1的值,作出U1-I1圖像如圖1(b)所示.再將電壓表改接在a、b兩端,測得5組電壓U2和電流I2的值,數據見表1,請根據已知數據繪制U2-I2圖像,并計算Rx的值.

表1 U2和I2的值

圖1 電路圖及U1-I1關系圖像

①

②

③

此題關鍵在于如何利用現有數據盡可能準確地計算U1/I1和U2/I2的值,兩值的計算本質上都是實驗數據擬合直線斜率的計算.由于計算U2/I2值所需數據已直接給出,下面將利用多種方法先對U2/I2的值進行計算并分析差異.

2 U2/I2值的計算與四種方法的比較

最小二乘法、逐差法和作圖法是物理實驗常用的數據處理方法,討論它們在高中物理實驗題中使用的可行性對于高中教學具有重要意義.對學生最常使用的不嚴謹計算方法進行簡析,在教學中明確該方法的缺陷同樣重要.

2.1 最小二乘法

最小二乘法是高中階段精度最高的直線擬合方法,利用該方法計算U2/I2的值,并作為標準值,再比較其它計算方法與該方法的差異.

設(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi),…,(xn,yn)是實驗測得自變量x與因變量y的n組對應數據,處理實際問題時,誤差較小的變量作為xi.本題沒有對兩電表的測量誤差作明確敘述,因此認為兩表測量誤差相差不大,選取任一電表的測量值作為xi在計算中均可接受.以I2i作為xi,結合表1數據由最小二乘法公式得:

④

再由excel軟件得到U2-I2圖像如圖2所示.

圖2 U2-I2關系圖像

最小二乘法可以精確地計算U2/I2的值,但計算量較大,步驟較多,花費時間較長.考慮到物理科考試時長的限制,并非所有學生都適合在物理實驗題計算中采用最小二乘法,因此,還需對其他計算方法進行對比和討論.

2.2 逐差法

學生在“測定勻變速直線運動的加速度”實驗中首次利用逐差法處理數據、計算加速度,在此之后,應當理解和掌握逐差法.教師要讓學生知道逐差法是數據處理的方法,而非加速度計算的專屬方法,讓學生在電路實驗數據處理中使用逐差法,可實現知識的正向遷移.

⑤

以最小二乘法計算結果為標準值,聯立④⑤得以上結果相對誤差為0.58%,可見應用逐差法計算,準確性較高.

逐差法在計算量小、過程簡單的前提下達到了較高的準確度.強調逐差法在多種實驗情景下的使用,不再局限于計算加速度,可提升學生實驗數據處理和知識遷移的能力.

2.3 作圖法

作圖法即基于實驗數據描點手繪圖線以后,若圖線為一條直線,則在直線上另取兩點坐標(x1,y1)、(x2,y2),通過以下公式計算直線斜率k:

⑥

應用作圖法計算,結果較為準確,且選擇離中值較遠的兩點數據代入計算時相對誤差更小.不過,作圖法的計算建立在人手畫圖的基礎上,計算結果受人為因素影響較大,偶然性較強,應作為逐差法不適用時的備選方法.

2.4 常見的不嚴謹解法簡析

部分學生由于基礎不扎實或貪圖計算方便,計算擬合直線斜率時,在已有的多組數據中只隨意取用一組進行計算,此種計算方法不夠嚴謹、科學,下文將該方法簡稱為單點法.為避免學生再使用單點法,與此同時利用單點法的不嚴謹性培養學生的科學思維,教師應向學生展示單點法計算結果的誤差,給學生親身體會其不嚴謹性,留下深刻印象.

在本題中使用單點法即將表1中5組電壓和電流的值分別相除得到5組U2/I2值,計算結果及其與最小二乘法結果之間的相對誤差如表2所示.

表2 單點法計算結果

由表2可知,5次單點法計算結果存在明顯差異,具有較大的偶然性.教師要讓學生明白沒有充分利用數據,計算結果準確性將難以保障.單點法違背了利用多組數據以期望減小誤差的基本實驗原則,不利于學生實驗探究意識和能力的提升.

綜上,在高中物理實驗題中計算實驗數據擬合直線斜率時,逐差法應作為首選方法,而作圖法則是逐差法不適用時的可選方法.

3 U1/I1值與Rx值的計算

計算U1/I1值需要在圖1(b)中讀取點跡的坐標,可確定圖1(b)中點跡的橫坐標即I1值是等間隔變化,而縱坐標U1值的準確讀取則需要利用圖1(b)中的小方格進行估讀.

縱軸上得分度值為0.1V,因此讀數時采用十分法估讀到分度值后一位,讀取圖1(b)中的點跡坐標如表3所示.

表3 原題圖2讀數結果

⑨

利用逐差法計算U1/I1的值,舍棄U1值最小的那組數據進行計算,結合表3數據由逐差公式得:

⑩

聯立③④⑨可得最小二乘法求得的待測電阻:Rx=23.25 Ω

聯立③⑤⑩可得逐差法求得的待測電阻:

Rx=23.63 Ω

4 結束語

在計算高中物理實驗數據擬合直線的斜率時,建議使用逐差法和作圖法,其中逐差法為首選方法.當逐差法不適用時再選用作圖法,選用時取用離中值較遠的兩組數據代入計算,相對誤差更小.