厘清運算對象與法則，探究運算思路和方法

車慧

數學運算是“新課標”中提出的數學六大核心素養之一.因此，數學運算在高考中受到了高度關注，“成也運算，敗也運算”，幾乎成為一種共識.從當下高中數學教學的現狀來看，學生的數學運算能力在整體表現上依然比較“孱弱”，“一聽就懂，一做就錯”的現象普遍存在.采取切實有效的措施，使數學運算素養在課堂教學中落地生根，是一個值得我們高度重視的課題.下面以高考及其模擬試題中的“函數”問題為例，談談筆者的一些認識和體會，供大家參考.

1 弄清運算對象，找準運算方向

數學運算素養是在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的一種素養.對于具體的數學運算，我們要結合運算情境，正確地分析并弄清數學運算對象，深刻認識運算對象的特征，挖掘其內涵，明確運算的方向，以理性思維為基礎，合理地將問題加以變形與轉化，進而通過正確的運算使問題獲得解決.

例1? （2023屆上海市普陀區高考一模數學試題）設b，c均為實數，若函數f（x）=x+bx+c在區間＼.

分析：根據題設條件，結合所求結果中代數式的結構特征，對比最值或取值范圍求解的一般形式，確定運算對象，合理聯系對應的基本不等式的有關知識，通過基本不等式的變形公式的應用來分析與求解，簡捷有效.而涉及分式函數的最值求解問題，則可結合運算對象的確定，直接利用對勾函數的圖象與性質，或借助函數與導數的有關知識，通過合理的運算使問題獲得解決.

解析：由題意，函數f（x）=x+bx+c在區間＼＼

由基本不等式的變形公式，可得（b2+c2）（1+x2）≥（b+cx）2=（－x2）2=x4，當且僅當b1=cx時等號成立，則問題可轉化為b2+c2≥x41+x2在x∈＼12，+∞.

點評：弄清相應的運算對象是解決數學問題的一種最基本的思維方式，只有弄清了運算對象，才能知道怎么處理運算對象，運算才有方向感.在本例的求解過程中，根據問題的條件和目標，分析它們之間的聯系，根據運算對象的結構特征，合理地聯想由基本不等式引申變形而得到的公式（柯西不等式）及其成立的條件，通過運算實現問題的轉化，找準運算的方向，再通過相應的數學運算獲得了結果，問題迎刃而解.

2 理解運算法則，明晰運算依據

數學運算是在一定的法則下進行的，理解數學運算的法則，明晰數學運算的理論依據，是數學運算得以順利實施、取得正確結果的基本保證.解決數學問題，在弄清了運算對象以后，緊接著就要思考“需要進行哪種數學運算？相應的運算法則是什么？”在正確認識和理解相應的運算法則的基礎上，確定運算思路和途徑，進行科學合理的數學運算，為問題的解決開拓出一個全新的局面.

例2? （2023年全國乙卷＼516）設a∈（0，1），若函數f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是.

分析：原問題等價于f′（x）=axln a+（1+a）x＼5ln （1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，據此將所得的不等式進行恒等變形，可得1+aax≥－ln aln （1+a），由左側函數的單調性可得實數a的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數a的取值范圍.

解析：根據題設條件，可得f′（x）=axln a+（1+a）xln （1+a）≥0在區間（0，+∞）上恒成立，則

（1+a）xln （1+a）≥－axln a，即1+aax≥－ln aln （1+a）在區間（0，+∞）上恒成立.由a∈（0，1），得y=1+aax為增函數，故1+aa0=1≥－ln aln （1+a）.而a+1∈（1，2），則ln （a+1）≥－ln a，0

點評：理解數學運算的法則，明晰數學運算的依據，是讓運算能夠沿著既定的方向順利進行的有力保證，對于解決一些與函數、方程和不等式有關的問題有著獨特的功效.這里借助導數將函數的單調性問題轉化為不等式恒成立，再借助參變分離的方法，利用指數和對數的運算法則巧妙地求出a的范圍，使問題獲解.

3 選擇運算思路，設計運算程序

解決數學問題，一項十分重要的工作就是結合題目中的條件與結論的分析，通過理性思維打通條件向結論轉化的途徑，找到解題的思路，在明晰算理的基礎上設計出運算的程序.結合問題的具體情境和基本特征，選擇恰當的運算思路，設計合理的運算程序，算思結合，以思助算，無疑會對提高運算的效率、提升學生的思維品質起到很好的促進作用.

例3? ?（2023年浙江·統考一模）設函數y=f（x）的定義域為R，且f（x+1）為偶函數，f（x－1）為奇函數，當x∈［－1，1］時，f（x）=1－x2，則∑2023k=1f（k）=.

分析：根據題設條件，將抽象函數的奇偶性進行等價轉化，通過函數基本性質的確定，探究運算思路，為問題的求解打開局面.

解析：因為函數y=f（x）的定義域為R，且f（x+1）為偶函數，f（x－1）為奇函數，則

f（1－x）=f（1+x），f（－x－1）=－f（x－1），所以，函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，也關于點（－1，0）對稱.所以，f（－x）=f（x+2），f（－x）=－f（x－2）.所以f（x+2）=－f（x－2），則f（x+8）=－f（x+4）=f（x）.由此可知，函數y=f（x）是以8為周期的周期函數.

由題意，當x∈［－1，1］時，f（x）=1－x2，則f（1）=0，f（7）=f（－1）=0，f（8）=f（0）=1.

所以f（2）=f（0）=1，f（3）=f（－1）=0，f（4）=－f（－6）=－f（2）=－1，f（5）=f（－3）=－f（1）=0，

f（6）=－f（－8）=－f（0）=－1.

所以∑8k=1f（k）=0+1+0－1+0－1+0+1=0.

又2 023=8×253－1，故∑2023k=1f（k）=253∑8k=1f（k）－f（8）=0－1=－1.

點評：這里，基于函數的奇偶性、對稱性、周期性之間關系的視角去分析函數的求值問題，將函數的奇偶性等價轉換為函數的周期性，運算思路的選擇和運算程序的設計，溝通了題目的條件和結論之間的聯系，實現了問題的轉化，使問題獲得簡捷巧妙的解決.

4 感悟運算方法，提升運算技能

培養學生的數學運算素養，不僅要讓學生弄清運算對象、理解運算法則，使學生學會選擇運算思路、設計運算程序，更要讓學生掌握運算方法，提升運算技能.一個數學問題的解決，往往有多種方法，教學中，要注意指導學生通過觀察、分析和比較，從這些方法中選取運算步驟少、變形簡便、運算量小的最佳方法，使得解題運算科學合理、省時省力.

例題略.

“數學運算”并不是簡單的數學計算，“數學運算”主要是對運算對象、運算法則、運算思路、運算方法等方面的理解、掌握、探究和選擇，因此，提升學生的“數學運算”核心素養顯得尤為重要.為促進學生“數學運算”核心素養的提高，倡導教師：（1）講授新課時，應該將概念講清楚，講透徹，加強概念教學，注重概念的引入，分析概念的含義，了解概念的本質，掌握概念的內涵與外延，從多角度入手，加深學生對概念的理解.讓學生能在概念與概念間建立聯系.（2）講授習題課時，將習題所涉及到的知識點，思想方法講清楚，講明白，幫助學生對相關知識制作思維導圖，使零散的知識點建立起直觀的聯系.（3）復習課不要盲目刷題，多變式教學，一題多解.打破機械、套路、思維定式的答題思路，提升“數學運算”核心素養，維持關聯結構水平并向拓展結構水平邁進.