基于SSA-BGOMP的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮重構(gòu)方法

羅國(guó)慶，胡東，趙仲勇a，廖潤(rùn)，謝菊芳

（1.西南大學(xué) a.工程技術(shù)學(xué)院；b.智能電網(wǎng)及裝備新技術(shù)國(guó)際研發(fā)中心，重慶 400715；2.中國(guó)南方工業(yè)集團(tuán)軍品部，北京 100089）

近年來(lái)，隨著工業(yè)化的發(fā)展，傳感器在大型機(jī)械設(shè)備上的檢測(cè)與采樣愈發(fā)復(fù)雜，依據(jù)傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理進(jìn)行采樣得到的數(shù)據(jù)量巨大，數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)采集、存儲(chǔ)困難，而且會(huì)引發(fā)傳感器功耗激增、續(xù)航過(guò)短等問(wèn)題。壓縮感知理論提出稀疏信號(hào)可以用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理要求的采樣頻率進(jìn)行采樣［1］，為處理海量數(shù)據(jù)提供了新的思路，因此被廣泛應(yīng)用于壓縮成像［2］、語(yǔ)音信號(hào)處理［3］、雷達(dá)探測(cè)［4］等領(lǐng)域。

壓縮感知要求信號(hào)本身稀疏或在某個(gè)變換域上稀疏。最常見(jiàn)的變換域是正交基完備稀疏字典，但其靈活性較差，處理具備復(fù)雜特性的軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)稀疏性較差，信號(hào)重構(gòu)效果不佳［5］。基于字典學(xué)習(xí)算法的字典可以更好地適應(yīng)軸承振動(dòng)信號(hào)自身的特性，K?奇異值分解（K?Singular Value Decomposition，K?SVD）算法在最優(yōu)向量法［6］的基礎(chǔ)上優(yōu)化了順序更新列［7］，其生成的過(guò)完備字典與原信號(hào)的匹配度高，稀疏效果好［8］。文獻(xiàn)［9?10］在不同振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知過(guò)程中利用K?SVD 訓(xùn)練過(guò)完備字典稀疏信號(hào)，有效提升了振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知性能。然而，常見(jiàn)的重構(gòu)算法在K?SVD 過(guò)完備字典上恢復(fù)振動(dòng)信號(hào)的應(yīng)用效果并不理想［11］，重構(gòu)效果仍有待提升。

傳統(tǒng)的信號(hào)重構(gòu)算法有以正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［12］為代表的貪婪算法和以基追蹤算法（Basis Pursuit，BP）［13］為代表的凸優(yōu)化算法。貪婪算法的重構(gòu)效率高，但易陷入局部最優(yōu)；凸優(yōu)化算法的精度高，但計(jì)算復(fù)雜度過(guò)高，不符合實(shí)際應(yīng)用要求。廣義正交匹配追蹤算法（Generalized Orthogonal Matching Pursuit，GOMP）［14］在OMP 基礎(chǔ)上改變了原子選擇方式，通過(guò)每次選擇多個(gè)原子加快了收斂速度，但其無(wú)法剔除每次迭代中的錯(cuò)誤原子，重構(gòu)精度不佳。文獻(xiàn)［15］在GOMP 迭代后對(duì)系數(shù)施加約束，提出了基于約束的廣義正交匹配追蹤算法，抗噪性有所提升，但仍無(wú)法在迭代中剔除錯(cuò)誤原子。文獻(xiàn)［16］引用子空間追蹤（Subspace Pursuit，SP）思想提出了基于子空間的廣義正交匹配追蹤算法，其在糾正原子時(shí)選擇絕對(duì)值最大的k項(xiàng)作為原始信號(hào)最終估計(jì)值，而實(shí)際應(yīng)用中的信號(hào)相對(duì)k是稀疏的，因此該算法在實(shí)際應(yīng)用中的重構(gòu)誤差較大，細(xì)節(jié)信息丟失嚴(yán)重［17?18］。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出基于麻雀搜索算法?回溯廣義正交匹配追蹤（Sparrow Search Algo?rithm ?Back GOMP，SSA?BGOMP）的軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮感知方法，利用高斯隨機(jī)矩陣對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，利用K?SVD 訓(xùn)練樣本信號(hào)得到稀疏字典，在GOMP 基礎(chǔ)上引入改進(jìn)的回溯機(jī)制，通過(guò)SSA［19］自適應(yīng)設(shè)置閾值的方式對(duì)支撐集原子進(jìn)行二次回溯篩選，降低錯(cuò)誤原子與噪聲分量被選入支撐集的概率，提升算法的抗噪性以及重構(gòu)效果。

1 壓縮感知與降噪

壓縮感知理論提出，當(dāng)信號(hào)稀疏或其在某個(gè)變換域上稀疏，就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，得到一個(gè)遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度的觀測(cè)值，通過(guò)優(yōu)化求解就能夠從相對(duì)少的投影中構(gòu)造出一個(gè)近似原信號(hào)的重構(gòu)信號(hào)。

設(shè)f為有限實(shí)值離散空間，壓縮感知要求f的信號(hào)是稀疏的，其數(shù)學(xué)模型為

式中：f為原始信號(hào)；Ψ為正交基矩陣，Ψ=(φ1，φ2，…，φN)；α為原始信號(hào)f在正交基矩陣Ψ上的稀疏投影。設(shè)α有k(k＜＜n)個(gè)非零系數(shù)。k為稀疏度，是衡量原始信號(hào)f在Ψ上稀疏效果的指標(biāo)。

獨(dú)立同分布的高斯隨機(jī)變量形成的觀測(cè)矩陣與任意正交基矩陣Ψ具有較強(qiáng)的不相關(guān)性［20］，而且高斯隨機(jī)矩陣與Ψ形成的感知矩陣滿足有限等條件（Restricted Isometry Property，RIP）且約束等距常數(shù)δk較小［21］，則觀測(cè)值y可表示為

聯(lián)立（1），（2）式可得

式中：Φ為觀測(cè)矩陣；Θ為感知矩陣。

上述問(wèn)題轉(zhuǎn)換為從觀測(cè)值y中恢復(fù)原始信號(hào)f，需從觀測(cè)值y中求解稀疏投影α，即求解如下的最優(yōu)化問(wèn)題

最小L0范數(shù)可在一定條件下轉(zhuǎn)換為最小L1范數(shù)以找到最稀疏的解，則（4）式可轉(zhuǎn)換為

設(shè)原始信號(hào)f由純凈信號(hào)x與噪聲信號(hào)n構(gòu)成，即f=x+n，將其在正交基矩陣Ψ展開(kāi)可得

與（3）式聯(lián)立可得

式中：αx，αn分別為x和n在Ψ上的稀疏投影。設(shè)αx，αn的稀疏度分別為kx和kn，由于n不具備稀疏性，而x可以被正交基矩陣Ψ稀疏，則有kn＜＜kx。因此，可以從原始信號(hào)f中較好的重構(gòu)出純凈信號(hào)x，噪聲信號(hào)n則很難重構(gòu)，即壓縮感知可以在重構(gòu)過(guò)程中過(guò)濾噪聲。

2 SSA?BGOMP

當(dāng)α是稀疏度為k的稀疏投影時(shí)，其內(nèi)部會(huì)存在大量的0 元素。感知矩陣Θ中對(duì)應(yīng)α為0 位置的列不會(huì)影響壓縮感知重構(gòu)，只有α非0位置的列才會(huì)影響壓縮感知重構(gòu)。對(duì)于感知矩陣Θ，將對(duì)應(yīng)α為0 位置的列合并為無(wú)效支撐集I，對(duì)應(yīng)α非0位置的列合并為有效支撐集E，即

則由壓縮感知理論可得

壓縮感知的支撐集原子選擇過(guò)程就是尋找有效支撐集E中全部原子的過(guò)程。GOMP 算法每次選擇S個(gè)原子（默認(rèn)值為k/4），雖然增加了選入有效支撐集原子的概率，但也增加了選入無(wú)效支撐集原子的概率，而且無(wú)法剔除無(wú)效支撐集原子。因此，本文在GOMP 算法中引入回溯思想降低錯(cuò)誤原子選入支撐集的可能性。在迭代過(guò)程中，通過(guò)SSA 自動(dòng)設(shè)置閾值過(guò)濾無(wú)效支撐集原子，降低錯(cuò)誤原子被選入支撐集的概率，從而更好地重構(gòu)原始信號(hào)的細(xì)節(jié)信息，并提升壓縮感知重構(gòu)效果及其降噪能力。SSA?BGOMP 算法流程如圖1 所示，算法具體描述如下。

圖1 SSA?BGOMP算法流程圖Fig.1 Flow chart of SSA?BGOMP algorithm

輸入：觀測(cè)值y；感知矩陣Θ=ΦΨ；稀疏度k；每次選擇原子的個(gè)數(shù)S，默認(rèn)值k/4，若k＜4 則取N= 1；

初始化：r0=y，Λ0= ?，t= 1；設(shè)定SSA 的參數(shù)，當(dāng)滿足終止條件后得到最優(yōu)閾值μ；

Fort= 1：k

（a）更新索引集：求u= abs[ΘTrt?1]，取值最大的S個(gè)并將其對(duì)應(yīng)ΘT中的列序號(hào)j構(gòu)成一個(gè)列序號(hào)集合J0；令Λt=Λt?1∪J0，Θt=Θt?1∪θj(for allj∈J0)；

（b）求最小二乘解：求y=Θtαt的最小二乘解α?t；

（c）篩選索引集原子：更新Λt為最小二乘解絕對(duì)值大于閾值μ對(duì)應(yīng)的原子集合；

（d）更新殘差：rt=y?

End

3 仿真分析

為驗(yàn)證SSA?BGOMP 算法重構(gòu)信號(hào)的效果，選用長(zhǎng)度為256 的高斯隨機(jī)信號(hào)作為仿真信號(hào)，與OMP，壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit，CSMP），SP，GOMP，SSA?BGOMP 算法進(jìn)行對(duì)比分析。仿真信號(hào)的稀疏度k以5為步長(zhǎng)從5增至50，觀測(cè)矩陣為100×256的高斯隨機(jī)矩陣，壓縮率為60%；SSA?BGOMP與GOMP每次選擇的原子數(shù)取默認(rèn)值，SSA的參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表1。相對(duì)誤差小于0.1%時(shí)記為重構(gòu)成功，試驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行100次并記錄成功次數(shù)，成功重構(gòu)率及其相對(duì)誤差如圖2所示：SSA?BGOMP算法重構(gòu)信號(hào)的成功率隨稀疏度的增加下降的最慢，在k為35時(shí)成功率仍大于70%，遠(yuǎn)高于其他算法，而且其重構(gòu)信號(hào)的相對(duì)誤差最小，重構(gòu)信號(hào)比其他算法更接近原始信號(hào)。

表1 SSA參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings of SSA

圖2 不同算法重構(gòu)信號(hào)的成功率及其相對(duì)誤差Fig.2 Successful rates and relative errors of reconstructed signals by different algorithms

向仿真信號(hào)中加入信噪比30 dB 的高斯白噪聲，在其他條件不變的工況下對(duì)比不同算法的峰值信噪比（Peak Signal To Noise Ratio，PSNR），試驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行100 次以驗(yàn)證SSA?BGOMP 算法的抗噪性，結(jié)果如圖3所示；另外，將仿真信號(hào)的稀疏度k設(shè)為25，在其他條件不變的工況下對(duì)比不同算法的運(yùn)行時(shí)間，試驗(yàn)重復(fù)運(yùn)行10 次以驗(yàn)證SSA?BGOMP算法的計(jì)算效率，結(jié)果如圖4所示。由圖3、圖4可知：SSA?BGOMP 算法重構(gòu)信號(hào)的峰值信噪比最高，重構(gòu)信號(hào)所需時(shí)間也低于OMP，CSMP 和SP 算法，抗噪性良好的同時(shí)在計(jì)算效率上也具備一定優(yōu)勢(shì)。

圖3 不同算法重構(gòu)信號(hào)的信噪比Fig.3 SNR of reconstructed signals by different algorithms

圖4 不同算法重構(gòu)信號(hào)所需時(shí)間Fig.4 Time required for reconstructed signals by different algorithms

仿真分析表明，引入回溯思想后，SSA?BGOMP 算法不僅保留了GOMP 算法運(yùn)行時(shí)間低的優(yōu)勢(shì)，而且重構(gòu)效果明顯提升，其綜合重構(gòu)性能優(yōu)于其他算法。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

選用凱斯西儲(chǔ)大學(xué)（CWRU）以及西安交通大學(xué)（XJTU?SY）軸承數(shù)據(jù)集進(jìn)行試驗(yàn)。CWRU 數(shù)據(jù)集包含驅(qū)動(dòng)端軸承的正常信號(hào)以及鋼球、外圈、內(nèi)圈故障信號(hào)，XJTU?SY 數(shù)據(jù)集則包含外圈、內(nèi)圈故障信號(hào)。其中，N 表示正常信號(hào)，B，OR，IR 分別表示鋼球、外圈、內(nèi)圈故障信號(hào)。信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)取1024，CWRU 數(shù)據(jù)集中4 種原始信號(hào)的時(shí)域波形如圖5所示。

圖5 CWRU數(shù)據(jù)集的4種原始信號(hào)Fig.5 Four initial signals in CWRU dataset

4.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

使用相對(duì)誤差σ以及峰值信噪比PPSNR共同衡量軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮重構(gòu)效果，其定義為

式中：σ為相對(duì)誤差；f為原始信號(hào)；為恢復(fù)信號(hào)；EMES為均方根誤差。σ越小，說(shuō)明壓縮感知效果越好；PPSNR越大，說(shuō)明壓縮感知降噪效果越好。

另外，使用壓縮率r表示軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮程度，即

式中：n為原始信號(hào)的長(zhǎng)度；m為觀測(cè)值的長(zhǎng)度。壓縮率越大，說(shuō)明信號(hào)的壓縮程度越高。

4.3 信號(hào)重構(gòu)

為驗(yàn)證SSA?BGOMP 算法對(duì)實(shí)際信號(hào)的重構(gòu)效果，分別選擇OMP，CSMP，SP，GOMP，SSA?BGOMP 算法對(duì)軸承振動(dòng)信號(hào)在DCT 完備字典上進(jìn)行壓縮率為0.5 ～ 0.7 的壓縮感知重構(gòu)，每組試驗(yàn)重復(fù)100次取平均值，記錄相對(duì)誤差以及峰值信噪比，結(jié)果見(jiàn)表2：信號(hào)類別、壓縮比共同影響信號(hào)的壓縮重構(gòu)效果，當(dāng)壓縮觀測(cè)條件相同時(shí)，SSA?BGOMP 算法在CWRU 與XJTU?SY 軸承數(shù)據(jù)集中均取得了比其他貪婪算法更低的相對(duì)誤差以及更高的峰值信噪比。其中，SSA?BGOMP 比GOMP 的相對(duì)誤差降低2% ～ 12%，比SP算法的相對(duì)誤差降低3% ～ 9%。

4.4 對(duì)比試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文方法對(duì)實(shí)際信號(hào)的重構(gòu)效果，對(duì)CWRU 軸承振動(dòng)信號(hào)分別選擇OMP，CSMP，SP，GOMP，SSA?BGOMP 共5 種貪婪算法，在圖5 信號(hào)訓(xùn)練的K?SVD 字典上，進(jìn)行壓縮率為0.5 ～ 0.7的壓縮感知重構(gòu)，并記錄相對(duì)誤差以及峰值信噪比。

K?SVD 算法生成過(guò)完備字典的參數(shù)依據(jù)文獻(xiàn)［5］選擇，字典長(zhǎng)度為1024×1920，稀疏表示時(shí)最多線性組合原子數(shù)為10，訓(xùn)練迭代次數(shù)為10，選用樣本信號(hào)自身原子進(jìn)行訓(xùn)練。每組試驗(yàn)重復(fù)100次取平均值，不同重構(gòu)算法對(duì)CWRU軸承振動(dòng)信號(hào)在K?SVD 字典上的相對(duì)誤差和峰值信噪比見(jiàn)表3：在K?SVD 字典上重構(gòu)軸承振動(dòng)信號(hào)時(shí)，SSA?BGOMP 的重構(gòu)相對(duì)誤差依然最低，效果最穩(wěn)定，比GOMP 的相對(duì)誤差降低3% ～ 13%，比SP 的相對(duì)誤差降低5% ～ 20%，說(shuō)明其更適用于軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知重構(gòu)。

表3 K?SVD過(guò)完備字典上各重構(gòu)算法在不同壓縮率下的相對(duì)誤差和峰值信噪比Tab.3 Relative errors and PSNR of different reconstruction algorithms on K?SVD overcomplete dictionary under different compression rates

對(duì)比表2、表3 可知：K?SVD 過(guò)完備字典對(duì)CWRU 滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮重構(gòu)效果提升顯著，正常與內(nèi)、外圈故障信號(hào)在K?SVD 過(guò)完備字典上的重構(gòu)效果較好，鋼球故障信號(hào)的稀疏表示效果欠佳，在壓縮率過(guò)高時(shí)相對(duì)誤差較大。壓縮感知過(guò)程中，壓縮率越大，壓縮觀測(cè)后的數(shù)據(jù)量越少，但壓縮率過(guò)高會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)丟失，因此在進(jìn)行壓縮觀測(cè)時(shí)壓縮率不易過(guò)高。

在壓縮率為0.6的情況下，應(yīng)用本文方法對(duì)圖5所示軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)信號(hào)的時(shí)頻域波形如圖6 所示：正常和內(nèi)、外圈故障信號(hào)在壓縮重構(gòu)后仍保留了原始信號(hào)的全部信息；鋼球故障信號(hào)壓縮重構(gòu)后在時(shí)域上有輕微偏差，但頻域分布趨勢(shì)基本一致，關(guān)鍵信息得到了保留；結(jié)果表明，軸承振動(dòng)信號(hào)經(jīng)本文方法壓縮重構(gòu)后可以保持原有趨勢(shì)不變，而且能保留關(guān)鍵特征信息，可用于后續(xù)的數(shù)據(jù)分析。

圖6 CWRU軸承數(shù)據(jù)集原始信號(hào)重構(gòu)后的時(shí)頻域波形Fig.6 Time?frequency domain waveform reconstructed from original signals of CWRU bearing dataset

4.5 本文方法對(duì)故障特征提取的影響

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法壓縮重構(gòu)后的振動(dòng)信號(hào)能否用于后續(xù)數(shù)據(jù)分析，以CWRU 軸承數(shù)據(jù)集的軸承外圈故障信號(hào)為例進(jìn)行分析，采樣頻率為12 kHz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為12000，計(jì)算可得外圈故障特征頻率為107.4 Hz。

外圈故障原始信號(hào)及其希爾伯特包絡(luò)譜如圖7 所示，可以清晰觀察到109 Hz 的外圈故障特征頻率及其倍頻。

圖7 外圈故障原始信號(hào)特征分析Fig.7 Analysis on original signal characteristics of outer ring fault

為驗(yàn)證重構(gòu)后的恢復(fù)信號(hào)能否保留原信號(hào)特征，在壓縮率為0.8的情況下，應(yīng)用本文方法對(duì)外圈故障原始信號(hào)進(jìn)行壓縮重構(gòu)。重構(gòu)信號(hào)及其希爾伯特包絡(luò)譜如圖8所示，重構(gòu)信號(hào)僅幅值發(fā)生輕微偏差，仍可清晰分辨外圈故障特征頻率及其倍頻。

圖8 外圈故障重構(gòu)信號(hào)特征分析Fig.8 Analysis on reconstructed signal characteristics of outer ring fault

5 結(jié)束語(yǔ)

為改善軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知效果，針對(duì)GOMP 算法在迭代過(guò)程中無(wú)法剔除錯(cuò)誤原子的問(wèn)題，提出了基于SSA?BGOMP的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮感知方法。該方法具有一定的自適應(yīng)性，在提升壓縮感知恢復(fù)效果的同時(shí)并未添加新的人工選擇參數(shù)，可以有效緩解數(shù)據(jù)量過(guò)多為數(shù)據(jù)處理帶來(lái)的壓力。仿真與試驗(yàn)分析表明，本文方法對(duì)比其他貪婪算法具有明顯優(yōu)勢(shì)，可以有效改善軸承振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知效果。經(jīng)過(guò)本文方法壓縮重構(gòu)后的恢復(fù)信號(hào)，數(shù)據(jù)特征參量能夠被完整保存，可應(yīng)用于后續(xù)數(shù)據(jù)處理。