直觀先行推理為本，選材導(dǎo)學(xué)素養(yǎng)是根

喻立楊 趙一凡 王先義

課題信息：四川省教育科研課題“情景教學(xué)視域下的高中數(shù)學(xué)‘教-學(xué)-評(píng)一致性研究”，課題編號(hào)為YB2023010.

摘要：2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)試題體現(xiàn)了高考“一核四層四翼”的評(píng)價(jià)要求，突出考查高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，尤其著重考查了直觀想象素養(yǎng)，全卷23道題中有15道涉及數(shù)學(xué)直觀，涵蓋高中數(shù)學(xué)的各大主題，分值占比60%以上，這類(lèi)問(wèn)題可從直觀尋求突破，再用邏輯推理加以論證.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；直觀想象；邏輯推理

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)試題緊跟黨的二十大精神，貫徹黨的教育方針，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，促進(jìn)五育并舉，反應(yīng)新時(shí)代基礎(chǔ)教育課程理念，突出體現(xiàn)了高考“一核四層四翼”的評(píng)價(jià)要求.試題延續(xù)了注重基礎(chǔ)性、考查必備知識(shí)的傳統(tǒng)，突出關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查，尤其是數(shù)形結(jié)合能力和數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng).

總體上，本套試卷有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

①通過(guò)恰當(dāng)?shù)谋尘埃鋵?shí)五育并舉，如第6，9，19題；

②創(chuàng)設(shè)合適的情境，考查關(guān)鍵能力，如第1題集合，第2題復(fù)數(shù)，第9題計(jì)數(shù)等；

③設(shè)置豐富的試題，注重直觀想象，如第4題向量，第11，18題立體幾何等；

④猜想驗(yàn)證相結(jié)合，注重邏輯推理，如第20題解幾，第21題導(dǎo)數(shù)等.

1 試題評(píng)析

1.1 精簡(jiǎn)試題情境，傳達(dá)五育精神

與往年的命題情境相比，2023年顯得更為精簡(jiǎn).常見(jiàn)的考題情境包括生活情境、科學(xué)情境以及純粹的數(shù)學(xué)情境，試卷中第6，9題為生活情境，19題為科學(xué)情境，其余考題均是純粹的數(shù)學(xué)情境.總體感覺(jué)題目“短小精悍”.

其中，第6題以報(bào)名足球與乒乓球俱樂(lè)部為情境，傳達(dá)了體育教育；第9題以志愿者參加社區(qū)服務(wù)為情境，傳達(dá)了德育以及勞動(dòng)教育；第19題以探究藥物的作用為情境，也傳達(dá)了德育以及勞動(dòng)教育.

總之，試卷既傳達(dá)了五育并舉的教育要求，又回歸了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的考查.

1.2 突出素養(yǎng)導(dǎo)向，落實(shí)學(xué)科價(jià)值

根據(jù)高考評(píng)價(jià)的要求，必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值是高考考查的四個(gè)層次的內(nèi)容.同時(shí)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)也是教學(xué)的重要目標(biāo).試題對(duì)學(xué)科素養(yǎng)的考查充分突出.

例1? （第1題）設(shè)集合A={x|x=3k+1，k∈Z}，B={x|x=3k+2，k∈Z}，U為整數(shù)集，則瘙綂U（A∪B）=（? ）.

A.{x|x=3k，k∈Z}

B.{x|x=3k－1，k∈Z}

C.{x|x=3k－1，k∈Z}

D.

本題雖考查集合的運(yùn)算，但滲透了分類(lèi)思想，蘊(yùn)含“同余”概念.終邊相同的角的集合中蘊(yùn)含著同余思想，故該考題源于教材.此題要求考生從集合的“符號(hào)語(yǔ)言”中抽象概括集合的含義，故本題是考查數(shù)學(xué)抽象的典型試題，體現(xiàn)了描述法表示集合的優(yōu)勢(shì)，即高度抽象.

例2? （第2題）若復(fù)數(shù)（a+i）（1－ai）=2，則a=（? ）.

A.－1

B.0

C.1

D.2

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，考點(diǎn)單一，不難求出a=1，是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的典型試題.本題不考別的，只考運(yùn)算，精準(zhǔn)命題，目標(biāo)明確，體現(xiàn)一個(gè)“準(zhǔn)”字.

例3? （第7題）“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的（? ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

本題以同角關(guān)系為背景，考查常用邏輯用語(yǔ)中的充分條件與必要條件，是考查邏輯推理能力的典型試題，體現(xiàn)一個(gè)“隱”字.

數(shù)列解答題也能充分體現(xiàn)邏輯推理.

例4? （第17題）已知數(shù)列{an}中，a2=1，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求an+12n的前n項(xiàng)和Tn.

第（1）問(wèn)中，當(dāng)n≥2時(shí)降階相減得到（n－2）an=（n－1）an－1，接下來(lái)無(wú)論用累乘法，還是轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，都需要把n－2作為分母，因此n=2需單獨(dú)處理，n≥3時(shí)才能把n－2作為分母，可見(jiàn)試題用隱蔽的細(xì)節(jié)鑒別考生邏輯推理能力，體現(xiàn)了一個(gè)“隱”字.

例5? （第9題）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（? ）.

A.120B.60C.40D.30

本題方法多樣，但最簡(jiǎn)解即A35=5×4×3=60.問(wèn)題可抽象為從5個(gè)元素中取3個(gè)，分別只參加周六、只參加周日及兩天都去，符合排列的概念，從而秒殺此題.本題是考查數(shù)學(xué)建模的典型考題，體現(xiàn)一個(gè)“精”字.

例6? （第19題）略.

本題以探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)作用為情境，給出了對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組各20只，共40只小鼠的體重?cái)?shù)據(jù)，在第（2）小題中要求考生求出這40個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù).不少考生表示“眼睛花了”“頭大了”.事實(shí)上，考題中兩組數(shù)據(jù)都已按照從小到大的順序排好，考生抱怨可見(jiàn)其數(shù)據(jù)處理能力不足.數(shù)據(jù)處理作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，要求考生既掌握原理，又做好實(shí)踐，考生的表現(xiàn)說(shuō)明數(shù)據(jù)處理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任重道遠(yuǎn).本題體現(xiàn)一個(gè)“理”字，數(shù)據(jù)處理，落腳在“理”.

上面例子呈現(xiàn)了考題對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理核心素養(yǎng)的考查，考查的內(nèi)容相對(duì)單一，注重基礎(chǔ)性，體現(xiàn)應(yīng)用性.

1.3 重視數(shù)學(xué)直觀，區(qū)分關(guān)鍵能力

直觀想象也是核心素養(yǎng)之一，對(duì)數(shù)學(xué)直觀的考查是本卷的亮點(diǎn)和重點(diǎn)，本卷中體現(xiàn)數(shù)學(xué)直觀的考題較多，綜合性強(qiáng)，具有創(chuàng)新性.

體現(xiàn)數(shù)學(xué)直觀的試題有15道，超過(guò)了試題總量的一半，涉及眾多章節(jié)，按總分160分算占106分（選做題第22題、23題二選一，各10分），占比66.25%，這些題目構(gòu)成試卷的主體，決定試卷的考查效果，羅列如下.

由表1可見(jiàn)，試卷高度重視數(shù)學(xué)直觀.不少試題可以直觀“秒殺”，也有雖不能秒殺，但可以“猜想”，然后通過(guò)邏輯推理證明猜想，其模式可概括為“直觀先行，推理為本”.

例7? （第4題）向量|a|=|b|=1，|c|=2且a+b+c=0，則cos〈a－c，b－c〉=（? ）.

A.－15

B.－25

C.25

D.45

圖1

注意到a+b+c=0，如圖1，由和向量為零向量構(gòu)造“閉合回路”△PQR，根據(jù)三邊長(zhǎng)知，△PQR為等腰直角三角形，建系寫(xiě)坐標(biāo)即可秒殺此題.畫(huà)圖方式不唯一，但不畫(huà)圖用公式算其運(yùn)算量大，而且計(jì)算時(shí)抽象空洞.此題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)直觀的重要性，完美呈現(xiàn)了式與圖、數(shù)與形的美妙互譯.

例8? （第10題）已知函數(shù)f（x）為函數(shù)y=cos2x+π6向左平移π6個(gè)單位所得函數(shù)，則y=f（x）與y=12x－12圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（? ）.

A.1

B.2

C.3

D.4

得到y(tǒng)=f（x）的解析式后，只要圖象（如圖2）畫(huà)得標(biāo)準(zhǔn)，就可以直接看出交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，秒殺此題，也可以借助計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)處的函數(shù)值，通過(guò)比較大小推理驗(yàn)證猜想.本題隱蔽地考查了“作圖”能力.

例9? （第18題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1.

（1）證明：AC＝A1C.

（2）若直線(xiàn)AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

如圖3，本題中CA，CB，CA1兩兩垂直，以它們?yōu)閤，y，z軸建系，看似方便，但由于CA，CB，CA1長(zhǎng)度未知，關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)不能直接寫(xiě)出，陷入困境.設(shè)坐標(biāo)A（a，0，0），B（0，b，0），A1（0，0，c），其中a，b，c均大于0，通過(guò)待定系數(shù)法雖然也能解題，但是字母運(yùn)算讓人心存敬畏.

本題兩個(gè)問(wèn)題均以距離作為已知條件，在歷年的試題中是少見(jiàn)的，需要考生通過(guò)降維把“空間距離”轉(zhuǎn)化為“平面距離”，實(shí)現(xiàn)立體圖形的“平面化”，在平面多邊形中計(jì)算關(guān)鍵數(shù)據(jù).借助空間平行、垂直的相關(guān)定理，通過(guò)轉(zhuǎn)化，可知△A1CA是等腰直角三角形，△A1BA是等腰三角形.若能夠?qū)崿F(xiàn)上述轉(zhuǎn)化，就能看透該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，簡(jiǎn)化求解過(guò)程.本題對(duì)數(shù)學(xué)直觀的要求較高，區(qū)分度很好.

此題用坐標(biāo)法、綜合法都能求解，但都不簡(jiǎn)單，可謂“一舉兩得，一題多考，方法取舍見(jiàn)高下”.

作為試卷中難度較高的如下兩道解答題，通過(guò)數(shù)學(xué)直觀也能很快得出猜想.

例10? 〔20題第（2）問(wèn)〕F是拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，M，N為拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且MF＼5NF=0，求△MNF面積的最小值.

如圖4，如果過(guò)點(diǎn)F任意作兩條相互垂直的直線(xiàn)，得到四邊形MNM′N(xiāo)′被對(duì)角線(xiàn)分為4個(gè)符合題意的直角三角形，直觀察覺(jué)，當(dāng)M，N都在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，三角形的面積較小，猜想當(dāng)△MNF為等腰直角三角形時(shí)面積最小，從而迅速入題.

證明時(shí)，可以用坐標(biāo)法，但運(yùn)算量大;若用焦半徑的夾角公式，運(yùn)算量會(huì)極大降低.這體現(xiàn)了幾何直觀的優(yōu)越性.

設(shè)MF與x軸的夾角為，∈0，π4，則|MF|=21+cos ，|NF|=21+sin ，且S△MNF=12|MF||NF|，即S△MMF=12＼521+cos ＼521+sin =4（1+sin +cos ）2=41+2sin+π42≥4（1+2）2=12－82，當(dāng)且僅當(dāng)=π4，即△MFN為等腰直角三角形時(shí)，面積取得最小值.

本題既要埋頭算，更要用眼看，體現(xiàn)一個(gè)“悟”字，真是直觀先行，推理為本.

例11? 〔21題第（2）問(wèn)〕已知f（x）=ax－sin xcos3x，x∈0，π2.若f（x）

本題利用以下兩種直觀感知可得出猜想.

一種是利用三角函數(shù)線(xiàn)（或面積），當(dāng)∈0，π2時(shí)，sin <（如圖5）.

考慮a＞0時(shí)命題成立的必要條件是asin x－sin xcos3x

動(dòng)靜結(jié)合，辯證看圖，其實(shí)，圖5中還蘊(yùn)含著limx0sin xx=1，limx0tan xx=1兩個(gè)重要極限，因此本題也可以取極限得到必要條件.

另一種是端點(diǎn)效應(yīng)，切線(xiàn)與曲線(xiàn)的相互近似代替.

令g（x）=ax－sin xcos3x－sin 2x，x∈0，π2，注意到g（0）=0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直觀感知得到“g（x）<0，在x∈0，π2上恒成立”的必要條件是“g′（0）≤0”（如圖6）.

而g′（x）=－4cos2x+2cos2x－3cos4x+2+a，故g′（0）=a－3≤0，得a≤3.

以上兩種直觀方法都能求出必要條件，但都需要驗(yàn)證充分性，只需要放縮即可.

本題將三角函數(shù)與一次函數(shù)整合，利用導(dǎo)數(shù)工具研究其性質(zhì)，難度較高，但通過(guò)直觀感知不難獲得猜想，既可以用直觀放縮轉(zhuǎn)化，也可以用直觀端點(diǎn)先行，體現(xiàn)一個(gè)“活”字，降低了難度.

2 反思與建議

2.1 深挖問(wèn)題，就題論道

從2023年高考全國(guó)甲卷中可以發(fā)現(xiàn)，試題背景熟悉，問(wèn)題常規(guī)自然，考查內(nèi)容基礎(chǔ)，主要考查考生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的通性通法的掌握，此類(lèi)問(wèn)題占比超90%，例如理科第17，18題的數(shù)列和立體幾何，亦是對(duì)相關(guān)問(wèn)題通性通法的考查.“背題型，背套路”的刷題本質(zhì)上是沒(méi)有理解“套路”背后的原理，考生一旦遇到題目“化妝”（如第18題已知距離，證明線(xiàn)段相等），就不容易找到解題策略.因此，在平時(shí)的復(fù)習(xí)備考中，學(xué)生不僅要掌握基礎(chǔ)知識(shí)和訓(xùn)練基本技能，也要能夠挖掘知識(shí)的廣度、深度以及表達(dá)；不僅要掌握其中的套路，更要逐漸內(nèi)化成數(shù)學(xué)思想和方法，獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)從“解題”到“解決問(wèn)題”，從知其然到也知其所以然，達(dá)到從“就題論題”到“就題論法”再到“就題論道”，讓試題價(jià)值最大化，實(shí)現(xiàn)“做一題，得一法，會(huì)一類(lèi)，通一片”.

2.2 立足課堂，落實(shí)素養(yǎng)

試卷中諸多試題可以利用數(shù)學(xué)直觀巧妙破解，但這需要考生通過(guò)日常的學(xué)習(xí)養(yǎng)成直觀想象的習(xí)慣和意識(shí).美國(guó)著名的教育家杜威說(shuō)：“教學(xué)必須從學(xué)習(xí)者已有的經(jīng)驗(yàn)開(kāi)始，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是課堂的主人，一切教學(xué)都是為了學(xué)生的發(fā)展.”學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，課堂作為日常教學(xué)的主陣地，占據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的大部分時(shí)間，是學(xué)生活動(dòng)、思維、實(shí)踐和創(chuàng)新的關(guān)鍵戰(zhàn)場(chǎng)，因此這是扎實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)、鍛煉和塑造學(xué)生能力，養(yǎng)成必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要戰(zhàn)場(chǎng)，需要教師在日常教學(xué)中關(guān)注學(xué)生，因材施教，對(duì)學(xué)生進(jìn)行整體和個(gè)性的教育，從而促進(jìn)核心素養(yǎng)的落實(shí).

2.3 關(guān)注命題，科學(xué)備考

新高考命題模式對(duì)一線(xiàn)教師來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)，需要深入研究新高考試卷特點(diǎn)與命題動(dòng)向.2023年新高考全國(guó)卷在考試內(nèi)容改革、題型創(chuàng)新、試卷結(jié)構(gòu)以及科學(xué)調(diào)控難度方面作出了進(jìn)一步探索.在內(nèi)容改革上，以新課標(biāo)為命題依據(jù)進(jìn)行命題，仍然突出對(duì)理性思維和關(guān)鍵能力的考查，通過(guò)設(shè)計(jì)真實(shí)問(wèn)題情境，融合數(shù)學(xué)文化，滲透德智體美勞的育人理念，全面貫徹“立德樹(shù)人”的教育方針.在題型創(chuàng)新方面，堅(jiān)持開(kāi)放創(chuàng)新，能力立意，在考查內(nèi)容不變的情況下，改變問(wèn)題的類(lèi)型和考查要點(diǎn).在試卷結(jié)構(gòu)方面，大題布局變化較大，破除導(dǎo)數(shù)壓軸的定勢(shì)，如新Ⅰ卷第19題導(dǎo)數(shù)，再次驗(yàn)證了“反刷題”；堅(jiān)持以新教材為依據(jù)進(jìn)行命題，堅(jiān)持考教銜接，如新Ⅰ卷第3，10和21題等.在科學(xué)調(diào)控難度方面，全面貫徹“低起點(diǎn)，多層次，高落差”策略，部分試題設(shè)計(jì)科學(xué)，起點(diǎn)低，入口寬，面向全體學(xué)生，考查基礎(chǔ)知識(shí)，個(gè)別試題對(duì)考生的思維能力有較高的要求，要求學(xué)生具備解決復(fù)雜問(wèn)題的綜合素養(yǎng).這些特點(diǎn)和趨勢(shì)為我們?cè)凇叭隆北尘跋拢P(guān)注新教材教學(xué)，科學(xué)平穩(wěn)過(guò)渡新高考提供了極有價(jià)值的信息.