抓住遞推式的特點，求數列的通項公式

數列是按照一定的次序排列的一列數，通常可用相應的通項公式來表示一個數列.而求遞推數列的通項公式，往往需重點研究數列的遞推關系式，根據其特點進行合理的變形.本文結合幾個典型例題，介紹一下求遞推數列通項公式的兩種方法.

一、累加（乘）法

n-1，并將這n-1個式子累加，即可通過簡單的計算，求得[an]的表達式.

例2.設數列[an]是首項為1的正項數列，且[（n+1）an+12-nan2+an+1an=0（n=1，2，3，…）]，求數列[an]的通項公式.

解：因為[（n+1）an+12-nan2+an+1an=0]，

所以[（n+1）an+1-nanan+1+an=0]，

二、構造法

構造法是求遞推數列通項公式的常用方法.對于一些結構較為復雜的遞推關系式，通常需通過換元、取倒數、取對數、平方、開方、引入待定系數等方式，構造出輔助數列，如等差數列、等比數列、常數列，或便于計算的常見數列，便可通過求輔助數列的通項公式，求得原數列的通項公式.

例5.若數列[an]中，[a1=3]，[an+1=a2n]（[n]是正整數），求數列[an]的通項公式.

解：由題意知[angt;0]，

例6.在數列[an]中，[a1=-1，an+1=2an+4?3n-1]，求數列[an]的通項公式.

解：設[an+1+λ?3n=2an+λ?3n-1]，

將其與[an+1=2an+4?3n-1]的系數相比較可得[λ=-4]，

則[an+1-4?3n=2an-4?3n-1]，

所以數列[an-4?3n-1]是一個等比數列，其首項為[a1-4?31-1=-5]，公比是2，

則[an-4?3n-1=-5?2n-1]，即[an=4?3n-1-5?2n-1]，

[a1=-1]滿足該通項公式，所以數列[an]的通項公式為[an=4?3n-1-5?2n-1].

解答本題，需利用待定系數法求出[λ]的值，進而構造出等比數列.通過運用待定系數法來構造輔助數列的常見遞推關系式有：（1）[an+1=Aan+B]（A、B為常數）型，可將其化為[an+1+λ=Aan+λ]的形式；（2）[an+1=Aan+B?Cn]（A、B、C為常數）型，可將其化為[an+1+λ?Cn+1=Aan+λ?Cn]的形式；（3）[an+2=A?an+1+B?an]（A、B為常數）型，可將其化為[an+2+λan+1=A?an+1+λan]的形式；（4）[an+1=Aan+Bn+C]（A、B、C為常數）型，可將其化為[an+1+λ1n+λ2=Aan+λ1（n-1）+λ2]的形式，從而構造出輔助數列.

可見，求遞推數列的通項公式，需將遞推關系式進行合理的變形，如做除法、做減法、換元、取倒數、取對數、平方、開方、引入待定系數等，以將問題轉化為簡單的、易于計算的數列通項公式問題，這樣才能化繁為簡，提升解題的效率.