分光計測棱鏡玻璃折射率實驗的譜線形狀函數

蘇海濤

分光計測棱鏡玻璃折射率實驗的譜線形狀函數

蘇海濤

（長江大學 物理與光電工程學院，湖北 荊州 434023）

分光計測棱鏡玻璃折射率實驗的色散譜線因折射定律而成為曲線．長期以來，由于數學分析與計算的難度，解出該曲線的數學表達式——譜線形狀函數成為數學上的一個難題．通過深入分析三棱鏡對單色光折射的光路結構，確定了出射光的方位角，由此解出正交條件下譜線的形狀函數，再通過坐標轉換，導出一般情況下譜線的形狀函數，解決了這一難題．譜線形狀函數的圖像與對應的實際譜線比較，兩者一致．

分光計；三棱鏡；折射光路結構；譜線形狀函數

用分光計測棱鏡玻璃折射率是一個包含豐富的光學與幾何學知識的實驗，這些知識貫穿在其調節與測量的嚴格性、精密性與巧妙性之中，充分體現了光學的魅力，使其成為重要的大學物理實驗[1-4]．分光計測棱鏡玻璃折射率實驗中，三棱鏡對入射單色平行光束的折射引起了色散譜線的彎曲，故譜線為曲線．但由于數學分析與計算的難度，至今為止，對譜線彎曲的數學解釋都是近似的解釋[5-10]，嚴格的數學解釋——譜線形狀函數一直無人給出，這成了數學上的一個難題．

導出譜線形狀函數的數學過程有兩個關鍵點：（1）本文在深入分析了三棱鏡對單色光折射的光路結構后，計算出了出射光的方位角，這是整個推導的基礎；（2）在此基礎上，根據調節好的實驗系統所滿足的條件，先導出正交條件下譜線的形狀函數，再通過坐標轉換，導出一般情況下譜線的形狀函數，也就是本實驗的譜線形狀函數，由此就可以解決這一數學難題．

1 三棱鏡對單色光折射的光路結構

1.1 平行光管出射光的特性

在調節好的分光計測量系統中，平行光管狹縫（線光源）的出射光經平行光管物鏡后形成方向不同的平行光束，其方向由狹縫上一點指向物鏡的光心，該方向射線處在平行光管主光軸與狹縫所構成的平面內，且關于平行光管主光軸呈縱向對稱分布．

1.2 三棱鏡對單色平行光束折射的光路

圖1 三棱鏡對單色光折射的光路結構

1.3 解析折射光路的光路結構

以上是完整解析的折射光路結構．

2 譜線形狀函數

運用以上關系再解三角形可得

2.2 譜線形狀函數

2.2.1 正交條件下的譜線形狀函數 為求出一般情況下的譜線形狀函數，須先求出正交條件下的譜線形狀函數，然后再通過坐標轉換，求出一般情況下的譜線形狀函數．

圖2 出射光會聚點位置及相互關系

2.2.2 一般情況下的譜線形狀函數 一般情況下，當在望遠鏡中看到譜線時，都不是正交狀態，此時望遠

將式（6）（7）代入式（5）整理得

3 譜線形狀函數的圖像

3.1 最小偏向時譜線的函數圖像

由式（6）（7）解得

3.2 具有代表性曲度的譜線的函數圖像

從圖像上看，譜線是連續光滑的對稱曲線，中點是其對稱中心．由式（8）可以證明譜線的中點曲率最大，所以譜線中點的曲率代表了譜線的彎曲度．因為譜線中點定位于坐標原點（0，0），所以由式（8）算得的譜線中點的曲率為

圖3 最小偏向時與為，，時的函數圖像

4 函數圖像與實際譜線的對比

4.1 實際譜線的圖像

圖4 最小偏向時的實際譜線

圖5 時的實際譜線

圖6 時的實際譜線

圖7 時的實際譜線

汞燈綠光譜線為雙線，左側線對應于波長546.1 nm，是實驗的測量線，也是對比線．最小偏向時的綠雙線間距很小，故照片中的綠雙線有點分辨不清，照片拉大后則清晰可辨．

譜線寬度均勻一致，輪廓清晰，譜線形狀可由輪廓線清晰顯示．

譜線具有一定的寬度，是因為單色平行光束從一種介質經過交界面進入另一種介質時除發生折射外還產生散射．折射光不可能是理論上單一方向的平行光，折射光方向圍繞理論折射方向在一定角度內變化，從而使譜線產生一定的寬度．

折射光散射角的大小與折射角的大小成正相關的關系，且單色平行光束從光密入光疏時的散射比從光疏入光密時的散射要大許多，所以在本實驗中看到，譜線隨出射角的增大而變寬明顯，出射角越大，變寬率也越大．

4.2 函數圖像與實際譜線的對比

譜線形狀函數的圖像與拍攝的實際譜線的圖像比較，兩者一致.

表1 為，，時的測量值與函數值

5 結語

分光計測棱鏡玻璃折射率的實驗系統就是棱鏡光譜儀，其色散譜線就是棱鏡光譜儀的色散譜線．作為三大光譜儀之一的棱鏡光譜儀是最早問世的光譜儀，自1859年誕生起，其色散譜線為曲線這一現象就隨即被觀察到．棱鏡光譜儀色散譜線的彎曲是因為折射定律，自從人們關注、研究這一現象并試圖給出這一著名光路以數學解釋起，由于數學分析與計算的難度（盡管所涉及的都是初等數學），這一數學解釋一直沒能成功給出，本文成功解決了這樣一個數學難題，可以看成是一個數學上的范例．

[1] 楊長銘，田永紅，王陽恩．大學物理實驗教程[M]．武漢：武漢大學出版社，2012：140-151．

[2] 李心婧，宋新兵．分光計調整對三棱鏡頂角和最小偏向角測量的影響[J]．大學物理，2021，40（8）：75-79．

[3] 劉安平，孫子杰，楊東俠，等．分光計實驗中豎向偏角對測量結果的影響[J]．物理與工程，2022，32（5）：127-132．

[4] 寧土榮，古迪，賴國霞，等．大學物理設計性實驗教學分析：以“不同方法測量三棱鏡的折射率并擬合其色散曲線”為例[J]．實驗室研究與探索，2023，42（4）：242-245．

[5] 隋吉東，李天和．用三棱鏡測光譜時譜線彎曲的分析[J]．黑龍江八一農墾大學學報，1986（2）：97-105．

[6] 盧杰，張瑛．棱鏡光譜線彎曲的分析[J]．物理實驗，1999，19（4）：43，34．

[7] 王雁冰．對實驗中棱鏡折射形成的光譜線彎曲現象和彎曲方向的淺析[J]．科學時代，2010（11）：224-225．

[8] 陳杰，劉國營，李文勝，等．用分光計測量三棱鏡折射率實驗中的光譜彎曲現象[J]．大學物理，2013，32（12）：21-23， 36．

[9] 李鎮業，李培哲，周怡然，等．大口徑分光計中棱鏡色散光譜線彎曲的測定[J]．物理實驗，2016，36（5）：29-33．

[10] 劉經佑．棱鏡色散譜線幾何彎曲偏離的計算[J]．淮陰師范學院學報，2022（3）：34-37．

Shape function of spectral line in experiment of measuring refractive index of prism glass with spectrometer

SU Haitao

（School of Physics and Opto-electronic Engineering，Yangtze University，Jingzhou 434023，China）

The dispersion spectral line of the experiment of measuring refractive index of prism glass with spectrometer becomes a curve due to the law of refraction．Because of the difficulty of mathematical analysis and calculation， figuring out the mathematical expression of this curve，the shape function of spectral line，has become a long-standing difficult problem in mathematics．The azimuth of emergent ray was calculated by analysing in depth the light path structure of monochromatic light refracted by prism．From this，the shape function of spectral line in orthogonal condition was figured out．And then，by coordinate transformation，the shape function of spectral line in general case was derived，thus solving the difficult problem．Compared the image of the shape function to the corresponding actual spectral line，they are consistent．

spectrometer；prism；structure of refracted light path；shape function of spectral line

O435.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.012

1007-9831（2024）01-0065-07

2023-08-20

蘇海濤（1966-），男，上海人，講師，從事物理基本理論與實驗研究．E-mail：1782934306@qq.com