求解多元最值問題的幾種措施

與一元最值問題相比較，多元最值問題較為復雜，無法直接運用簡單基本初等函數的性質、圖象求得最值.多元最值問題常與函數、不等式、三角函數、解析幾何等知識相結合.下面結合實例，探討一下求解多元最值問題的幾種措施.

一、轉化為一元函數最值問題

將多元最值問題轉化為一元最值問題，便可以直接利用簡單基本初等函數的性質、圖象來求最值.常用的方法有消元法、整體換元法.

1. 消元

多元最值問題中通常含有兩個及兩個以上的變元.我們如果可以根據已知關系式把其他變元都用某一個變元表示出來，就能通過消元，將問題轉化為只含有這一個變元的函數最值問題，從而將復雜的問題簡單化.

我們往往要結合題目中的條件，找出某個變元與其他變元之間的聯系，據此來進行消元.本題的目標式中含有3個變元，所以考慮利用基本不等式進行放縮，又根據[x2+y2=1-z2]用z表示x、y，從而達到消元的目的，進而通過研究關于z的函數的最值，求得問題的答案.

2. 整體換元

我們需仔細觀察已知關系式和所求目標式，選取合適的式子，如兩（三）個變元的和、積、商、差，將其視為一個整體進行換元，這樣便可以將目標式簡化為關于新元的式子.再構造關于新元的函數式，通過求函數的最值求得問題的答案.

例2.若[x，y∈R]，[4x2+y2+xy=1].當[x]、y為何值時，[x+y]取得最大值？

解：令[x+y=t]，則[y=t-x]，

則[4x2+y2+xy=4x2+（t-x）2+x（t-x）=1，]

整理得[4x2-tx+t2-1=0].

我們先將目標式[x+y]設為參數t，并用x，t表示出y，即可通過換元，將已知關系式化為關于x的一元二次方程；再根據方程有解，得出判別式[Δ≥0]，據此建立關于t的一元二次不等式，通過解不等式求得目標式的最值.

二、利用重要不等式

有時多元最值問題中給出的關系式較為復雜，我們需要利用一些重要不等式，如基本不等式、柯西不等式、權方和不等式等，將代數式進行放縮，把多元最值問題轉化為不等式問題來求解.

1. 基本不等式

2. 柯西不等式

柯西不等式的一般形式為：[a12+a22+…+an2?b12+b22+…+bn2≥a1b1+a2b2+…+anbn2]，當且僅當[bi=0（i=1，2，…，n）]，或存在一個數k，使得[ai=kbi（i=1，2，…，n）]時等號成立.在求解多元最值問題時，我們需將目標式配湊為幾個平方式的和，或兩積式之和的平方，才能運用柯西不等式求得最值.最后還需檢驗取等號的情形是否滿足題意.

例4.已知[a，b，c∈R]，[a+2b+3c=6]，求[a2+4b2+9c2]的最小值.

解：因為[a+2b+3c=6]，

由柯西不等式得：

[36=a+2b+3c2=1×a+1×2b+1×3c2]

[≤12+12+12a2+2b2+3c2]，

化簡得[a2+4b2+9c2][≥12]，

我們將[a2+4b2+9c2]視為三個平方式的和：[a2+2b2+3c2]，而[a+2b+3c=6]，只需配湊出系數1，那么系數與各項之積的和為定值6，就能根據柯西不等式求得最值.

三、數形結合

有些代數式可以被視為兩點間的距離、直線的斜率、點到直線的距離、圓的方程、橢圓的方程等.此時可以根據代數式的幾何意義畫出幾何圖形，將多元最值問題轉化為幾何問題，通過研究圖形找到目標式取得最值的情形，即可通過“以形助數”來求得最值.

例5.若實數x，y滿足[x2+y2-2x+4y=0]，求[x-2y]的最大值.

解：因為[x2+y2-2x+4y=0]，所以[（x-1）2+（y+2）2=5]

總之，求解多元最值問題，同學們要學會將問題與函數、不等式、方程、解析幾何等知識相關聯，靈活運用轉化思想、函數思想、方程思想、整體思想、數形結合思想，以化難為易、化繁為簡.