外肢體機器人驅動單元低速死區自適應補償方法

陳重遠 陳珂 劉浩 歐陽小平

摘要：為提高外肢體機器人高功率密度驅動單元的控制精度，提出一種低速死區自適應補償方法。首先基于最小二乘系統辨識與阻尼辨識方法建立驅動單元模型，然后提出驅動單元的計算力矩控制方法，最后提出驅動單元的低速死區自適應補償方法，并進行了實驗驗證。研究結果表明，與傳統PID控制方法相比，采用計算力矩控制方法后驅動單元最大角度跟蹤誤差減小了約53%，平均角度跟蹤誤差減小了約38%；在計算力矩控制方法的基礎上，采用低速死區自適應補償方法后，驅動單元最大角度跟蹤誤差減小了約45%，平均角度跟蹤誤差減小了約60%，驅動單元的控制精度得到了顯著提高。

關鍵詞：驅動單元；死區補償；控制方法；外肢體機器人；系統辨識

中圖分類號：TP182

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.01.005

Low-speed Dead Zone Adaptive Compensation Method for Drive Units of

Supernumerary Robotic Limbs

CHEN Zhongyuan1，2 CHEN Ke1，2 LIU Hao1，2，3 OUYANG Xiaoping1，2

1.School of Mechanical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou，310027

2.State Key Laboratory of Fluid Power and Mechatronic Systems，Hangzhou，310027

3.Institute of Advanced Technology，Zhejiang University，Hangzhou，310027

Abstract： To improve the control accuracy of high power density drive units in supernumerary robotic limbs， a low-speed dead zone adaptive compensation method was proposed. Firstly， the drive unit model was established based on the least square system identification and damping identification methods. Then， a computed torque control method for the drive units was proposed. Finally， an adaptive compensation method for the low-speed dead zone of the drive units was proposed and verified. The experimental results show that compared with the traditional PID control method， the maximum angle tracking errors of the drive units are reduced by about 53% and the average angle tracking errors are reduced by about 38% after the computed torque control method is utilized. Based on the computed torque control method， the maximum angle tracking errors of the drive units are reduced by about 45% and the average angle tracking errors are reduced by about 60% after the low-speed dead zone adaptive compensation method is adopted. The control accuracy of the drive units is significantly improved.

Key words： drive unit; dead zone compensation; control method; supernumerary robotic limbs; system identification

0 引言

外肢體機器人泛指一類帶有一個或多個自主運作機械臂并用于輔助人體進行多工況作業的機器人［1］，它可以不需要人類肢體引導就獨立完成特定工作任務，在工廠作業、日常生活輔助、緊急救援等領域具有廣闊的應用前景。近年來，國內外學者對外肢體機器人進行了廣泛研究。

驅動單元指能夠為機器人提供扭矩輸出的機械結構或機械組件，是外肢體機器人的核心部件之一，決定了機器人的輸出性能上限。驅動單元一般由電機、減速器和驅動器三個部分組成，目前主要有兩種主流類型［2-3］，一種是高轉速永磁內轉子伺服電機搭配大減速比諧波減速器，另一種是外轉子電機搭配內嵌行星減速器。盡管第二種類型存在輸出回差大等缺點，但總體特性更符合外肢體機器人的實際應用需求，且對機器人的結構布置包容性更強。因此，本文的研究對象是第二種類型的高功率密度驅動單元。

在實際應用過程中，驅動單元控制存在低速死區問題，即驅動單元在低速區域，尤其是速度零點附近，控制精度較差。低速死區形成的主要原因包括：部件加工精度影響、三相逆變器死區影響［4-5］、永磁同步電機齒槽波動力矩和電磁波動力矩影響［6］、低速下驅動單元傳動過程中非線性摩擦轉矩影響［7］等。

目前，驅動單元的死區補償方法主要有兩種：①優化三相逆變方式，改善電流環。在驅動器磁場定向控制（FOC）的電流內環進行補償，通過在相電流過零點附近添加可變電流帶、加入相電流閾值等方式抑制低速反電動勢高次諧波，從而提高驅動單元電機的低速穩定性［5］。該方法的優點是可以顯著抑制反電動勢振蕩，提高電機低速控制性能，但缺點是需要對三相逆變器底層控制邏輯作出修改，且具有一定程度的硬件依賴性，更換不同的設備后往往不能取得最佳補償效果。②進行摩擦補償，抑制非線性摩擦力矩影響。具體包括基于摩擦模型的補償方法和不基于摩擦模型的補償方法。前者需要觀測狀態變量并依據辨識模型給出力矩補償，本質上是一種前饋控制。后者可細分為高增益控制、高頻抖動補償、脈沖補償等［7］，都是通過在較短時間尺度上對控制量進行大幅修正來達到補償目的。

外肢體機器人高功率密度驅動單元潤滑狀態存在時變且動摩擦個體差異明顯的特征，不適合通過單一的精確摩擦模型進行補償。同時，高頻沖擊類補償會顯著縮短減速器齒面接觸疲勞壽命。因此，本文提出了驅動單元的低速死區自適應補償方法。具體地，首先對外轉子電機與行星減速器進行建模，采用最小二乘系統辨識方法獲得驅動單元空載開環擬合傳遞函數。然后，通過實驗測量獲得驅動單元簡化線性負載的阻尼模型，建立前饋反饋控制機制，提出驅動單元的計算力矩控制方法。最后，提出低速死區自適應補償方法提高驅動單元的控制精度。

1 高功率密度驅動單元

1.1 應用對象

本文研究的驅動單元應用于由兩條三自由度串聯機械臂與末端執行器構成的外肢體機器人上，如圖1所示。該外肢體機器人的目標應用場景為工業裝配生產線。

1.2 驅動單元結構

為了實現外肢體機器人低速大扭矩輸出以及高精度運動控制的目標，驅動單元選擇了中小減速比兩級行星減速器搭配小長徑比高扭矩外轉子永磁同步電機的設計方案，其結構如圖2所示。

該驅動單元中減速器的單級減速比為4.4，多級減速比為19.36。在電機額定轉速下，驅動單元的功率密度高達360 W/kg，能夠滿足外肢體機器人的應用需求，驅動單元實物如圖3所示。

2 高功率密度驅動單元建模

分別對驅動單元中的外轉子永磁同步電機和兩級行星減速器進行建模，在此基礎上建立驅動單元模型并進行系統辨識。

2.1 外轉子永磁同步電機模型

永磁同步電機的三維結構如圖4所示。該電機為42極36槽外轉子表貼式凸極轉子結構永磁同步電機，每極每相槽數為4/7，計算得到電機繞組系數為0.904，較大的繞組系數表明電機具有較大的輸出扭矩［8］。

永磁同步電機是強耦合非線性變參數系統，其精細化建模非常復雜且計算負擔重，在實際電機特性分析過程中，往往需要對電機模型進行適度簡化。

通過機電能量法獲得電機扭矩公式如下：

式中，pn為電機極對數；iq為電機q軸電流；id為電機d軸電流；Lq為電機q軸電感；Ld為電機d軸電感；ψf為電機磁鏈（ψf=0.0035 Wb）。

將id = 0與電機磁鏈數值代入式（1）可得電機理論扭矩公式如下：

Te=0.22iq（2）

由于驅動單元中電機與轉子分別直接連接減速器且電機本身無軸承等固體摩擦支撐件，因此電機轉動阻力僅需考慮空氣黏滯阻尼項。此時，電機輸出的機械運動方程為

式中，ωm為電機機械角速度；Jm為電機轉子轉動慣量；Te為電機電磁扭矩；TB為電機轉子空氣阻尼力矩；Tout為電機輸出扭矩。

假設電機轉子外壁空氣速度始終等于轉子速度，且實驗空間空曠半徑大于等于2 m，可進一步采用牛頓黏滯定律［9］對空氣阻尼力矩進行估計如下：

式中，η為實驗室環境空氣黏滯系數；de為轉子外徑；ωe為轉子角速度；Le為轉子長度；Lt為實驗空間空曠半徑，本文取值為2 m。

經計算，在額定轉速為1350 r/min時，電機轉動黏滯阻尼力矩約為8.68×10-7N·m。這個數量級的空氣阻尼幾乎不會對電機的運動造成干擾，故可以忽略。因此，電機的轉子動力學模型可進一步簡化為

2.2 兩級行星減速器模型

行星減速器的三維結構如圖5所示，該減速器被包含在永磁同步電機定子內部。驅動單元的機械負載主要來自減速器內齒輪和行星架的慣性負載以及12處齒輪嚙合、6處滑動接觸和2處滾動軸承接觸。減速器的主要阻尼包括線性黏滯阻尼、流體阻尼、庫侖摩擦阻尼、滯后阻尼和結構阻尼等。

KAHRAMAN［10］、鮑和云［11］和莫文超［12］對行星減速器的純扭轉動力學建模如下：

為了簡化模型，本文將減速器零件視為剛度無窮大的剛體，進而忽略形變形成的阻尼項，默認轉動慣量為繞質心的轉動慣量，可獲得如下動力學模型：

式中，i為行星減速器的單級減速比；JFS為第一級太陽輪及輸入法蘭的轉動慣量；ωFS為第一級太陽輪的轉動角速度；JSS為第二級太陽輪及第一級行星架的轉動慣量；ωSS為第二級太陽輪的轉動角速度；JSH為輸出法蘭的轉動慣量；ωSH為輸出法蘭的轉速；JmPn為第n級行星輪繞瞬心轉動時的轉動慣量；ωPn為第n級行星齒輪的合成運動角速度；TL為減速器的負載扭矩；Tf為減速器的庫侖摩擦扭矩；Tin為減速器的輸入扭矩；BRe為減速器的阻尼系數；sgn（ωFS）為符號函數，其正負性隨運動狀態改變。

減速器行星齒輪的復合運動可以分解為繞定軸旋轉的牽連運動和繞動軸旋轉的相對運動，其合成運動角速度ωPn等于相對角速度ωrn與牽連角速度ωHn的差值，即ωPn = ωrn - ωHn。如圖6所示，點C為行星輪的運動瞬心，該點位置滿足：

式中，vCHn為行星齒輪運動瞬心的牽連速度；vCrn為行星輪運動瞬心的相對速度；O1為定軸軸心；O2為動軸軸心;lO1O2為O1到O2的長度，其他同類符號含義類此。

減速器行星架的牽連角速度ωHn與定軸輪系下行星齒輪轉動的相對角速度ωrn可分別按照如下公式進行計算：

式中，Zp為行星輪齒數；Zs為太陽輪齒數。

依據轉動慣量的平行軸定理［13］，每個行星齒輪繞瞬心旋轉的轉動慣量JmPn為

式中，JPn為行星齒輪繞質心的轉動慣量；mPn為行星齒輪質量。

減速器的空載模型為

式中，Jrecal為行星減速器的總轉動慣量。

2.3 驅動單元模型

結合電機扭矩系數km與式（12），驅動單元空載條件下的模型為

式中，Jtotal為總轉動慣量，且Jtotal = Jm+ Jrecal；I為電機q軸電流值。

在式（13）的基礎上增加負載項與負載摩擦項，獲得驅動單元在負載條件下的模型如下：

式中，CL為負載阻尼系數。

忽略初始阻尼項后，通過拉普拉斯變換獲得驅動單元在空載條件下的理論傳遞函數為

2.4 驅動單元系統辨識及特性分析

盡管獲得了驅動單元在空載條件下的一階理論傳遞函數，但式（15）中符號函數sgn（ωFS）的正負性會隨運動狀態改變，并且在實際應用中減速器的阻尼變化與潤滑脂液化狀態、輸出絕對角度、減速器組件精度、減速器組件剛度均有關聯，系數存在時變，模型并非嚴格線性，因此，需要進一步通過系統辨識方法［14］來獲得驅動單元的最佳擬合傳遞函數。

由于外肢體機器人實際運行過程中，驅動單元運行速度的最大值不超過180°/s，關節完成單一動作的作動頻率不超過15 Hz，因此，系統辨識實驗選擇頻率范圍為0.1～15 Hz、最大幅值為209°的正弦曲線作為目標輸入。辨識實驗時間共30 s，控制頻率為500 Hz，共計15 000個數據點。

由于被辨識的系統需要具有穩定性，因此在驅動單元控制環節加入了比例控制，在不改變系統階數的情況下使系統構成閉環，如圖7所示。

系統辨識過程中閉環系統的部分目標輸入與實際響應如圖8所示。

采用最小二乘辨識方法獲得該系統的1階、2階、3階、4階模型，擬合結果如圖9所示。可以看出，2階模型與1階模型的擬合度最佳。其中，1階擬合傳遞函數平均擬合誤差為0.1594 rad/s，2階傳遞函數平均擬合誤差為0.1591 rad/s，3階傳遞函數平均擬合誤差為0.1625 rad/s，4階傳遞函數平均擬合誤差為1.4622 rad/s。從擬合出的傳遞函數可知，2階模型零極點位置與1階模型類似。

其中1階傳遞函數為

2階傳遞函數為

本文以上述擬合結果為依據，通過零極點配置的方法可以獲得驅動單元的最優控制參數。

2.5 驅動單元負載阻尼辨識

負載阻尼辨識是為了建立驅動單元的線性簡化負載摩擦模型，并為控制環節的前饋量設定提供依據。驅動單元的負載實驗系統如圖10所示。驅動單元外側裝有絕對值關節編碼器用于反饋運動信息。實驗數據由CAN總線匯集，并以UDP數據包的形式通過控制器節點與上位機建立的以太網有線連接進行上傳。其中，連桿自身質量為538 g，連桿質心距離轉動中心的距離為216 mm，負載質量為3 kg，負載質心距離轉動中心的距離為334 mm。

為了獲得驅動單元的負載阻尼特性，實驗過程中控制驅動單元勻速轉動，使連桿與負載的重力垂直分量引起的重力負載轉矩以及負載阻尼轉矩始終與驅動單元輸出轉矩平衡，分別測量出不同負載轉矩下驅動單元負載阻尼轉矩的大小。如圖11所示，驅動單元以不同方向同一速度勻速轉過同一角度時，驅動單元輸出轉矩差值為兩倍的負載阻尼轉矩（圖中，Tdrive-unit為驅動單元輸出轉矩；G為負載所受重力）。

在不同轉速下，驅動單元輸出端負載轉矩Tload（4～11 N·m）與驅動單元電機側負載阻尼轉矩Tfe的關系如圖12所示。

由于實驗中驅動單元的輸出角加速度不能精確控制為零，且驅動單元在不同位置潤滑與嚙合情況不同，因此圖12中由驅動單元電機q軸電流換算得到的負載扭矩存在波動。由圖12可知，驅動單元在不同轉速下的負載阻尼轉矩處于相近分布范圍，且與負載扭矩成近似線性關系。

根據擬合結果，本文中驅動單元的負載阻尼轉矩特性可近似表示為

Tf=0.0295TL+0.035（18）

負載阻尼系數CL為

CL=0.0295i2=0.571（19）

在摩擦力作用下，驅動單元輸出端每承受1 N·m負載，可等效為無摩擦負載1.571 N·m，負載效率為63.7%。

3 高功率密度驅動單元控制

3.1 PID控制

驅動單元PID控制框圖見圖13，包含了電流環、速度環、位置環的控制。本文將PID控制方法作為基準對比方法。

在離散系統中，PID控制模型可表示為

式中，u（k）為PID輸出量；e（k）為輸入誤差量；KP為比例系數；KI為積分系數；KD為微分系數；k為周期總數；T為控制周期。

3.2 計算力矩控制

計算力矩控制方法［15］以被控系統的動力學模型為基礎，通過加入位移反饋、速度反饋和加速度前饋得到響應控制律，并通過在內控制回路中引入非線性補償，使被控系統轉化為易于控制的線性定常系統。

圖10所示的機器人關節負載試驗系統的動力學模型為

在計算力矩控制實驗中，驅動單元的角度跟蹤效果如圖15所示，角度跟蹤誤差如圖16所示，電機q軸電流變化如圖17所示。

采用計算力矩控制方法后，驅動單元的最大角度跟蹤誤差約為2.876°，平均角度跟蹤誤差約為0.847°。相比于PID控制方法（最大角度跟蹤誤差約為6.114°，平均角度跟蹤誤差約為1.369°），計算力矩控制方法的精度有明顯提高，最大角度誤差下降了約53%，平均角度誤差下降了約38%。同時，驅動單元電機q軸電流的振顫現象得到了有效抑制。但可以發現，驅動單元在低速換向時仍然存在死區問題，需要進行死區補償。

4 高功率密度驅動單元低速死區自適應補償

通過控制實驗可以發現，驅動單元在大負載條件下進行換向操作時存在明顯的低速死區現象，具體表現為：在轉速接近零時驅動單元會提前停止或啟動滯后，導致輸出角度無法精確跟蹤目標角度，如圖15所示。

4.1 低速死區自適應補償方法

本文提出的驅動單元的低速死區自適應補償方法在驅動單元運行時，根據實時角度跟蹤誤差與轉速判斷是否處于低速死區，并在死區內進行電機q軸電流補償。低速死區的判別原理如圖18所示，根據兩個條件判斷驅動單元是否存在低速死區：①驅動單元的角度誤差是否會超過閾值；②驅動單元轉速是否換向。

驅動單元處于低速死區時， q軸電流補償公式如下：

其中，Icomp為補償電流值， θtran為目標軌跡的換向角度，θ1為死區自適應補償的介入角度，θ為驅動單元實時角度，I1為電機q軸補償電流的初始值，I2為電機q軸補償電流的最終值，其原理如圖19所示。參數θ1、I1、I2的值直接決定了驅動單元死區補償的效果，而三個參數值的選擇依賴于自適應迭代優化算法。

具體地，本文提出的低速死區自適應補償方法包含三個步驟：

（1）參數初始值與調節范圍的確定。根據經驗、驅動單元性能和實驗測試數據，設定參數θ1、I1、I2的初始值，并確定各個參數的調節范圍。

（2）模糊推理系統的建立。基于參數θ1、I1、I2的初始值與調節范圍，建立用于三個參數優化調節的模糊推理系統，將實驗測試獲取的最大角度跟蹤誤差作為輸入，經過模糊化、模糊推理和去模糊化處理后，輸出參數θ1、I1、I2的調節量k。其中，根據驅動單元最大角度跟蹤誤差越大，參數I1、I2的值越大，θ1越遠離θtran的原則，建立模糊規則。

（3）參數的迭代優化。在參數θ1、I1、I2的迭代優化過程中，每一次迭代都需要將前一個測試周期中驅動單元最大角度跟蹤誤差作為模糊推理系統的輸入，輸出為參數θ1、I1、I2調節后的值，θ1←θ1-kθ1，I1←I1+kI1，I2←I2+kI2。此處值得注意的是，如圖20所示，若當前死區類型為反向死區，則模糊推理獲得的參數調節量k需減半；若當前死區類型為雙向死區，則調節量直接取前兩次測試周期獲得的調節量平均值，并在下一測試周期完成后，基于最大角度跟蹤誤差從最近三個測試周期中選取最佳的參數值組合。本文提出的死區自適應補償方法的流程如圖21所示。參數θ1、I1、I2依據調節量k變化的過程即為自適應迭代優化的過程。

圖22顯示了在計算力矩控制方法下，采用低速死區自適應補償方法后驅動單元的角度跟蹤效果與電機q軸電流變化情況。圖22c中黃色陰影內的黑色曲線為進行死區補償后的電機q軸電流變化曲線，綠色曲線為未進行死區補償的電機q軸電流變化曲線。在進行死區補償后電機q軸電流出現了一次明顯的線性階躍，后續由于計算力矩控制的反饋補償作用，電機q軸電流逐漸又被拉回補償前的水平，驅動單元在死區內的角度跟蹤誤差得到了明顯的改善。

4.2 低速死區自適應補償實驗

4.2.1 參數初始值與調節范圍

根據經驗、驅動單元性能和實驗測試數據，設定參數θ1、I1、I2的初始值分別為θ1=70°、I1=2 A、I2=1 A。進一步，確定參數θ1的初始調節量為10°，參數I1和I2的初始調節量分別為2 A和1 A。

4.2.2 模糊推理系統

基于參數θ1、I1、I2的初始值與調節范圍，對模糊推理系統輸入變量最大角度跟蹤誤差進行模糊化處理，如表1所示。在本文的實驗中，未進行死區自適應補償時，驅動單元的最大角度跟蹤誤差約為2.9°。因此，本文將模糊推理系統輸入變量的范圍設定為［-3，3］，并劃分為5個集合：負大（NB）、負小（NS）、零（ZO）、正小（PS）、正大（PB）。

類似地，模糊推理系統的輸出變量同樣被分為5個集合：負大（NB）、負小（NS）、零（ZO）、正小（PS）、正大（PB），如表2所示。

根據驅動單元最大角度跟蹤誤差emax越大，參數I1、I2的值越大，θ1越遠離θtran，k值越大原則建立模糊規則如下：

（1）若emax為NB，則k為NB；

（2）若emax為NS，則k為NS；

（3）若emax為ZO，則k為ZO；

（4）若emax為PS，則k為PS；

（5）若emax為PB，則k為PB；

模糊推理系統的輸出變量u可由emax與模糊關系矩陣R進行計算獲得：

u=emax R（24）

其中，模糊關系矩陣R為

4.2.3 參數迭代優化

在建立模糊推理系統后，即可進行參數θ1、I1、I2的自適應迭代優化。如圖23所示，按照參數θ1、I1、I2的初始值進行死區補償后，最大角度跟蹤誤差為2.04°，隸屬于PS與PB集合，模糊推理系統的輸出可表示為

根據重心法進行去模糊化計算，并對uPS和uPB求平均后乘以接近1的隨機比例系數（為了給相對公式化的模糊控制提供隨機變動空間以求結果相對多樣）獲得參數調節量的變化倍率為2.08，本次迭代獲得的參數調節量k=2.08，參數θ1、I1、I2的變化量如下：

經過第一次迭代優化后，參數θ1、I1、I2的值分別為49.2°、6.16 A和3.08 A，如圖23所示。在下一個測試周期中采用以上參數值進行死區補償后，最大角度跟蹤誤差為0.78°，隸屬于PS和ZO集合，模糊推理系統的輸出可表示為

再次根據重心法進行去模糊化計算，并對uPS和uZO求平均后乘以接近1的隨機比例系數獲得參數調節量的變化倍率為0.73，本次迭代獲得的參數調節量k=0.73，參數θ1、I1、I2的變化量如下：

經過第二次迭代優化后，參數θ1、I1、I2的值分別為41.9°、7.62 A和3.81 A，如圖23所示。采用以上參數值進行死區補償后，最大角度跟蹤誤差為0.84°。同時，死區補償后的最大反向跟蹤誤差為-0.34°，說明死區補償過度，該次測試周期的死區為雙向死區。選擇前兩次測試周期中參數θ1、I1、I2的平均值作為本次迭代獲得的參數值，分別為45.6°、6.89 A和3.45 A。采用以上參數值進行死區補償后，對比最近三個測試周期的補償效果，基于最大角度跟蹤誤差從最近三個測試周期中選取最佳的參數值組合，為49.2°、6.16 A和3.08 A。

采用最佳的參數值組合進行死區補償后，驅動單元的角度跟蹤結果如圖24所示。低速死區補償后的驅動單元最大角度跟蹤誤差約為1.573°，僅有未進行死區補償前最大角度跟蹤誤差的54.5%，且最大角度跟蹤誤差出現在死區補償開始介入的時刻。低速死區補償后的驅動單元平均角度跟蹤誤差約為0.335°，僅有未進行死區補償前平均角度跟蹤誤差的39.6%。

5 結論

（1）提出了一種外肢體機器人用高功率密度驅動單元的參數辨識與建模方法，并進行了控制驗證。基于阻尼辨識方法建立了驅動單元負載阻尼特性模型，提出了基于動力學模型的計算力矩控制方法。實驗結果顯示，在采用基于動力學模型的計算力矩控制方法時，驅動單元最大角度跟蹤誤差相較于PID控制方法減小了約53%，平均角度跟蹤誤差減小了約38%。

（2）針對驅動單元控制的低速死區問題，提出了一種低速死區在線自適應補償方法。實驗結果顯示，在計算力矩控制方法的基礎上采用死區自適應補償方法，驅動單元最大角度跟蹤誤差相較于死區補償前減小了約45%，平均角度跟蹤誤差減小了約60%。實驗結果驗證了死區自適應補償方法在外肢體機器人驅動單元控制上的有效性。未來，將針對驅動單元即時死區補償開展研究，以便于更快地適應多變工況。

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