巧用同構法，妙解代數題

有些代數問題較為復雜，若采用常規方法求解，其過程較為繁瑣，而運用同構法能大大減少計算量，從而提高解題的效率.同構式是指兩個式子的結構相同、形式相似.運用同構法解題的關鍵在于構造出合適的同構式，將問題轉化為簡單的方程、函數、不等式問題，從而化繁為簡、化難為易.

一、解答不等式問題

運用同構法解答復雜不等式問題，要先將不等式兩邊的式子進行適當的變形，使其兩邊式子的結構相同；然后構造出同構函數，便可將問題轉化為解不等式[fx1gt;fx2]或[fx1lt;fx2]；再根據函數的單調性來解不等式.

例1.已知[x-lnygt;y-lnx]，則（" " "）.

解：將不等式[x-lnygt;y-lnx]變形得[x+lnxgt;y+lny]，

所以[fx]在[0，+∞]上單調遞增，

由[fxgt;fy]可得[xgt;ygt;0].

當[xgt;ygt;0]時，若[x-ylt;1]，則[lnx-ylt;0]，

故C項錯誤；

因為函數[y=x3]在[0，+∞]上單調遞增，

所以當[xgt;ygt;0]時，[x3gt;y3]，故D項錯誤.

故本題的正確答案為B項.

我們先將不等式中含有相同變量的式子放在同一側，可得[x+lnxgt;y+lny]，即可構造出同構式；然后構造函數[fx=x+lnx， xgt;0]，根據導函數的符號判斷出函數的單調性；再比較出自變量的大小，即可根據函數的單調性判斷出各選項的正誤.

例2.若[2x-2ylt;3-x-3-y]，則（" " "）.

A. [lny-x+1gt;0] B. [lny-x+1lt;0]

C. [lnx-ygt;0] D. [lnx-ylt;0]

解：將不等式[2x-2ylt;3-x-3-y]變形得[2x-3-xlt;2y-3-y]，

設[ft=2t-3-t]，

而[y=2x]是R上的增函數，[y=3-x]是R上的減函數，

所以[ft]是R上的增函數，所以[xlt;y].

因為[y-xgt;0]，所以[y-x+1gt;1]，

故[lny-x+1gt;0]，則A項正確，B項錯誤；

因為[x-y]與1的大小關系無法確定，

故無法確定C、D兩項的正確性.

故本題的正確答案為A項.

先將不等式中變量相同的式子放在同一側，得[2x-3-xlt;2y-3-y]；然后構造同構函數，即可利用函數的單調性判斷出[x、y]的大小關系.

二、解答方程問題

有些方程經過適當的變形可以轉化為結構相同的方程，此時便可以采用同構法來解題.根據同構方程構造出方程和函數，將問題轉化為求方程的根和函數零點的問題.這樣不僅能簡化解題的步驟，還能提高解題的效率.

例3.解方程：[log53x+4x=log45x-3x].

解：令[log53x+4x=log45x-3x=t]，

則[3x+4x=5t， 5x-3x=4t]，

將兩式相加得[4x+5x=4t+5t]，設[fx=4x+5x]，

由指數函數的性質知[fx]在R上單調遞增，

當[gx=0]時[x]的值即為方程[3x+4x=5x]的解，

由指數函數性質知[gx]在R上單調遞減，

所以[gx=0]有且僅有1個解，

而[32+42=52]，故[g2=0]，所以原方程的解為2.

例4.若[2a+log2a=4b+2log4b]，則（" " ）.

A. [agt;2b]" nbsp; " " " B. [alt;2b]" " " "C. [agt;b2]" " " " " "D. [alt;b2]

解：因為[2a+log2a=22b+log2blt;22b+log2b+1=22b+log22b]，

故[2a+log2alt;22b+log22b]，

令函數[fx=2x+log2x]，[xgt;0]，則[falt;f2b]，

因為[y=2x]和[y=log2x]在[（0，+∞）]上單調遞增，

所以[fx]在[（0，+∞）]上單調遞增，

而[falt;f2b]，故[alt;2b]，則B正確.

先將方程的兩邊式子變形、放縮，得[2a+log2a=22b+log2blt;22b+log2b+1=22b+log22b]，即可得到同構式[2a+log2alt;22b+log22b]；再構造函數，就可以利用函數的單調性求得問題的答案.

三、解答數列問題

有些數列的遞推式較為復雜，此時我們需將其進行變形，使其左右兩邊的式子為同構式，即可將問題轉化為等差數列、等比數列、常數列問題，利用等差數列和等比數列的通項公式、前n項和公式、性質來解題.

例5.已知數列[an]的前[n]項和為[Sn]，[a1=1]，[2nSn+1-2n+1Sn=nn+1]，求數列[an]的通項公式．

因為[a1=1]，則[2S1=2a1=2]，

例6.已知數列[an]滿足[a1=1]，[nan+1=2n+1an].求[an]的通項公式.

解：因為[nan+1=2n+1an]，

可見，同構法在解答高中數學問題中的應用廣泛.同學們在解題時，要根據代數式的結構特征進行合理的變形、放縮，使其為同構式，將問題轉化為簡單的函數、不等式、方程、常規數列問題來求解.這就要求同學們具備較強的想象力、抽象能力和創新思維能力，通過類比、轉化找到同構關系，將問題中的式子轉化為結構相同的式子，將問題與其它板塊的知識關聯起來，從而簡化解題的過程，從新的角度尋找到更加簡單的解題方案.