用導數法求解三次函數零點問題的步驟

形如 f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d （ a ， b ， c ， d∈R 且 a≠0 ）的函數通常被稱為三次函數.相較于二次函數的零點問題，三次函數的零點問題較為復雜.解答三次函數的零點問題，往往需運用導數法，通過研究導函數來判斷出三次函數的單調性，以根據函數的單調性、極值、最值以及圖象的變化趨勢，來求零點的個數或取值范圍.

求解三次函數的零點問題的步驟為：

（1）對三次函數進行求導，其導函數為二次函數；

（2）令導函數為0，據此構造出一元二次方程，并討論方程的判別式與0的關系.若方程的判別式小于或等于0，則函數單調遞增（遞減）；若方程的判別式大于0，則需根據求根公式或通過因式分解求得導函數的零點；

（3）用導函數的零點將函數的定義域劃分為幾個子區間，并在每個子區間內討論導函數的符號.由導函數與函數單調性之間的關系可知，當導函數小于0時，函數在該區間上單調遞減；當導函數大于0時，函數在該區間上單調遞增；

（4）根據極值的定義求得函數的極值，并畫出函數的圖象；

（5）研究函數圖象與 x 軸的交點的個數和位置，據此建立關系式，判斷出函數零點的個數，并求得其取值范圍.

在解答三次函數的零點問題時，我們往往要結合三次函數的圖象來確定零點的取值范圍或個數.這就要求我們根據三次函數的導數構造一元二次方程，討論方程的根的判別式、根的取值，進而判斷出函數的單調性，求得函數的極值，明確函數圖象的大致變化趨勢.

一般地，對于三次函數，只有當其中的一個極值為0時，函數才有2個零點.我們需先對函數進行求導，根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性；然后確定函數的極值，并畫出函數的圖象；再結合函數的圖象找到使函數的圖象與 x 軸只有2個交點的情形，據此建立關系式，即可求得 a 的值.總之，在解答三次函數的零點問題時，要注意：

（1）掌握并熟練運用函數零點的定義；（2）根據函數與方程、不等式之間的關系，將問題轉化為方程問題、不等式問題，通過討論方程的根的分布情況解不等式，明確導函數零點的取值，判斷出函數的單調性；（3）靈活運用分類討論思想、數形結合思想來輔助解題；（4）熟悉三次函數的求導法則和極值的定義.這樣才能確保快速獲得正確的答案.

（作者單位：江蘇省無錫市立人高級中學）