高一新生數學關鍵能力的養成策略

曹艷

課題信息：泰州市第十二期教學研究十二期教研一般立項課題“高一新生數學學習關鍵能力的培養策略研究”，課題立項編號為TZJYYB2019-057.

數學關鍵能力是我們在現實生活中工作與數學學習過程中，對應數學知識的積累與升華，數學方法的理解、掌握、應用和內化，以及利用數學的視角來發現、提出問題，并借助數學的思維來分析、解決問題的綜合能力.融合高考評價體系的整體框架以及《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中的學科核心素養，高中數學關鍵能力主要涉及邏輯思維、運算求解、空間想象、數學建模和創新應用等五個方面的能力，是學生學習能力與實踐能力的細化，也是高中數學教師在教學過程中必須加以合理滲透并逐步養成的基本能力，特別是高一新生數學關鍵能力的培養與養成非常關鍵.

1 邏輯思維能力

邏輯思維能力是我們在現實世界中的生活、學習、工作，當然也包括數學學習在內的一種重要思維能力，更是我們終生學習、生活工作與自身發展等方面必須具備的特殊能力之一.

例1? 甲、乙、丙、丁四位同學一起去向數學老師詢問數學競賽的成績.數學老師說：“你們四人中各有2位優秀與良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.具體結果你們自己分析與判斷吧.”看后甲對大家說：“我還是不知道我的成績.”根據以上相關信息，則以下命題正確的是（? ）.

A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績

C.乙、丁可以知道對方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績

解析：根據四人中各有2位優秀與良好，結合甲說“我還是不知道我的成績”，因此可知乙、丙的成績是一人優秀，一人良好：而乙看丙的成績，結合甲的說法，當丙為“優秀”（或“良好”）時，乙為“良好”（或“優秀”），由此判斷乙知道自己的成績；

又由于丁看甲的成績，結合前面推理知乙、丙的成績是一人優秀，一人良好，則甲與丁的成績也是一人優秀，一人良好，由此判斷丁知道自己的成績.

綜上分析，乙、丁可以知道自己的成績.故選：D.

邏輯推理能力要從一些事實與命題等視角出發，借助邏輯規則加以合理分析與推理，在此過程中，合理引導與養成，通過發現與提出問題，有效掌握推理的基本形式與推理規則，進而探索與表述推理過程中的論證過程，構建相應的命題體系，最后加以正確的表達與交流，形成數學問題的分析與解決能力.

2 運算求解能力

運算求解能力是新課標數學六大核心素養之一的數學運算素養的重要內容，是分析與解決數學問題的重要手段與基本工具之一，更是學生現實生活與學習、后繼終生學習與工作等方面，滲透于方方面面之中.

例2? 已知a，b，c是△ABC的三邊，且關于x的二次方程x2－2x+lg（c2－b2）－2lg a+1=0有兩個相等的實數根，則△ABC的形狀是（? ）.

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形

解析：由題意知Δ=0，即（－2）2－4＼=0，化簡得2lga－lg（c2－b2）=0.由a＞0，得lga2c2－b2=0，即a2c2－b2=1，整理可得a2+b2=c2，則知△ABC是直角三角形.故選：B.

運算求解能力是在厘清題設條件，明晰運算內容與運算對象的基礎上，依據運算法則并結合推理等來分析與解決數學問題的一種演繹推理能力.從小學到初中階段，運算求解能力都是一種基本能力，也是影響學生學習與成績的一種非常重要的方面.厘清運算對象并把握運算法則是基礎，煩瑣的過程與推理的步驟是重要環節，認真細心是“潤滑劑”.

3 空間想象能力

空間想象能力是最具有數學學科特點的一種基本能力，也是學生數學學習必須具備的一種能力.

空間想象能力中對現實生活場景三維空間的認識與初步應用，是基于學生的生活閱歷與小學、初中相關知識的積累，必須在高一階段進一步加以提升與養成.

特別在高一階段，教師教授“立體幾何初步”的內容時，要從基本立體圖形入手，結合立體幾何圖形的直觀圖，以及直觀圖的識別與作圖應用，逐步在學生原有空間想象能力的基礎上，進一步科學化、系統化，并通過空間點、直線、平面之間的位置關系的構建與應用，完善與強化空間想象能力與直觀想象素養.

空間想象能力的進一步加強與養成，可以有效滲透到學生的學習與生活中去，同時還可以將空間圖形中的相關問題與對應的數學知識有機聯系，形成知識的巧妙融合與應用，形成一種基本能力.

4 數學建模能力

數學建模能力是充分體現學生的數學概念與數學知識的理解與掌握，以及數學知識的靈活應用與融會貫通等方面最有效的一種基本能力.

例3? 〔2023屆江蘇省蘇州市高三第二學期開學期初調研考試數學試卷（零模）〕已知通過某種圓筒型保溫層的熱流量Φ=2πλl（t1－t2）ln r2－ln r1，其中r1，r2分別為保溫層的內外半徑（單位：mm），t1，t2分別為保溫層內外表面的溫度（單位：℃），l為保溫層的長度（單位：m），λ為保溫層的導熱系數（單位：W/（m·℃））.某電廠為了減少熱損失，準備在直徑為120 mm、外壁面溫度為250℃的蒸汽管道外表面覆蓋這種保溫層，根據安全操作規定，保溫層外表面溫度應控制為50℃.經測試，當保溫層的厚度為30 mm時，每米長管道的熱損失Φl為300 W.若要使每米長管道的熱損失Φl不超過150 W，則覆蓋的保溫層厚度至少為（? ）.

A.60 mm

B.65 mm

C.70 mm

D.75 mm

解析：根據題意可得Φl=2πλ（t1－t2）ln r2－ln r1=2πλ（250－50）ln 90－ln 60=400πλln32=300，可得πλ=34ln32.設保溫層厚度為x mm（x＞0），則Φl=2πλ（250－50）ln （60+x）－ln 60=400×34ln 32ln 60+x60≤150，整理可得ln 60+x60≥ln 94，所以60+x60≥94，解得x≥135－60=75，即覆蓋的保溫層厚度至少為75 mm.故選：D.

數學建模能力是在知識理解的基礎上的一種應用，借助持續的學習，系統掌握與深入理解，正確適應與合理模仿，進而巧妙地套用已有知識與模型，并在此基礎上不斷地改進與創新，逐步改進方法與模式等，有效建立起與問題相吻合的數學模型，進而加以合理解決與應用.在實際教學過程中，教師要進行合理的示范與引導，幫助學生形成舉一反三的數學建模能力.

5 創新應用能力

創新意識與創新應用是時代的需求，創新應用能力反映了高校選拔人才的基本要求與國家選才的根本意志，也是學生關鍵能力的重要一環.

例4? 〔2022—2023學年江蘇省鎮江中學高一（上）段考數學試卷〕（多選題）定義集合A的“冪集”P（A）是一個集合A的所有子集組成的集合，并用n（A）表示有限集A的元素個數.給出下列命題，其中正確的命題的是（? ）.

A.存在集合A，使得n＼=5

B.若AB，則P（A）P（B）

C.若A∩B=，則P（A）∩P（B）=

D.若n（A）－n（B）=2，則n＼=4×n＼

解析：對于選項A，設n（A）=m，則集合A的子集個數為2m，故n＼=2m，顯然2m=5無非負整數解，故選項A錯誤；

對于選項B，若AB，則集合A的所有子集都是集合B的子集，則有P（A）P（B）成立，故選項B正確.

對于選項C，若A∩B=，則集合A，B的公共子集只能是空集，故P（A）∩P（B）={}，故選項C錯誤；

對于選項D，若n（A）－n（B）=2，不妨設n（A）=m，則n（B）=m－2，則有n＼=2m，n＼=2m－2，顯然n＼=4×n＼成立，故選項D正確.故選：BD.

在創新應用能力的養成過程中，經?？梢郧擅钔ㄟ^設置創新定義、創新運算、創新類型等形式的問題，通過對知識的創新定義與重新組合、對方法的創新應用與類比拓展等方式，不斷滲透創新意識，有效形成學生的創新應用能力與創新品質.

高一新生數學關鍵能力的養成，為后繼高中數學學習以及高考的實戰，學生終生學習、工作與發展等，以及適應時代的創新應用等各方面都是必須的，進而更加有效理解并認識現實世界與現實問題，全面發展學生的數學核心素養與提升數學能力，養成學生良好思維品質，增強創新意識，提升創新應用能力.通過數學教學與學習，合理落實并養成高一新生數學關鍵能力，是數學教學中一個非常重要的環節，要不斷加以深化與促進，為培養高水平、高素養的創新人才奠定條件.