基于曲波域凸集投影算法的缺失GPR 信號(hào)高精度重建

吳祺銘，王洪華，席宇何，王欲成

(桂林理工大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

探地雷達(dá)(Ground Penetrating Radar,GPR)是一種利用高頻電磁波來(lái)探測(cè)地下淺部地質(zhì)結(jié)構(gòu)的地球物理方法[1-3]，具有操作便捷、分辨高、效率高、無(wú)損等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于路基病害、塌陷空洞、隧道襯砌等淺層目標(biāo)體的精細(xì)探測(cè)[4-7]。高質(zhì)量GPR 信號(hào)是利用成像方法精確分析淺層物性和幾何結(jié)構(gòu)的前提。然而，受探測(cè)現(xiàn)場(chǎng)河溝、施工機(jī)器等障礙物、起伏地形引起的天線耦合不佳、儀器性能等影響，實(shí)測(cè)GPR 剖面中不可避免會(huì)出現(xiàn)信號(hào)缺失和壞道，易造成目標(biāo)體產(chǎn)生反射波和繞射波同相軸斷開(kāi)現(xiàn)象[8]。常規(guī)處理方法如線性插值法根據(jù)相鄰道之間的信號(hào)連續(xù)進(jìn)行重建，當(dāng)信號(hào)大規(guī)模連續(xù)缺失時(shí)，重建誤差較大，嚴(yán)重影響后續(xù)偏移與反演成像效果。因此，深入研究缺失信號(hào)的高精度重建方法，是GPR 研究的熱點(diǎn)之一。

從信號(hào)處理角度看，利用低于奈奎斯特(Nyquist)采樣定理的未缺失信號(hào)去重建缺失信號(hào)是一個(gè)欠定問(wèn)題，若先驗(yàn)信息未知，通常難以高精度重建缺失信號(hào)[9]。近年來(lái)，壓縮感知理論為解決缺失信號(hào)的高精度重建問(wèn)題提供了一種有效方法[10-12]。壓縮感知理論指出，信號(hào)在某個(gè)變換域內(nèi)可稀疏表示條件下，通過(guò)采用特定的采樣方式和合適的稀疏變換系數(shù)迭代方式求解，可有效實(shí)現(xiàn)缺失信號(hào)的高精度重建[13-16]，其不需背景介質(zhì)和目標(biāo)體的先驗(yàn)信息，且兼具計(jì)算精度高和效率高的優(yōu)點(diǎn)[17]。高精度重建缺失GPR 信號(hào)的關(guān)鍵是對(duì)其稀疏表示，通常GPR 信號(hào)呈時(shí)空域分布，不具備稀疏性。為此，傅里葉變換[18-21]、小波變換[22-24]、曲波變換[25-26]等稀疏變換被引入到GPR 信號(hào)處理領(lǐng)域并得到廣泛應(yīng)用[17]。上述稀疏變換方法由于基函數(shù)的不同，稀疏表示GPR 信號(hào)的性能各有優(yōu)劣[27-28]，如傅里葉變換僅適合表征線性GPR 信號(hào)，對(duì)彎曲GPR 信號(hào)同相軸表征能力較弱。曲波變換(Curvelet Transform)具有各向異性、局部性、多尺度等特性，能更好地表征GPR 信號(hào)的非線性和多尺度特征，被認(rèn)為是當(dāng)前GPR 信號(hào)的最優(yōu)稀疏表示方法之一[29-30]。

凸集投影(Projection Onto Convex Sets,POCS)算法是壓縮感知理論下基于稀疏變換的重建方法之一[31-32]，其基本原理是在根據(jù)信號(hào)屬性構(gòu)造不同凸集約束集合的基礎(chǔ)上，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代求解，以獲取滿足所有約束集合的解，從而消除因信號(hào)丟失導(dǎo)致的不相干噪聲，高精度重建缺失信號(hào)[33]。相比于迭代閾值法、Bregman迭代法等重建方法，POCS 算法因其具有理論簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)，計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)而在圖像處理領(lǐng)域[34-37]和地球物理信號(hào)重建領(lǐng)域[38-42]得到廣泛應(yīng)用。與此同時(shí)，M.Sato 等[43]應(yīng)用頻率域POCS 算法實(shí)現(xiàn)了缺失GPR信號(hào)的重建；Li Yi 等[44]利用該算法分析了不同GPR信號(hào)缺失比例和閾值迭代模型對(duì)缺失信號(hào)重建精度的影響。然而，頻率域POCS 算法采用的傅里葉變換僅能展現(xiàn)信號(hào)的全局特征，未考慮地球物理信號(hào)的非線性和多尺度特征，重建精度較低[45]。為此，一些學(xué)者將具有各向異性、多方向和多尺度特征的曲波變換代替傅里葉變換，提出了曲波域POCS 算法并應(yīng)用于缺失地震信號(hào)的高精度重建，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，曲波變換能更好地稀疏表示非線性、多尺度、多方向的地震信號(hào)，更有利于提高缺失信號(hào)重建精度[46-50]。

為此，筆者在上述研究基礎(chǔ)上，為克服傅里葉變換稀疏表示的不足，將曲波變換與POCS 算法相結(jié)合，提出一種基于曲波域POCS 算法的缺失GPR 信號(hào)高精度重建方法。通過(guò)模擬和實(shí)測(cè)缺失GPR 信號(hào)的頻率域和曲波域POCS 重建試驗(yàn)，以分析曲波域POCS 重建方法的有效性及其在提高重建精度方面的優(yōu)勢(shì)。

1 基于曲波域凸集投影算法的缺失GPR 信號(hào)重建方法

根據(jù)壓縮感知理論，實(shí)測(cè)部分缺失GPR 信號(hào)dobs與完整信號(hào)d的稀疏采樣關(guān)系[51-52]表示為：

考慮到曲波變換的非線性、多方向、多尺度特征，且曲波基類(lèi)似于GPR 信號(hào)的曲線特征，是非線性信號(hào)最優(yōu)稀疏表示的方法之一[53-54]，本文采用曲波變換對(duì)GPR 信號(hào)進(jìn)行稀疏表示。

曲波變換通過(guò)計(jì)算曲波基與信號(hào)的內(nèi)積來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的稀疏[55]表示：

因此，利用曲波變換作為稀疏變換，完整信號(hào)d可表示為：

根據(jù)曲波變換和最小二乘原理，可構(gòu)建缺失GPR信號(hào)重建的目標(biāo)函數(shù)為：

利用信號(hào)的曲波變換和曲波系數(shù)迭代閾值模型分別構(gòu)建的凸集約束集合[45]為：

利用dobs的曲波變換系數(shù)作為初始解在2 個(gè)凸集約束集合內(nèi)進(jìn)行多次迭代投影，獲得的滿足約束條件的解[56]可表示為：

dobs在曲波域內(nèi)的迭代更新可看作凸集Q1的不斷迭代投影過(guò)程[57]，即：

集合Q2的投影過(guò)程是利用閾值算子將小于閾值的曲波系數(shù)置零，保留大于閾值的曲波系數(shù)，并作為第k次迭代的初始解：

本文分別采用線性閾值和指數(shù)閾值模型重建缺失的GPR 信號(hào)[38]。

線性閾值模型可表示為：

指數(shù)閾值模型可表示為：

將式(8)和式(9)以及閾值算子Tk合并運(yùn)算[45]，可得到：

由式(13)可知：在每次迭代時(shí)減小閾值Tk可得到具有信號(hào)局部特征的曲波變換系數(shù)，并不斷更新變換系數(shù)xk-1，即可獲得第k次迭代后的曲波變換系數(shù)。

將缺失位置處的重建信號(hào)加載到待重建信號(hào)dobs，則可獲得用于下次迭代的時(shí)域GPR 信號(hào)：

將式(14)代入式(15)，則第k+1次的曲波域POCS重建的時(shí)域迭代公式為：

為定量評(píng)價(jià)缺失信號(hào)的POCS 重建精度，本文計(jì)算缺失位置處每次迭代后的重建信號(hào)與完整信號(hào)的相對(duì)誤差公式[39]為：

此外，應(yīng)用重建后的GPR 剖面與完整GPR 剖面之間的平均絕對(duì)誤差EMA(Mean Absolute Error,MAE)、信噪比RS/N(Signal to Noise Ratio,SNR)和峰值信噪比RPS/N(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)來(lái)進(jìn)一步評(píng)價(jià)GPR 剖面的重建質(zhì)量。平均絕對(duì)誤差、信噪比、峰值信噪比的計(jì)算公式[58-59]分別為：

根據(jù)上述POCS 重建理論，構(gòu)建的缺失GPR 信號(hào)曲波域POCS 重建流程如圖1 所示。

圖1 缺失GPR 信號(hào)的曲波域POCS 重建流程Fig.1 Reconstruction process of missing GPR signals based on curvelet-domain POCS

2 數(shù)值算例

2.1 曲波域POCS 重建方法的優(yōu)勢(shì)分析

為驗(yàn)證曲波域POCS 算法應(yīng)用于缺失GPR 信號(hào)重建的有效性及其優(yōu)勢(shì)，利用GprMax 軟件對(duì)大小為3.0 m×2.0 m 的空洞模型進(jìn)行計(jì)算，獲得的模擬GPR 剖面如圖2a 所示。模型背景介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為4，電導(dǎo)率為0.005 S/m，模型正中心埋有一個(gè)半徑為0.03 m 的圓形空洞。由圖可見(jiàn)，空洞產(chǎn)生的雙曲線繞射波清晰可見(jiàn)，同相軸光滑、連續(xù)性較好。對(duì)圖2a 隨機(jī)缺失40%信號(hào)獲得的結(jié)果如圖2b 所示，在水平位置1.0 m 附近出現(xiàn)多道連續(xù)缺失，部分信號(hào)缺失后的直達(dá)波和繞射波同相軸連續(xù)性較差，雙曲線繞射波信號(hào)不完整，嚴(yán)重干擾其識(shí)別與解釋。

圖2 空洞模型的GPR 模擬剖面Fig.2 The simulated GPR profile of cavity model

圖3 是應(yīng)用不同閾值模型的POCS 算法對(duì)圖2b 所示的GPR 信號(hào)進(jìn)行重建獲得的GPR 剖面。其中，圖3a和圖3b 分別為線性和指數(shù)閾值模型的頻率域POCS 重建剖面；圖3c 和圖3d 分別為線性和指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建剖面。由圖可見(jiàn)：頻率域和曲波域POCS 重建方法均能較好地重建缺失位置處的直達(dá)波；但對(duì)比4 個(gè)分圖可知，不同閾值模型和稀疏域的POCS算法重建缺失處繞射波的能力有顯著不同，圖3a、圖3b 中水平位置約1.0 m 處出現(xiàn)能量較強(qiáng)的縱向偽影，如黑色箭頭所示。與圖3a、圖3b 相比，圖3c 展示的線性閾值模型的曲波域POCS 重建剖面中雖然縱向偽影能量較弱，但繞射波同相軸的兩側(cè)出現(xiàn)明顯斷開(kāi)現(xiàn)象，如黑色箭頭所示；圖3d 所示的指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建剖面與圖2b 所示的原始完整剖面非常吻合，重建后的雙曲線繞射波同相軸完整、連續(xù)性較好且未見(jiàn)明顯的縱向偽影。

圖3 頻率域和曲波域POCS 重建剖面Fig.3 Reconstructed profiles by using POCS in frequency domain and curvelet domain

圖4 為圖3 中各重建GPR 剖面的第103 道(水平位置1.02 m)的波形對(duì)比。由圖可見(jiàn)，線性閾值模型、指數(shù)閾值模型的頻率域POCS 和線性閾值模型的曲波域POCS 重建信號(hào)與原始信號(hào)相比出現(xiàn)不同程度的噪聲，重建精度較差，而指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建信號(hào)與原始信號(hào)擬合較好，這個(gè)現(xiàn)象也可從15.6 ns附近處的波形放大圖中觀察到。由此可知，指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建精度更高。

圖4 圖3 中各剖面的第103 道(水平位置1.02 m)波形對(duì)比Fig.4 Waveform comparison of the channel 103st (horizontal position 1.02 m) in each profile in Fig.3

為進(jìn)一步分析曲波域POCS 重建精度和質(zhì)量，將圖2a 所示的完整剖面與圖3 所示的重建剖面做差，獲得的結(jié)果如圖5 所示。圖5a 和圖5b 中僅在水平位置1.0 m 附近出現(xiàn)明顯的重建誤差；而線性閾值模型的曲波域POCS 重建誤差主要集中于雙曲線繞射波位置，如圖5c 所示。與圖5a-圖5c 相比，圖5d 中的重建誤差非常微弱，幾乎不可見(jiàn)。由此可見(jiàn)，與其他重建方法相比，指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建誤差更小，精度更高。

圖5 空洞模型的GPR 模擬剖面與頻率域和曲波域POCS 重建剖面(圖3)誤差Fig.5 The error between the GPR simulation profiles of the cavity model and reconstructed profiles (Fig.3) by using POCS in frequency domain and curvelet domain

利用式(17)計(jì)算的4 種POCS 重建方法的迭代相對(duì)誤差曲線如圖6 所示。由圖可知，在前25 次重建迭代過(guò)程中指數(shù)閾值模型的頻率域POCS 重建誤差下降最快，經(jīng)40 次迭代后相對(duì)誤差基本穩(wěn)定在2.81×10-2%；而線性閾值模型的頻率域POCS 重建迭代誤差緩慢下降，100 次迭代后相對(duì)誤差基本穩(wěn)定在6.18×10-2%。線性閾值模型的曲波域POCS 重建誤差下降最慢，100 次迭代后誤差最高，如圖中綠線所示。指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建誤差下降速度較快，經(jīng)80 次迭代后相對(duì)誤差基本穩(wěn)定在5.21×10-4%，如圖中紅線所示。由此可見(jiàn)，相比于其他POCS 重建方法，指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 算法迭代誤差最小，重建精度更高。

圖6 不同重建方法的迭代相對(duì)誤差Fig.6 Iterative relative errors of different reconstruction methods

利用式(18)-式(20)計(jì)算圖3 各分圖與圖2a 的平均絕對(duì)誤差EMA、信噪比RS/N、峰值信噪比RPS/N，見(jiàn)表1。與其他3 種POCS 重建方法的相比，指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建后的平均絕對(duì)誤差下降86%～99%，平均絕對(duì)誤差最低；信噪比和峰值信噪比提高9～20 dB，這充分說(shuō)明了指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 算法的重建精度更高，平均絕對(duì)誤差更小，信噪比與峰值信噪比更高。為此，后續(xù)算例均采用指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 算法進(jìn)行計(jì)算。

表1 不同POCS 重建方法的重建誤差對(duì)比Table 1 Error comparison of different POCS-based reconstruction methods

2.2 復(fù)雜模型

為進(jìn)一步分析本文提出的曲波域POCS 算法用于重建復(fù)雜地質(zhì)結(jié)構(gòu)GPR 缺失信號(hào)的有效性，利用GprMax 軟件對(duì)如圖7a 所示的復(fù)雜地電模型進(jìn)行計(jì)算，獲得的模擬GPR 剖面如圖7b 所示。模型被起伏界面和水平界面分成上、中、下3 層，其相對(duì)介電常數(shù)分別為6、12、15，電導(dǎo)率分別為0.001、0.020、0.050 S/m，在第2 層的左右兩側(cè)分別埋有一個(gè)圓形空洞與長(zhǎng)方形空洞。由圖7b 可見(jiàn)，起伏界面與水平界面產(chǎn)生的反射波和圓形空洞、長(zhǎng)方形空洞產(chǎn)生的繞射波同相軸光滑連續(xù)。

圖7 GPR 模型及其正演剖面Fig.7 GPR model diagram and forward modeling profile

對(duì)圖7b 所示的完整GPR 剖面隨機(jī)缺失40%，50%，60%，70%的結(jié)果如圖8 所示。由圖可見(jiàn)，GPR 信號(hào)隨機(jī)缺失比例越大，繞射波與反射波同相軸連續(xù)性越差；缺失部分信號(hào)后，空洞、起伏界面與水平界面產(chǎn)生的繞射波和反射波同相軸不完整，有效信息被嚴(yán)重缺失，影響后續(xù)偏移與反演成像效果。

圖8 圖7b 中隨機(jī)缺失不同占比后的GPR 剖面Fig.8 GPR profiles with random signal missing proportions (derived from Fig.7b)

圖9 為采用頻率域POCS 重建方法對(duì)圖8 中缺失GPR 信號(hào)進(jìn)行重建獲得的GPR 剖面。由圖9 可見(jiàn)，對(duì)不同比例隨機(jī)缺失GPR 信號(hào)重建時(shí)，起伏界面與水平界面產(chǎn)生的反射波與空洞產(chǎn)生的雙曲線繞射波大部分信號(hào)都能得到較好的重建，重建后同相軸較為連續(xù)，僅在多段連續(xù)缺失處存在斷開(kāi)現(xiàn)象。對(duì)比圖9 中4 個(gè)分圖可見(jiàn)，信號(hào)隨機(jī)缺失比例越大，重建后的GPR 剖面中雜波和縱向偽影能量越強(qiáng)，連續(xù)多道缺失處重建效果越差，重建精度越低。

圖9 圖8 經(jīng)頻率域POCS 重建后的GPR 剖面Fig.9 GPR reconstructed profiles based on frequency-domain POCS (derived from Fig.8)

圖10 是采用曲波域POCS 重建方法對(duì)圖8 中的缺失GPR 剖面進(jìn)行重建獲得的GPR 剖面。由圖10 可見(jiàn)，隨機(jī)缺失40%和50%的重建剖面中直達(dá)波、反射波和繞射波同相軸均非常連續(xù)，未出現(xiàn)明顯斷開(kāi)現(xiàn)象，缺失位置處的繞射波與反射波能量均得到有效恢復(fù)，重建精度較高；當(dāng)隨機(jī)缺失比例為60%和70%時(shí)，重建剖面中直達(dá)波和界面反射波同相軸也較為光滑，僅在連續(xù)多道缺失處出現(xiàn)未重建完全的現(xiàn)象。與圖9 所示的頻率域POCS 重建結(jié)果相比，曲波域POCS 重建后GPR 剖面中直達(dá)波、反射波和繞射波同相軸連續(xù)性更好，雜波能量更小。

利用圖9 和圖10 所示GPR 信號(hào)重建剖面計(jì)算的迭代相對(duì)誤差曲線如圖11 所示。由圖可見(jiàn)，4 種隨機(jī)缺失比例條件下頻率域POCS 重建誤差均大于0.3%，且重建誤差隨缺失比例的增大而增大；而曲波域POCS重建誤差都小于0.2%，當(dāng)缺失比例為70%，重建誤差僅為0.14%。由此可見(jiàn)，但本文所提出的POCS 算法的重建誤差均相對(duì)較小，可有效用于大比例隨機(jī)缺失的GPR 信號(hào)的高精度重建。

圖11 GPR 信號(hào)缺失的重建迭代誤差Fig.11 Iterative reconstruction errors of missing GPR signals

將圖7b 所示的完整剖面與圖9 中重建剖面做差獲得的誤差剖面如圖12 所示。由圖可見(jiàn)，頻率域POCS重建精度不高，重建誤差較大，且缺失比例越大，整個(gè)剖面的誤差越大，如圖12 所示。將圖7b 所示的完整剖面與圖10 中重建剖面做差獲得的誤差剖面如圖13 所示。相較于頻率域POCS 算法，曲波域POCS 算法在相同缺失比例下重建誤差更小，重建誤差主要分布在信號(hào)連續(xù)多道缺失位置處，且未見(jiàn)明顯的縱向偽影，可見(jiàn)曲波域POCS 重建精度更高，重建誤差更小。

圖12 頻率域POCS 重建后的誤差剖面Fig.12 Reconstruction error profiles based on frequency-domain POCS

圖13 曲波域POCS 重建后的誤差剖面Fig.13 Reconstruction error profiles based on curvelet-domain POCS

計(jì)算圖9 和圖10 中各分圖與圖7b 的平均絕對(duì)誤差EMA、信噪比RS/N、峰值信噪比RPS/N見(jiàn)表2。缺失比例越大，頻率域POCS 與曲波域POCS 重建后的平均絕對(duì)誤差越大，信噪比與峰值信噪比越低；與頻率域POCS 重建相比，相同缺失比例下的曲波域POCS 重建后的平均絕對(duì)誤差下降82%～96%，且信噪比和峰值信噪比提高6～17 dB。可見(jiàn)，本文提出的曲波域POCS 算法可高精度重建復(fù)雜地質(zhì)結(jié)構(gòu)的缺失GPR 信號(hào)。

表2 不同缺失比例和不同POCS 重建方法的重建誤差對(duì)比Table 2 Error comparison of different POCS-based reconstruction methods with different signal missing proportions

3 實(shí)測(cè)算例

為分析曲波域POCS 重建算法的實(shí)際效果，對(duì)桂林某道路GPR 信號(hào)剖面進(jìn)行重建測(cè)試。圖14 為經(jīng)過(guò)零時(shí)校正、濾波、增益等處理的實(shí)測(cè)剖面。由圖可見(jiàn)，直達(dá)波、反射波和繞射波能量較強(qiáng)，且其同相軸連續(xù)對(duì)圖14 所示的完整GPR 剖面隨機(jī)缺失40%和70%，獲得的結(jié)果如圖15 所示。與圖14 相比，隨機(jī)缺失后的直達(dá)波與反射波同相軸出現(xiàn)明顯斷開(kāi)現(xiàn)象，嚴(yán)重破壞了其波形特征。

圖14 某道路結(jié)構(gòu)探測(cè)的GPR 剖面Fig.14 GPR profile of a road structure

圖15 圖14 中隨機(jī)缺失信號(hào)后的GPR 剖面Fig.15 GPR profiles with random signal missing proportions (derived from Fig.14)

圖16 是應(yīng)用不同稀疏域?qū)D15 中不同隨機(jī)缺失比例的GPR 信號(hào)重建獲得的GPR 剖面圖。由圖16a、圖16c 可見(jiàn)，當(dāng)缺失比例為40%時(shí)，2 種重建方法都能有效地重建反射波和繞射波能量，重建精度較高。但當(dāng)GPR 信號(hào)大比例缺失時(shí)，頻率域POCS 重建剖面中出現(xiàn)了多處縱向偽影，如圖16b 所示。而由圖16d 可見(jiàn)，在70%隨機(jī)缺失比例下曲波域POCS 重建效果較好，未見(jiàn)明顯的縱向偽影。

圖16 圖15 經(jīng)頻率域和曲波域重建后的GPR 剖面Fig.16 GPR reconstructed profiles in frequency and curvelet domains (derived from Fig.15)

將圖14 所示的完整剖面與圖16 所示的重建剖面做差，獲得的誤差剖面如圖17 所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)隨機(jī)缺失比例為40%時(shí)，頻率域POCS 與曲波域POCS 重建誤差較小，僅出現(xiàn)在連續(xù)多道缺失處，且曲波域POCS 重建誤差幾乎不可見(jiàn)；當(dāng)隨機(jī)缺失比例為70%時(shí)，頻率域POCS 重建誤差廣泛分布在整個(gè)剖面中，而曲波域POCS 重建誤差僅在連續(xù)多道缺失處存在較弱的能量。計(jì)算圖16 各分圖與圖14 獲得的平均絕對(duì)誤差EMA、信噪比RS/N、峰值信噪比RPS/N見(jiàn)表3，曲波域POCS 重建后的平均絕對(duì)誤差相比于頻率域POCS 重建誤差下降45%～79%；信噪比和峰值信噪比提高1～9dB，且缺失GPR 信號(hào)比例越多，其信噪比提升越大。由圖可見(jiàn)，本文提出的基于曲波域POCS 算法的GPR信號(hào)重建方法可有效用于實(shí)測(cè)GPR 信號(hào)缺失的高精度重建，且對(duì)信號(hào)大比例缺失具有較好的適應(yīng)性。

圖17 實(shí)測(cè)剖面(圖14)與頻率域和曲波域POCS 重建剖面(圖16)的誤差Fig.17 Errors between the measured profile (Fig.14) and GPR reconstructed profiles based on POCS in frequency and curvelet domains(Fig.16)

4 結(jié)論

a.針對(duì)連續(xù)多道缺失GPR 信號(hào)的高精度重建問(wèn)題，本文將非線性、多方向、多尺度的曲波變換與POCS 算法相結(jié)合，基于壓縮感知理論推導(dǎo)了缺失GPR 信號(hào)曲波域POCS 重建迭代的相關(guān)公式，提出了一種基于曲波域POCS 算法的缺失GPR 信號(hào)高精度重建方法。

b.模擬與實(shí)測(cè)GPR 信號(hào)試驗(yàn)結(jié)果表明：POCS 算法可有效重建GPR 剖面中的缺失信號(hào)；與線性和指數(shù)閾值模型的頻率域POCS 算法、線性閾值模型的曲波域POCS 算法相比，指數(shù)閾值模型的曲波域POCS 重建方法的重建精度更高、平均絕對(duì)誤差下降45%～99%，信噪比和峰值信噪比提高1～20 dB，其重建結(jié)果可為后續(xù)處理與解釋提供高質(zhì)量GPR 信號(hào)。

符號(hào)注釋?zhuān)?/p>

a1為所在行數(shù)；a2為所在列數(shù)；b為離散采樣間隔；C為曲波正變換；C-1為曲波反變換；d為完整信號(hào)；dobs為缺失信號(hào)；drec為重建后信號(hào)；EMA為平均絕對(duì)誤差；f為時(shí)間域信號(hào)；為頻率域信號(hào)；I為單位矩陣；j為尺度參數(shù)；k為迭代次數(shù)；l為角度參數(shù)；m1為信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)；m2為信號(hào)道數(shù)；n為最大采樣頻率；N為最大迭代次數(shù)；p為頻移參數(shù)；p1為最小頻移參數(shù)；p2為最大頻移參數(shù)；Q1為曲波變換凸集集合；Q2為閾值集合；R是由對(duì)角元素為1 和0 的稀疏采樣矩陣，1 和0 分別代表未缺失信號(hào)與缺失信號(hào)；RS/N為信噪比；RPS/N為峰值信噪比；Sθl為剪切矩陣；Tk為閾值算子；t為時(shí)間；t1為時(shí)域離散信號(hào)中最小時(shí)刻；t2為時(shí)域離散信號(hào)中最大時(shí)刻；W為連續(xù)曲波系數(shù)；WD為離散曲波系數(shù)；x為完整信號(hào)估計(jì)值；為信號(hào)更新解；λ為閾值門(mén)限；λmax為曲波變換系數(shù)的最大值；β為凸集Q2中閾值；ω為角頻率；為離散曲波；的復(fù)共軛；Φ為目標(biāo)函數(shù)；ε為迭代誤差；δ為極小值；()*為伴隨矩陣。