如何比較對數（式）的大小

一般地，對于簡單的兩個對數（式），我們通常可以直接根據對數函數的單調性、運算性質、圖象等來比較其大小；對于較為復雜的對數（式），如底數、真數都不同的對數式，我們往往需另辟蹊徑，采用作差法、賦值法，通過取中間值來比較二者的大小.下面主要談一談比較對數（式）大小的三種途徑.

一、采用作差法

作差法是比較對數（式）大小的常用方法.首先把所要比較的兩個對數（式）相減；然后根據對數運算法則和換底公式，將差式進行化簡、變形，使其為幾個因式的積；接著根據差式的符號，判斷兩個對數（式）的大小關系.若a-b[gt;0]，則[agt;b]；若a-b[lt;]0，則[alt;b]；若a-b=0，則a=b.

例1.設a，b，c為正數，且2a=3b=5c，則下列正確的是（" " ）.

A. [2agt;5cgt;3b] B. [5cgt;2agt;3b]

C. [5cgt;3bgt;2a] D. [3bgt;2agt;5c]

因為logt9-logt8[gt;]0，logt2·logt3[gt;]0，

所以2a-3b[gt;]0，即2a[gt;]3b.

同理可得2a-5c[lt;]0，即2a[lt;]5c.

所以5cgt;2agt;3b，故本題的正確答案為B.

解答本題主要運用了作差法.首先根據對數的定義把指數化為對數；然后將2a與3b、2a與5c作差，通過變形，把不同底數的對數式轉化為同底數的對數式；再判斷出差式的符號，即可比較出三個對數的大小.

二、取中間量

例2.比較下列對數式的大小：

①log56，log65，log7（log65）；

②log1.30.7，log0.50.6，1.30.7.

解：①因為log56gt;log55=1，0=log61lt;log65lt;log66=1，

log7（log65）lt;log7（log66）=log71=0，

所以log56gt;log65gt;log7（log65）.

②log1.30.7[lt;]log1.31=0，

0=log0.51[lt;]log0.50.6[lt;]log0.50.5=1，[1.30.7gt;1.30]=1，

所以log1.30.7[lt;]log0.50.6[lt;1.30.7].

我們借助0和1這兩個中間量來比較三個對數（式）的大小.當兩個或幾個對數（式）的底數、真數均不相同，無法直接比較出其大小時，同學們要學會借助中間量來鋪路架橋.

三、賦值

賦值法，即通過賦予某個具體的值，使問題快速得解.運用這種方法解題，可以簡化運算的過程，降低解題的難度.賦值法是解答選擇題或填空題比較常用且有效的方法.運用賦值法比較對數（式）的大小，首先要觀察對數式，明確其結構特征，給某個（些）元素賦予特殊的值；然后將特殊值代入對數式中進行計算；接著比較所求結果的大小，進而判斷出兩個對數（式）的大小關系.

我們結合已知條件，先給m、n、p賦予三個特殊值7、3、1；再將其代入對數函數式中進行計算，求出M、N、P的值，這樣三個函數式的大小關系也就“呼之欲出”了.當所要比較的對數式中含有多個參數，按照常規方法難以判斷出它們之間的大小關系時，同學們要巧妙賦值，將問題化難為易.

總之，比較對數（式）大小的方法眾多.在平時的解題訓練中，同學們不要局限于一種方法，要學會運用多種方法，拓寬解題的思路，提升解題的效率.