巧思維切入，妙方法破解

劉晨玉

雙變元代數式的最值（最大值或最小值）或取值范圍問題，是天津高考試卷中一副不變的熟悉“面孔”，創新新穎，?？汲Ｐ?破解此類問題，結合雙變元代數式的基本特征，借助基本不等式思維、函數或方程思維、導數思維或其他重要不等式思維等加以切入與破解，合理融合基本不等式、函數與方程、導數等相關數學知識與數學思想方法，巧妙處理，正確破解.

1 真題呈現

高考真題? （2021年高考數學天津卷第13題）已知a>0，b>0，則1a+ab2+b的最小值為.

2 真題剖析

此題以兩個正參數所對應的代數式為問題背景，進而確定對應代數式的最值問題.題目代數關系式中兩參數之間沒有明顯的線性聯系，又不具有明顯的對稱性，剖析兩參數之間的次數、加減與乘積等方面的關系，為進一步破解問題提供條件.

結合所求解的代數關系式的特征，合理配湊，巧妙拆分，整體設參，正確構建等，借助基本不等式思維、其他重要不等式思維、函數或方程思維、導數思維等，合理轉化，巧妙變換，進而得以確定相應的代數式的最值問題.

3 真題破解

思維視角一：不等式思維.

方法1：兩步基本不等式法1.

解析：由于a>0，b>0，利用基本不等式，可得1a+ab2+b≥21a×ab2+b=2b+b≥22b×b=22，當且僅當1a=ab2，且2b=b，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據所求代數式的基本特征，利用基本不等式，分兩步來處理，第一步先消去參數a，結合代數式的變形與轉化再進行第二步消參數b，進而得以確定代數式的最值.抓住代數式的基本特征，合理分步，巧妙借助基本不等式兩步走，合理消參，確定最值.

方法2：兩步基本不等式法2.

解析：由于a>0，b>0，利用基本不等式，可得1a+ab2+b=1a+b2+ab2+b2≥21a×b2+2ab2×b2=2b2a+2a2b=2ba+2ab≥22ba×2ab=22，當且僅當1a=b2，ab2=b2，且2ba=2ab，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據所求代數式的基本特征，巧妙配湊，合理分拆，借助合理的分配與組合，分別利用基本不等式，變形轉化后再次利用基本不等式來處理，進而得以確定代數式的最值.抓住代數式的基本特征，合理分拆與分步，巧妙借助基本不等式，保留參數，巧妙兩步走，確定最值.

方法3：均值不等式法.

解析：由于a>0，b>0，由均值不等式可得1a+ab2+b=1a+ab2+b2+b2≥441a×ab2×b2×b2=22，當且僅當1a=ab2=b2，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據所求代數式的基本特征，巧妙配湊，合理分拆，利用代數式進行巧妙平均拆分處理，結合拆分后所對應的代數關系式，巧妙利用四次均值不等式，進而得以確定對應代數式的最值問題.抓住代數式的基本特征，巧妙配湊，合理分拆，巧妙借助均值不等式，直接確定最值.

思維視角二：方程思維.

方法4：待定系數法.

解析：由于a>0，b>0，令1a+ab2+b=t>0，變形整理，可得a2+（b3-tb2）a+b2=0.

要使得關于參數a的二次方程有正數解，則需滿足b3-tb2<0且Δ=（b3-tb2）2-4b2≥0.

整理，可得b3-tb2<0且（b3-tb2）2≥4b2.

又b＞0，則b3-tb2≤-2b，即t≥b+2b.

利用基本不等式，可得t≥b+2b≥2b×2b=22，當且僅當b=2b，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：根據所求代數式進行待定系數法處理，將問題方程化，結合關于參數a的二次方程有正數解，建立對應的不等式，分離參數，利用基本不等式來確定參數t的最小值，進而得以求解代數式的最值問題.引入參數進行待定系數法處理，結合方程思維，利用不等式的求解以及基本不等式的應用來巧妙破解.

思維視角三：導數思維.

方法5：導數法.

解析：由于a>0，b>0，構造函數f（a）=1a+ab2+b.

求導，可得f′（a）=-1a2+1b2=a2-b2a2b2=（a+b）（a-b）a2b2.

當a＞b時，f′（a）＞0，f（a）單調遞增；

當a＜b時，f′（a）＜0，f（a）單調遞增.

故f（a）在（0，b）上單調遞減，在（b，+∞）上單調遞增.

令f′（a）=0，可得a=b，此時f（a）≥1b+bb2+b=2b+b≥22b×b=22，當且僅當2b=b，即a=b=2時，等號成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點評：通過構造函數，結合相應函數的求導運算，利用導函數的零點確定函數的最值，進而確定此時對應的最值關系式，利用基本不等式確定相應的最值問題.導數法處理代數式的最值問題，是破解此類最值問題常見的思維方式，導數思維是解決函數最值問題的基本思維方法之一.

4 教學啟示

破解雙變量或多變量代數式的最值問題，結合代數式的特征，合理借助不等式思維、函數與方程或導數思維等，合理配湊，巧妙拆分，整體設參，正確構建，利用不同的思維方式加以分析與破解.

（1）首選不等式思維

破解雙變量或多變量關系條件下的代數式最值問題，關鍵是借助已知條件中的關系式，合理恒等變形，巧妙運算轉化，結合不等式思維，特別是基本不等式以及不等式性質等加以合理轉化與處理，進而直接確定對應代數式的最值問題.

（2）函數與方程或導數思維

函數與方程思維或導數思維，也是破解雙變量或多變量關系條件下代數式最值問題的基本思維方式.通過函數與方程思維加以轉化，或利用函數思維，結合函數的圖象與性質進行求解；或利用方程思維，結合判別式的應用加以處理；或利用導數思維，通過求導來確定單調性、極值與最值等來分析與處理.

（3）拓展思維，形成能力

對于此類問題，要合理挖掘其豐富內涵，不斷探究反思，舉一反三，靈活變通，學會變式拓展，探究提升，真正達到融會貫通.從數學知識、數學思想方法與數學能力等層面融合，形成數學知識體系，轉變為數學能力，有效應用于相應的數學解題中，真正形成良好的數學品質，有效提高數學能力，培養數學核心素養.