母題探源：拓展教材習題的價值

王永軍

摘要：從教材（教科書）的兩個習題出發，整合出一個不等式鏈，探究其在數學“大題”中的應用價值.大單元統籌教材資源，幫助學生構建數學單元整體認知體系結構，著力突破教學重難點，提升數學核心素養.

關鍵詞：母題；教材；不等式鏈

數學教材（教科書）中的習題是學生學習數學的重要載體，具有基礎性的重要地位.教材習題的設置看似簡單，有些甚至顯而易見，但它們具有良好的梯度與針對性，是教材編寫專家集體智慧的結晶.教材習題也必然是教師教育教學的載體，教師要引導學生用好教材習題資源，充分挖掘教材習題的“暗示”功能，即提供范例.高考數學試卷的命題專家們必然會潛心研究教材中的習題，數學試卷中也必然會恰當運用這些范例，從而引導教學、教法、思維.

本文中以普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（人教A版）中“兩個習題引出的不等式”的教學為例，探討教材母題的應用價值，與大家分享.

1 課標要求

通過導數的學習，學生要掌握導數的基本運算，學會運用導數來研究函數的性質，進而解決一些實際問題.不等關系是數學中最基本的數量關系，用導數研究函數的單調性，由此得到函數在相應區間的極值（最值）能夠建立一些重要的不等關系，同時通過函數圖象能夠直觀理解導數的幾何意義.

2 教學片段

問題呈現：

問題1? （教材第94頁練習第2題）證明不等式：x－1≥ln x，x∈（0，+∞）.

問題2? （教材第99頁習題5.3第12題）利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證：

（1）ex>1+x，x≠0；

（2）ln x0.

（Ⅰ）左右對稱，有機整合至真

證明問題1、問題2，只需構造相應的函數：f1（x）=（x－1）－ln x（x>0），f2（x）=ex－（1+x），f3（x）=x－ln x（x>0），f4（x）=ex－x.接下來的任務就是對函數求導、判斷單調性、由極值得最值，進而建立不等式，證明過程簡單.

設計意圖：對問題1、問題2進行整合，可以得到不等式鏈

ln x≤x－1

①式中的不等式鏈幾乎無須附加任何條件.當且僅當x=1時，ln x=x－1；當且僅當x=0時，x+1=ex.注意涉及到對數ln x時需要考慮x>0，這其實是對數本身對真數的要求.

另外，①式左右兩端是對稱的.事實上，若①式左邊不等式ln x≤x－1成立，結合指數函數y=ex的單調性，可得eln x≤ex－1，即x≤ex－1，這表明x+1≤ex成立，即①式右邊不等式成立；反之亦然.

①式在很多數學問題（不等關系）的處理中可以大顯身手、化繁為簡，有些看似“莫名”的函數取值都可以通過①式得到解釋.

取x=1a代入①式中的ln x≤x－1，則－ln a≤1a－1，從而1－1a≤ln a，于是可以得到下面的不等式鏈

1－1x≤ln x≤x－1（x>0）.②

當且僅當x=1時，②式等號成立.

另外，取x=1n代入①式中的x+1≤ex，可以得到經典的數列an=1+1nn，an

（Ⅱ）數形互動，幾何直觀至美

如圖1，在平面直角坐標系xOy中作出函數y=ln x，y=x－1，y=x，y=x+1，y=ex的圖象（圖象由下向上依序）.

函數y=ln x，y=x，y=ex都是基本初等函數，是必須熟記的函數模型（圖象、性質）；函數y=x+1，y=x－1的圖象可以由y=x的圖象經過上下平移而得到.

設計意圖：從整體上看，圖1中5個函數的圖象是關于函數y=x的圖象成軸對稱的，圖形簡潔清晰，便于對①式中不等式鏈的記憶.其中y=x－1是y=ln x在點（1，0）處的切線，y=x+1是y=ex在點（0，1）處的切線.圖象的幾何直觀突出了數形結合的思想方法，便于深刻理解函數及不等式的幾何意義，可以有效提升學生直觀想象和數學運算素養.

（Ⅲ）應用舉例，習題再現至善

問題3? 〔教材第104頁復習參考題5第19題，2017年高考數學全國卷Ⅰ理科第21題第（2）問〕已知函數f（x）=ae2x+（a－2）ex－x.若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

此題先討論函數f（x）的單調性.求導得，f′（x）=（2ex+1）（aex－1）.當a≤0時，f′（x）<0，故函數f（x）在區間（－∞，+∞）上單調遞減；當a>0時，f′（x）=a（2ex+1）ex－1a，此時f′（x）有唯一的零點－ln a，此為極小值點，也是最小值點，函數f（x）在區間（－∞，－ln a）上單調遞減，在區間（－ln a，+∞）上單調遞增.

于是，若f（x）有兩個零點，只需考慮a>0，此時

f（x）min=f（－ln a）=1+ln a－1a<0.③

簡單驗證知，當a≥1時，③式不成立；當0

下面說明理由.

方法1： 結合函數y=ae2x（a>0），y=ex，y=x的增長快慢性，易知limx→－∞f（x）=+∞，limx→+∞f（x）=+∞.

結合f（x）的單調性及連續函數零點存在定理知，a的取值范圍是（0，1）.

方法2： 注意到f（－1）=ae－2+（a－2）e－1+1>－2e－1+1>0；

fln3a－1

=ae2ln3a－1+（a－2）＼5eln3a－1－ln3a－1

=3a－1－ln3a－1>0.

顯然－1<－ln a

設計意圖：事實上，關于③式的成立與否，可以先觀察，比如從ln 1=0入手進行思考.

方法1，看似簡單，由于教材（教科書）中幾乎沒有提及極限知識（只是在導數的概念中“不得不”用極限引出導數），學生對極限的運算是陌生的，教師在平時的教學中滲透的極限思想是不足以用來解答該題的，因此方法1不是教師平時教學的最優方法.

方法2，對f（－1）的探討與估計都是自然的.結合f（x）的單調性及連續函數零點存在定理知，函數f（x）在區間（－1，－ln a）內存在唯一的零點x1，這也是f（x）在區間（－∞，－ln a］內存在的唯一零點.類似地，函數f（x）在區間－ln a，ln3a－1內存在唯一的零點x2，這也是f（x）在區間（－ln a，+∞）內存在的唯一零點.于是函數f（x）有兩個零點，故a的取值范圍是（0，1）.

問題3也可以進一步通過二分法分割零點存在的區間來求出零點的近似解，這在數學的應用中是必要的.就本題的方法2而言，此方法是中學數學的“標準解”，關鍵是區間的端點ln3a－1是如何想到的？如果說－1或2甚至ln 3a好想，但揣測ln3a－1是不現實的，這個“中獎率”幾乎為零.仔細探究發現這里有①式的影子，即ln x

結合函數f（x）=ae2x+（a－2）ex－x的結構特征及指數與對數的互化、對數恒等式——ab=Nb=logaN，N=alogaN，努力探尋f（x）>0.考慮f（ln m）=m－ln m，化簡、比對即有m=3a－1.原來在偶然中存在必然.

問題3是很好的教材習題（高考真題）資源，蘊含了多種數學思想方法和思路策略，對各種數學運算能力（直觀想象、轉化化歸、利用導函數處理問題的一般步驟等）的要求都很高，對此問題的深入研究為以后的數學學習提供了很好的示范引領.

（Ⅳ）高考數學，靈活應用至巧

問題4? 〔（2021年高考數學全國乙卷理科第20題第（2）問〕已知函數f（x）=ln （1－x）.設函數g（x）=x+f（x）xf（x），證明g（x）<1.

對于此題，函數g（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，1）.

當x∈（－∞，0）時，f（x）>0；當x∈（0，1）時，f（x）<0.于是xf（x）<0.

欲證g（x）<1，去分母整理，即證x+（1－x）＼5ln （1－x）>0.

注意到1－x>0，1－x≠1，結合②式，可得x+（1－x）ln （1－x）>x+（1－x）1－11－x=0，這表明g（x）<1.

設計意圖：本題中對于xf（x）<0的探討，可以構造新函數v（x）=xf（x），然后用求導、極值、最值等來處理不等式，但這樣會把簡單的問題變得復雜.

①式是簡潔、直觀、形象的，其變形②式在放縮不等式的過程中也一樣可以大放光彩.證明xf（x）<0也可以嘗試用①式、②式得到：當x∈（－∞，0）時，xln （1－x）

3 教學思考

教學中，要注重教材中母題（例題，習題）的開發與利用.如本文中的問題1、問題2分散在教材各處，要有意識地去整合與提升，努力提煉出一些經典的結論；要善于研讀教材習題（如問題3），看清、分析、吃透解題過程中每一步所運用的數學思想與方法.加強運算訓練，特別是指數與對數的互化、不等式的各種等價變形、基本初等函數及其求導與化簡等，這對學生的學習可以起到事半功倍的效果.如從問題1、問題2中整合得到的①式、②式，其應用范圍極其廣泛.運用中要注意觀察所要證明的不等式的結構特征，必要時須先進行恰當的等價變形，還要注意等號成立的條件.恰當的運用通常可以將原本復雜的運算（傳統解法）變得簡單（如問題4），降低數學思維層次，節約考試時間，提高學習效率，提升數學運算素養.