綜合訓練（十）

一、單選題

3.如圖1所示的函數圖象，對應的函數解析式可能是（" " "）.

4.給出定義：設[f（x）]是函數[y=f（x）]的導函數，[f（x）]是函數[f（x）]的導函數，若方程[f（x）=0]有實數解[x0]，則稱點[（x0， f（x0））]為函數[y=f（x）]的“拐點”.已知函數[f（x）=3x+4sinx-cosx]的拐點是[M（x0，f（x0））]，則點[M]（" " "）.

A.在直線[y=-4x]上 B.在直線[y=-3x]上

C.在直線[y=3x]上 D.在直線[y=4x]上

5.一套重要資料鎖在一個保險柜中，現有[n]把鑰匙依次分給[n]名學生依次開柜，但其中只有一把真的可以打開柜門，平均來說打開柜門需要試開的次數為（" " "）.

6.在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢，問：相逢時良馬比駑馬多行（" " "）.

A. [114]里 B. [426]里 C. [540]里 D. [963]里

7.已知在等腰[ΔABC]中，[BB]、[CC]是兩腰上的中線，且[BB⊥CC]，則頂角[A]的余弦值為（" " "）.

8.如圖2所示，半徑為[2]的半圓有一內接梯形[ABCD]，它的下底[AB]為圓[O]的直徑，上底[CD]的端點在圓周上，若雙曲線以[A]、[B]為焦點，且過[C]、[D]兩點，則當梯形[ABCD]周長最大時，雙曲線的實軸長為（" " "）.

二、多選題

9.設[agt;0]，[bgt;0]，則以下不等式中恒成立的是（" " "）.

列結論正確的是（" " "）.

A. [σ1=σ2]

B. [μ1gt;μ3]

C. [μ1=μ2]

D. [σ2lt;σ3]

11.下列關于函數[f（x）=cosx+|sinx|]的論述正確的是（" " "）.

A .[f（x）]在區間[（0，+∞）]是增函數

B. 當[x∈（-∞，0）]時，函數[f（x）]的最大值為[-1]

C. [y=f（x）-f（x）]有[2]個零點

D. [f（x）-f（-x）=2]

三、填空題

13.若直線[x+y-2=0]經過拋物線[y=mx2]的焦點，則[m=]_______.

14.設[m]為正整數，[（x+y）2m]展開式的二項式系數的最大值為[a]，[（x+y）2m+1]展開式的二項式系數的最大值為[b].若[13a=7b]，則[m=]_______.

15.已知函數[f（x）=2sinx+sin2x]，則[f（x）]的最小值是_______.

四、解答題

17.已知數列[an]滿足：[an+1-an=bn]（[n∈N+]），數列[bn]為等差數列，[a1=25]、[a3=67]、[a5=101].

（1）求數列[bn]的通項公式；

（2）求數列[an]的最大值.

（1）求函數[f（x）]的極值；

（2）若[x∈（1，+∞）]時，函數[f（x）]與函數[g（x）]的單調性相同，求實數[a]的取值范圍.

19.在[ΔABC]中，[a]、[b]、[c]分別是角[A]、[B]、[C]的對邊，[（a+b+c）?（sinA+sinB-sinC）=3a?sinB.]

（1）求角[C]的大小；

20.如圖4，已知直三棱柱[ABC-A1B1C1]，[AB=AC=AA1=1]，[M]、[N]、[P]分別是[A1C1]、[AB1]、[BB1]的中點，且[AP⊥MN].

（1）求證：[MN//]平面[B1BCC1]；

（2）求[∠BAC]；

（3）求二面角[A1-PN-M]的余弦值.

21.為了進一步了解新舊動能轉換實施過程中存在的問題，山東省有關部門隨機抽取東部和西部兩個地區的[200]個鄉鎮，調查去年[3]月份的高科技企業投資額，得到如下數據：

將投資額不低于[70]萬元的鄉鎮視為“優秀鄉鎮”，投資額低于[70]萬元的鄉鎮視為“非優秀鄉鎮”，并將頻率視為概率.已知西部地區的甲鄉鎮參與了本次調查，其高科技企業投資額為[35]萬元.

（1）請根據上述表格中的數據填寫下面的[2×2]列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過[0.025]的前提下認為“優秀鄉鎮”與其所在的地區有關.

（2）經統計發現，這[200]個鄉鎮的高科技企業投資額[X]（單位：萬元）近似地服從正態分布[N（μ，190）]，其中[μ]近似為樣本平均數（每組數據取該組區間的中點值作代表）.若[X]落在區間[（μ-2σ，μ+2σ）]外的左側，則認為該鄉鎮為“資金缺乏型鄉鎮”.

①試判斷甲鄉鎮是否屬于“資金缺乏型鄉鎮”；

②某銀行為本次參與調查的鄉鎮提供無息貸款支持，貸款方式為：投資額低于[μ]的每年給予兩次貸款機會，投資額不低于[μ]的每年給予一次貸款機會，每次貸款金額[ξ]及對應的概率如下：

求甲鄉鎮每年能夠獲得貸款總金額的數學期望.

（1）求橢圓[C]的標準方程；

（2）已知[A]、[B]是橢圓[C]上的兩點，且滿足[|OA|2+|OB|2=3]，求[ΔAOB]面積的最大值.

參考答案與解析

一、單選題

1.【答案】D

【解析】因為[z=（1+ai）?（1-i）=1-i+ai-ai2=（1+a）+（a-1）i]，

2.【答案】D

{1，2，3}]、[{1，2，4}]、[{1，2，3，4}]，

則集合[C]的個數為[4]，故本題選D.

3.【答案】D

【解析】對于A選項，[y=2x-x2-1]，當[x=-2]時，[y=2-2-（-2）2-1lt;0]，不符合題意，

對于B選項，[y=2x?sinx]為偶函數，其圖象關于[y]軸對稱，不符合題，

4.【答案】C

【解析】[f（x）=3+4cosx+sinx]，[f（x）=-4sinx+cosx=0]，[4sinx0-cosx0=0]，則[f（x0）=3x0]，

故[M（x0， f（x0））]在直線[y=3x]上，故本題選C.

5.【答案】C

6.【答案】C

【解析】由題意知，良馬每日行的距離成等差數列，記為[an]，其中[a1=103]、[d=13]，

駑馬每日行的距離成等差數列，記為[bn]，其中[b1=97]、[d=-0.5]，總路程[1125]里，

7.【答案】D

【解析】如圖5建立平面直角坐標系，設[A（0，a）]、[B（-c，0）]、[C（c，0）]，

8.【答案】B

【解析】由題意知[R=2]，設[∠BAC=∠ABC=θ]，作[CE⊥AB]于點[E]，

則[BC=2R?sinθ=4sinθ]，[BE=BC?cos（90°-θ）=2R?sin2θ=4sin2θ]，

則[CD=2R-2?4sin2θ=4-8sin2θ]，

二、多選題

9.【答案】ACD

對于B選項，當[a=2]，[b=3]時，左邊為[35]，右邊為[36]，不滿足左邊大于右邊，不成立，

對于C選項，[a2+b2+2-（2a+2b）=（a-1）2+（b-1）2≥0]，當[a=b=1]時等號成立，一定成立，

對于D選項，當[a≤b]時左邊[≥0≥]右邊，當[agt;b]時左右兩邊都大于[0]，比較它們平方即可，

故本題選ACD.

10.【答案】AD

【解析】根據正態曲線關于[x=μ]對稱，且[μ]越大圖象越靠近右邊，∴[μ1lt;μ2=μ3]，[∴]BC錯誤，

又[σ]越小數據越集中，圖象越瘦長，

∴[σ1=σ2lt;σ3]，[∴]AD正確，

[∴]本題選AD.

11.【答案】CD

【解析】對于A選項，[f（x）=cosx+|sinx|≥-1]，所以A錯誤，

對于C選項，當[cosxlt;0]時， [f（x）=cosx+|sinx|lt;1]，函數[y=f（x）-1]無零點，當[cosx≥0]，

則函數[y=f（x）-1]有三個零點，所以C對，

對于D選項，[f（2π-x）=cos（2π-x）+|sin（2π-x）|=cosx+|-sinx|=cosx+|sinx|=f（x）]，

所以曲線[y=f（x）]關于直線[x=π]對稱，所以D對，

故本題選CD.

12.【答案】AC

令[g（x）=x3-4x2-x-1]，[∴][g（x）=3x2-8x-1]，

[∵][Δgt;0]， [g（0）=-1lt;0]，

∴[g（x）]在[（0，+∞）]上先減后增，且[g（0）=-1lt;0]，

∴[g（x）]在[（0，+∞）]內只有一個零點，

令[h（x）=x3-2x2-x-1]，∴[h（x）=3x2-4x-1]，

[∵][Δgt;0]，[h（0）=-1lt;0]，

∴[h（x）]在[（-∞，0）]上先增后減，且[h（0）=-1lt;0]，

∴[h（x）]在[（-∞，0）]內只有一個零點，

綜上可知，[y=f（x）-f（x）]有[2]個零點，∴C選項正確，

∴D選項錯誤，

∴本題選AC.

三、填空題

又直線[x+y-2=0]經過該拋物線的焦點，且直線過點[（0，2）]，

則拋物線焦點的坐標為[（0，2）]，

14.【答案】[6]

又[13a=7b]，解得[m=6].

【解析】由已知條件得，[ΔABC]和[ΔBCD]均為正三角形，如圖6，

設[E]為[BD]的中點，延長[CE]，作[AH⊥EC]于點[H]，

則[∠AEC]是二面角[A-BD-C]的平面角，

作[HC]的中點[F]，則[F]在[EC]上，且[FC=2EF]，作[FG//HA]，

取[AG//HC]，[AG?GF=G]，可知四面體[ABCD]外接球的球心[O]在[GF]上，

設外接球的半徑為[R]，則[R=3]，

四、解答題

17.【解析】（1）由題意知：[b1=a2-a1]，[b2=a3-a2]，[b3=a4-a3]，[b4=a5-a4]，

則[b1+b2=a3-a1=42]，[b3+b4=a5-a3=34]，

設數列[bn]的公差為[d]，[（b3+b4）-（b1+b2）=4d=8]，得[d=-2]、[b1=22]，

數列[bn]的通項公式為[bn=24-2n]；

（2）由于[b1=a2-a1]，[b2=a3-a2]，[b3=a4-a3]，[b4=a5-a4]，…，[bn-1=an-an-1]，

所以數列[an]的最大值為[a12=a13=157].

當[x∈（-∞，1）]時， [f（x）lt;0]，當[x∈（1，+∞）]時， [f（x）gt;0]，

∴[f（x）]在[（-∞，1）]上單調遞減，在[（1，+∞）]上單調遞增，

（2）由（1）知，[f（x）]在[（1，+∞）]上單調遞增，

∴[g（x）]在[（1，+∞）]上單調遞增，

∴當[x∈（1，e）]時，[h（x）gt;0]，當[x∈（e，+∞）]時，[h（x）lt;0]，

∴[h（x）]在[（1，e）]上單調遞增，在[（e，+∞）]上單調遞減，

19.【解析】（1）在[ΔABC]中，[A+B+C=π]，

∵[（a+b+c）?（sinA+sinB-sinC）=3a?sinB]，

由正弦定理得：[（a+b+c）?（a+b-c）=3ab]，

∴[（a+b）2-c2=3ab]，整理得[a2+b2-c2=ab]，

（3）在平面[ABC]內過點[A]作射線[l]垂直于[AB]，

分別以[AB]、[l]、[AA1]為[x]、[y]、[z]軸建立空間直角坐標系，如圖7所示.

21.【解析】（1）填寫[2×2]列聯表如下所示：

∴能在犯錯誤的概率不超過[0.025]的前提下認為“優秀鄉鎮”與其所在的地區有關.

（2）①所調查的[200]個鄉鎮的投資額頻率分布表如下：

∴[μ=35×0.1+45×0.18+55×0.22+65×0.25+75×0.2+85×0.05=59.2]，

∵[200]個鄉鎮的高科技企業投資額[X]近似地服從正態分布[N（μ，190）]，

∴[σ2=190]、[σ≈13.8]，∴[μ-2σ≈59.2-2.6=31.6]，

∵甲鄉鎮的高科技企業投資額為[35]萬元，大于[31.6]萬元，∴甲鄉鎮不屬于“資金缺乏型鄉鎮”；

②由①可知這[200]個鄉鎮的投資額的平均數為[59.2]萬元，

甲鄉鎮的投資額為[35]萬元，低于[59.2]萬元，所以甲鄉鎮每年可以獲得兩次無息貸款，

所得貸款總金額[Y]的取值可以是[800]、[1000]、[1200]、[1400]、[1600]，

[∴P（Y=800）=0.2×0.2=0.04]，

[P（Y=1000）=2×0.2×0.5=0.2]，

[P（Y=1200）=0.5×0.5+2×0.2×0.3=0.37]，

[P（Y=1400）=2×0.3×0.5=0.3]，

[P（Y=1600）=0.3×0.3=0.09]，

貸款總金額[Y]的分布列為：

[E（Y）=800×0.04+1000×0.2+1200×0.37+1400×0.3+1600×0.09=1240]（萬元）.

（2）當直線[AB]的斜率存在時，設直線[AB]的方程為[y=kx+m]，代入橢圓方程得[（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0]，