真題追本溯源，回歸教材本源

丁學(xué)智

摘要：高中數(shù)學(xué)教材中的一些典型例（習(xí)）題，具有相關(guān)模塊知識的典型性與應(yīng)用，也一直是高考數(shù)學(xué)命題的基本源泉之一.結(jié)合一道三角函數(shù)求值的高考真題的追根溯源，挖掘根源所在，開拓解題思路，總結(jié)性質(zhì)規(guī)律，合理回歸教材并挖掘教材知識，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；公式；換元；教材；習(xí)題

高中數(shù)學(xué)教材例（習(xí)）題往往是每年高考數(shù)學(xué)命題的一個重要腳本，回歸教材本源，合理挖掘教材例（習(xí)）題的各個方面，基于數(shù)學(xué)問題場景、數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)思想方法等，全面構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)體系，架構(gòu)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之間的巧妙鏈接與綜合應(yīng)用，形成數(shù)學(xué)能力，合理滲透并應(yīng)用到高考命題中去.

1 高考真題呈現(xiàn)

（2023年新高考Ⅰ卷·8）已知sin （α－β）=13，cos αsin β=16，則cos （2α+2β）=（? ）.

A.79

B.19

C.－19

D.－79

此題通過兩角差的三角函數(shù)值、兩單角三角函數(shù)值的積來設(shè)置問題場景，利用兩角和的二倍角的三角函數(shù)值的求解來創(chuàng)設(shè)問題，是高考中三角函數(shù)求值問題的一種基本題型與綜合應(yīng)用.

三角函數(shù)求值的幾種常見類型：“給角求值”“給值求值”“給值求角”等.解決問題的基本思路就是建立題設(shè)條件與所求結(jié)論之間函數(shù)值、函數(shù)名、角、運算式等要素之間的聯(lián)系，結(jié)合相關(guān)的三角函數(shù)公式加以合理變換與轉(zhuǎn)化，從而實現(xiàn)函數(shù)值、角等的求解與應(yīng)用.

2 真題破解

解法1：兩角差的正弦公式法.

因為sin （α－β）=sin αcos β－cos αsin β=13，

而cos αsin β=16，可得sin αcos β=13+16=12，所以sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=12+16=23.

所以cos （2α+2β）=1－2sin 2（α+β）=1－2×232=19.

故選：B.

解法2：積化和差公式法.

由cos αsin β=16，利用積化和差公式，可得cos α＼5sin β=12＼=16.

又sin （α－β）=13，可得sin （α+β）=16×2+13=23，

所以cos （2α+2β）=cos 2（α+β）=1－2sin 2（α+β）=1－2×232=19.

故選：B.

解法3：換元法.

設(shè)α－β=γ，則α=β+γ，sin γ=13.

而cos αsin β=16，即cos （β+γ）sin β=16，所以cos βcos γsin β－sin γsin 2β=16.

所以12cos γsin 2β－sin γ·12（1－cos 2β）=16，即12cos γsin 2β－12sin γ+12sin γcos 2β=16.

所以12sin （2β+γ）=13，即sin （2β+γ）=23.

所以cos （2α+2β）=cos （4β+2γ）=1－2sin 2（2β+γ）=1－2×232=19.

故選：B.

解后反思：涉及三角函數(shù)中的“給值求值”問題，借助題設(shè)條件，方法1中從兩角差的正弦公式入手來變換，解法2中從積化和差公式的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化，解法3中從整體換元思維來切入，進(jìn)而利用三角函數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合二倍角公式來分析與求解.其中解法1是最為常見的解題方法，也是解決問題的“通性通法”，需要加以熟練掌握.而借助思維視角的改變，也有其他相關(guān)的技巧方法可以達(dá)到求解目的.

3 追本溯源

追本溯源，該題是在高中數(shù)學(xué)教材的課后習(xí)題的基礎(chǔ)上，依據(jù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，從命題形式、條件轉(zhuǎn)化、結(jié)論設(shè)置、能力提升與綜合應(yīng)用等方面，開拓數(shù)學(xué)思維，改變對應(yīng)問題的設(shè)置，從而實現(xiàn)問題的應(yīng)用.

習(xí)題? 〔人民教育出版社2019年《數(shù)學(xué)》（必修第一冊）第五章“三角函數(shù)”第229頁習(xí)題5.5第9題〕

已知sin （α+β）=12，sin （α－β）=13.

求證：

（1）sin αcos β=5cos αsin β；

（2）tan α=5tan β.

該教材習(xí)題通過sin （α+β），sin （α－β）與sin α＼5cos β，cos αsin β之間的關(guān)系，合理設(shè)置已知條件與所求結(jié)論，以證明的方式來創(chuàng)設(shè)，是三角函數(shù)求值的另一種表達(dá)方式，達(dá)到三角函數(shù)求值的綜合應(yīng)用目的.

以上教材習(xí)題的證明過程與技巧方法，可以參照上文原高考真題的解析過程，這里不再展開.

其實，涉及三角函數(shù)求值的綜合應(yīng)用問題，是高中數(shù)學(xué)的一個重要知識點，也是各級、各類考試中的一個基本考點，難度一般比較簡單或中等.

4 變式拓展

變式? （湖北省2024屆新高三騰云聯(lián)盟八月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知π2<α<3π2，－π2<β<0，且sin α+sin β=3（cos α+cos β），則下列結(jié)論一定不正確的是（? ）.

A.cos （α－β）=－1

B.sin （α－β）=0

C.cos （α+β）=－12

D.sin （α+β）=－32

分析：根據(jù)題設(shè)條件，抓住給出的三角函數(shù)關(guān)系式的兩邊比較工整，且均是兩角正弦值（或余弦值）的和式特征，可以直接利用三角函數(shù)的和差化積公式加以轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形，并結(jié)合角的取值范圍來分析與判斷所給結(jié)論是否成立.

解：由sin α+sin β=3（cos α+cos β），利用三角函數(shù)的和差化積公式，可得

2sinα+β2cosα－β2=23cosα+β2cosα－β2.

整理有cosα－β2sinα+β2－3cosα+β2=0.結(jié)合輔助角公式，得2cosα－β2sinα+β2－π3=0.

由π2<α<3π2，－π2<β<0，可得π4<α－β2<π，－π3<α+β2－π3<5π12，故α－β2=π2或α+β2－π3=0，解得α－β=π或α+β=2π3.

故選：D.

5 教學(xué)啟示

5.1 熟練掌握公式，把握常規(guī)方法

解決三角函數(shù)求值問題的關(guān)鍵，就是充分挖掘題設(shè)條件與所求結(jié)論中的函數(shù)值、函數(shù)名、角、運算式等要素之間的聯(lián)系，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式以及解三角形中的相關(guān)定理等進(jìn)行巧妙的“變”——變角、變名、變式，如圖1.

由題設(shè)條件入手，到所求結(jié)論為止，構(gòu)建聯(lián)系，合理求“變”，化歸與轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)三角函數(shù)值的求解.

5.2 落實教材本源，探尋問題內(nèi)涵

腳踏實地，認(rèn)真研究和學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)教材中的基礎(chǔ)知識與相關(guān)的例（習(xí)）題，從數(shù)學(xué)知識根源上去深入、研究、理解、掌握，充分把握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的基本內(nèi)涵與實質(zhì)，以不變應(yīng)萬變，這才能真正發(fā)揮高中數(shù)學(xué)教材的最大作用.

我們知道，高中數(shù)學(xué)教材的基礎(chǔ)知識與對應(yīng)的例（習(xí)）題等相關(guān)內(nèi)容，都具有其他數(shù)學(xué)教學(xué)參考書、習(xí)題集等所不可替代的作用和教育教學(xué)功能，具有典型性，起到總結(jié)成功經(jīng)驗與標(biāo)桿等方面的作用.教師要合理引導(dǎo)學(xué)生深入領(lǐng)會高中數(shù)學(xué)教材中對應(yīng)例（習(xí)）題所展示出來的知識內(nèi)涵與命題意圖，并加以研究和開發(fā)，合理追根溯源.真正達(dá)到“雙減”的目的，減少所謂的“補充內(nèi)容”，減少資料書的使用，真真切切地做到為學(xué)生減負(fù)，同時又能夠增加學(xué)生動手、動腦等方面的能力，提高學(xué)習(xí)興趣，是一舉多得的好事情.