模型建構(gòu)、解釋及預(yù)測系列（6）：光的反射及折射

在涉及光的反射與折射問題中，光與介質(zhì)（空氣、水）是系統(tǒng)，光與介質(zhì)的相互作用表現(xiàn)出反射或折射現(xiàn)象，畫出的示意圖是模型，利用光的反射與折射以及相關(guān)的模型，可以解釋很多現(xiàn)象，而巧妙地利用這些原理，又可以發(fā)明創(chuàng)造，如顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明。

一、光的反射和折射

古代人們就已有光的反射觀念，戰(zhàn)國時(shí)期的著作《周髀》中就明確指出：“日照月，月光乃生，成明月。”經(jīng)過歸納總結(jié)，人們發(fā)現(xiàn)了光的反射和折射規(guī)律。

1.光的反射與折射模型

光的反射是指光在傳播的過程中遇到不同物質(zhì)時(shí)，在分界面上改變傳播方向的現(xiàn)象。人們發(fā)現(xiàn)：反射光線與入射光線在同一平面內(nèi)；反射光線和入射光線分布在法線（分界面的垂線）的兩側(cè)；反射角等于入射角。

光的折射是指光從一種介質(zhì)斜射入另一種介質(zhì)時(shí)，傳播方向發(fā)生改變，從而使光線在不同介質(zhì)的交界處發(fā)生偏折的現(xiàn)象（如圖1）。

光遇到水面、玻璃以及其他許多物體的表面都會發(fā)生反射，如人們在平靜的水邊會看到反射的天空、云朵和岸邊的景色。人們還注意到這樣的特點(diǎn)：折射光線和入射光線分布在分界面兩側(cè)；折射光線、入射光線在同一平面內(nèi)；折射角r的正弦與入射角i的正弦之比為常數(shù)（折射定律）。

光的折射與光的反射一樣都是發(fā)生在兩種介質(zhì)的交界處，只是反射光返回原介質(zhì)中，而折射光進(jìn)入另一種介質(zhì)中。一般來講，在兩種介質(zhì)的分界處，反射和折射同時(shí)發(fā)生。

光的折射程度與介質(zhì)密度直接相關(guān)。光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時(shí)，如果入射角大于某一角度（臨界角），折射光完全消失，只剩下反射光線，這一現(xiàn)象稱為全反射（如圖2左）。光纖通信就利用了全反射原理，光在纖芯中全反射，通過光把信息傳到遠(yuǎn)處（如圖2右）。

2.眼睛看到水中的物體

這是一個(gè)有趣的現(xiàn)象：由于光的折射中入射角不等于折射角，導(dǎo)致我們看水中的物體時(shí)，眼睛看到的像比實(shí)際物體位置偏高。

面對這一現(xiàn)象，如何用模型進(jìn)行解釋呢？以一只半浸入水中的鉛筆為例，畫出水中筆的末端光線折射示意圖（建模），可以看出示意圖的效果與實(shí)際照片高度吻合（如圖3），從而就用“光的折射模型”解釋了上述現(xiàn)象。

3.海市蜃樓現(xiàn)象

如果空氣和水是均質(zhì)的，光在空氣中或在水中會沿直線傳播，但是由于溫差等因素導(dǎo)致空氣或水不均勻，光線在其中就“不沿直線傳播”了。

在沙漠或海邊，人們有時(shí)可以看到遠(yuǎn)處的空中出現(xiàn)高樓聳立、街道棋布或山巒重疊等景象。山東蓬萊海面上常出現(xiàn)這種幻景，古人歸因于蜃（神話傳說中的一種海怪）吐氣而成樓臺城郭，故得名“海市蜃樓”。古代把蜃景看成是仙境，秦始皇、漢武帝曾率人前往蓬萊尋訪仙境，還多次派人去蓬萊尋求靈丹妙藥。

“海市蜃樓”是由大氣的折射和全反射導(dǎo)致的。當(dāng)大氣層比較平靜時(shí)，如果地面或海面上的空氣溫度比較低，高層空氣溫度比較高，這時(shí)可以把大氣分成多層，下層空氣的折射率較大（相當(dāng)于光密介質(zhì)），上層空氣的折射率較小（相當(dāng)于光疏介質(zhì)）。遠(yuǎn)處的景物發(fā)出的光線射向空中時(shí)不斷被折射，到達(dá)上層大氣時(shí)入射角越來越大，當(dāng)入射角大到臨界角時(shí)，就會發(fā)生全反射現(xiàn)象，光線會從高空通過空氣的折射逐漸返回下層。在地面的觀察者就可以觀察到由空中射來的光線形成的虛像，即所謂的“海市蜃樓”（如圖4）。形成“海市蜃樓”的條件是：天氣晴朗，無風(fēng)，大氣溫度隨高度變化比較明顯。

4.水中的倒影

在水邊散步我們有時(shí)會看到水面波光粼粼，如果仔細(xì)觀察，會發(fā)現(xiàn)岸上的燈光是一個(gè)小圓點(diǎn)，而它在水中的倒影則變?yōu)榧?xì)長的橢圓（如圖5左）。但是在另一種場合，則會發(fā)現(xiàn)水面反射的燈光基本上與岸上的燈光對稱（如圖5右）。

同樣都是反射現(xiàn)象，為什么會有這樣的差異？其實(shí)最主要的原因是水面的平整程度。

如果水面在微風(fēng)作用下產(chǎn)生了起伏，這時(shí)水面A、B、C、D處的反射光都可以進(jìn)入眼睛（如圖6上），即我們會看到反光區(qū)域遠(yuǎn)比原燈光大，但是寬度方面基本不變，因此水中的燈光變?yōu)榧?xì)長的橢圓。

如果水面很平靜，可以看成平面鏡，則在水面的A、B、C、D位置，只有B處的反射光可以進(jìn)入眼睛，A、C、D處的反射光不能進(jìn)入眼睛（如圖6下，圖中打叉的光線表示眼睛看不到），因此看到水中的燈光是一個(gè)很小區(qū)域。

二、水球及氣泡的成像

利用凸透鏡和凹透鏡成像的特點(diǎn)，可以得到物體在凸透鏡和凹透鏡成像的大小和位置，也可以解釋某些現(xiàn)象。

在光學(xué)中，由實(shí)際光線匯聚成的像稱為實(shí)像，實(shí)像可以用眼睛看到，也可以在屏幕上顯示；由實(shí)際光線反向延長匯集成的像稱為虛像，虛像能用眼睛看到，不能在屏幕上顯示。

1.透鏡的成像規(guī)律

凸透鏡成像有3個(gè)特點(diǎn)（如圖7上）：平行于光軸的入射光線，通過透鏡后匯交于焦點(diǎn)F′；經(jīng)過焦點(diǎn)F的光線，通過透鏡后平行于光軸；經(jīng)過透鏡光心的入射光線，通過透鏡后方向不變。

凹透鏡成像有3個(gè)特點(diǎn)（如圖7下）：平行于光軸的入射光線，通過透鏡后反向延長線匯交于焦點(diǎn)F；對準(zhǔn)焦點(diǎn)F′的光線，通過透鏡后平行于光軸；經(jīng)過透鏡光心的入射光線，通過透鏡后方向不變。

2.太空中水球成像的建模

在太空中，由于失重環(huán)境，氣泡可以停留在水球之中，可以形成一種獨(dú)特的現(xiàn)象：宇航員可以在水球中形成兩個(gè)像：一正一反，一大一小（如圖8左）。

這一現(xiàn)象能否用透鏡成像來解釋呢？這時(shí)水球的周邊相當(dāng)于凸透鏡，水球的中間部位由于氣泡存在相當(dāng)于凹透鏡（如圖8右）。

如圖9所示，假設(shè)F1是凹透鏡的焦點(diǎn)，F(xiàn)2是凸透鏡的焦點(diǎn)。可以看出，水球的透鏡模型解釋了水球邊緣成縮小倒立的實(shí)像，而水球中間成縮小正立的虛像，與照片中的現(xiàn)象一致。

三、小孔成像中的一些問題

1.小孔成像與孔的形狀

大約兩千年前，墨翟和他的學(xué)生做了世界上第一個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)，解釋了小孔成倒像的原因，指出了光的直線行進(jìn)的性質(zhì)。

有一個(gè)問題，為什么小孔成像要強(qiáng)調(diào)孔很小？實(shí)際上小孔很重要，它保證了物體每一處的光線經(jīng)過小孔后，在屏幕上只有一個(gè)對應(yīng)點(diǎn)（如圖10上），這種情況下，物體A、B、C三點(diǎn)發(fā)出（或反射）的光，通過小孔后，在盒子內(nèi)部屏幕上位于A'、B'、C'處，即形成倒立的像。而如果孔徑較大，物體多處發(fā)出（或反射）的光，都可以匯集在屏幕的同一點(diǎn)，這樣一來，不能形成清晰的像（如圖10下）。

14世紀(jì)中葉，元代天文數(shù)學(xué)家趙友欽進(jìn)一步詳細(xì)考察了日光通過墻上孔隙所形成的像和孔隙之間的關(guān)系。他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)孔隙相當(dāng)小時(shí)，盡管孔隙的形狀不是圓形的，但投影都是圓形的。當(dāng)孔很小，M、N兩點(diǎn)幾乎重合時(shí)，A1A2范圍和C1C2范圍很小，幾乎可以看成是一個(gè)點(diǎn)，從而成的像與孔的邊緣無關(guān)（如圖11），只是像的邊緣稍微有點(diǎn)模糊，模糊程度與小孔直徑有關(guān)：孔越小，邊緣越清晰。

2.不合理的小孔成像圖

在網(wǎng)上甚至部分教科書中，關(guān)于小孔成像的示意圖存在錯(cuò)誤，如圖12中兩幅典型的示意圖。圖中的人像和火烈鳥像上下倒置，是合理的，但是前后翻轉(zhuǎn)就不合理，因?yàn)槿说哪樅褪植浚ㄈ鐖D12左），或者火烈鳥的尾巴（如圖12右），經(jīng)過小孔成像后，是看不到的。這就類似于我們在鏡子中看不到自己的后腦和后背。

總結(jié)

系統(tǒng)和模型是重要的跨學(xué)科概念，可以利用模型對很多現(xiàn)象進(jìn)行解釋。

根據(jù)系統(tǒng)的特點(diǎn)進(jìn)行簡化建模，是探究實(shí)踐中的一種重要能力，也是科學(xué)家的日常工作內(nèi)容。目前教學(xué)中比較缺少對學(xué)生建模的訓(xùn)練，通常是給出了模型，但是很少介紹如何獲得模型，以及如何用模型解釋某些現(xiàn)象。

因此，在這一欄目中專門花了一些篇幅，介紹針對身邊容易看到的現(xiàn)象（眼睛看到水中物體的位置、水面的反射現(xiàn)象、小孔成像）與某些趣味現(xiàn)象（太空中的水球成像、海市蜃樓），以及如何簡化建模、如何用模型解釋某些現(xiàn)象。

系列文章的前幾篇內(nèi)容，還介紹了如何利用模型進(jìn)行預(yù)測。希望科學(xué)教師在理解的前提下，在教學(xué)中向?qū)W生適當(dāng)介紹建模的方法，讓他們能夠自行對一些有趣的現(xiàn)象進(jìn)行簡化分析，這將使他們受益終身。

（作者：清華大學(xué)航天航空學(xué)院教授，義務(wù)教育科學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組成員，“天宮課堂”策劃人）