2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷第11題的巧思妙變

申光鵬

摘要：涉及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，一直是高考中比較常見的基本考點之一.結(jié)合一道高考真題，借助圓方程的場景創(chuàng)設(shè)，通過不同思維視角來確定一次代數(shù)式的最值，多思維層面切入，多技巧視角應(yīng)用，探究破解問題的思路與變式拓展，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：實數(shù)；直線；圓；距離；方程

直線與圓是平面解析幾何中兩類最簡單的基本圖形，又是初中平面幾何中的基本圖形之一.直線與圓之間的位置關(guān)系問題，有效鏈接起初中與高中的相關(guān)知識，同時又涵蓋函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識與基本數(shù)學(xué)思想等，備受各方關(guān)注.

特別地，涉及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題中，有其自身的代數(shù)屬性，又有其內(nèi)涵的幾何特征，實現(xiàn)高考“在知識交匯點處”設(shè)計命題的指導(dǎo)精神，同時使得問題的破解思維與技巧策略更加多樣創(chuàng)新，一直是各級各類考試的必考內(nèi)容和熱點內(nèi)容之一.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題? （2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷文科·11）已知實數(shù)x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，則x－y的最大值是（? ）.

A.1+322

B.4

C.1+32

D.7

此題以雙變量所滿足的二元二次方程是一個圓方程來合理創(chuàng)設(shè)問題場景，結(jié)合雙變量所對應(yīng)的一次線性代數(shù)式的最值求解來設(shè)置問題，是平面解析幾何直線與圓的位置關(guān)系模塊中比較常見的一類問題，有其特殊的代數(shù)屬性與幾何內(nèi)涵.

在實際解決此類問題時，可以借助解析幾何思維，從直線與圓的位置關(guān)系入手，或轉(zhuǎn)化為幾何圖形的位置關(guān)系來處理，或利用參數(shù)方程達(dá)到目的；也可以借助函數(shù)與方程思維，合理引入?yún)?shù)，將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的一元二次方程問題，利用判別式達(dá)到目的.思維視角切入多樣，解題技巧方法紛呈.

2 真題破解

2.1 解析幾何思維

解法1：距離轉(zhuǎn)化法.

由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得（x－2）2+（y－1）2=9，則其幾何意義是以C（2，1）為圓心，半徑為3的圓

.

設(shè)x－y=k，則圓心C（2，1）到直線x－y=k的距離d=|2－1－k|1+1=|1－k|2≤r=3，即|k－1|≤32，解得1－32≤k≤1+32.

所以x－y的最大值是1+32.故選答案：C.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件中二元二次方程與所求一次代數(shù)式的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，借助直線與圓有公共點，通過圓心到直線的距離小于等于半徑來構(gòu)建對應(yīng)的不等式，進(jìn)而得以確定所求一次代數(shù)式的最值（或取值范圍）.挖掘方程或代數(shù)式的幾何意義，由“數(shù)”轉(zhuǎn)“形”，是解決問題的關(guān)鍵所在.

解法2：三角換元法.

由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得（x－2）2+（y－1）2=9，則其幾何意義是以C（2，1）為圓心，半徑為3的圓.設(shè)x=2+3cos ，y=1+3sin ，∈＼則有x－y=3cos －3sin +1=32cos+π4+1≤32+1，當(dāng)且僅當(dāng)cos+π4=1，即+π4=2π，亦即=7π4時，等號成立.

所以x－y的最大值是1+32.故選答案：C.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件中二元二次方程所對應(yīng)的幾何意義，借助三角參數(shù)方程的構(gòu)建，合理進(jìn)行三角換元處理，進(jìn)而將所求一次代數(shù)式表示為三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合三角恒等變換構(gòu)建對應(yīng)的正弦型（或余弦型）函數(shù)，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定最值（或取值范圍）.利用參數(shù)方程進(jìn)行三角換元處理，為問題的進(jìn)一步分析與解決奠定基礎(chǔ).

2.2 方程思維

解法3：判別式法.

設(shè)x－y=k，則x=y+k，代入x2+y2－4x－2y－4=0，整理可得2y2+（2k－6）y+k2－4k－4=0.

由于以上關(guān)于y的二次方程有實數(shù)根，則判別式Δ=（2k－6）2－4×2（k2－4k－4）≥0.

整理，可得k2－2k－17≤0.

解得1－32≤k≤1+32.

所以x－y的最大值是1+32.故選：C.

解后反思：根據(jù)所求一次代數(shù)式進(jìn)行整體換元引入?yún)?shù)，代入題設(shè)條件中的二元二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為相關(guān)的一元二次方程問題，借助一元二次方程有實數(shù)根，通過判別式滿足的條件構(gòu)建不等式，利用解不等式來求解最值（或取值范圍）.利用整體思維引入?yún)?shù)，合理消參轉(zhuǎn)化為相關(guān)的一元二次方程，為進(jìn)一步利用判別式法構(gòu)建不等式打下基礎(chǔ).

3 變式拓展

3.1 同階變形

基于高考真題，就一次代數(shù)式的最值（最小值或最大值）、取值范圍等來加以合理變式與應(yīng)用.

變式1? 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，則x－y的最小值為.

變式2? 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，則x－y的取值范圍為.

變式1，2的答案分別為：1－32，＼

以上兩個變式的解題過程，可以直接參照上述高考真題中的解析.

3.2 中階變形

基于高考真題，合理改變一次代數(shù)式的系數(shù)，也可以對其相應(yīng)的代數(shù)式的最值（最小值或最大值）、取值范圍等問題加以變式與應(yīng)用.

變式3? 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，則3x－4y的最大值為.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0配方，可得到（x－2）2+（y－1）2=9，則其幾何意義是以（2，1）為圓心，半徑為3的圓.

設(shè)x=2+3cos ，y=1+3sin ，∈＼則3x－4y=9cos －12sin +2=15cos （+φ）+2≤15+2=17，其中tan φ=43，當(dāng)且僅當(dāng)cos （+φ）=1時，等號成立，所以3x－4y的最大值是17.

故填答案：17.

3.3 高階變形

基于高考真題，改變所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，化一次代數(shù)式為相應(yīng)的一次分式、二次根式等問題，進(jìn)而求解其對應(yīng)的最值（最小值或最大值）、取值范圍等，合理變式與應(yīng)用.

變式4? 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，則y－1x+3的最大值為.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得到（x－2）2+（y－1）2=9，則其幾何意義是以（2，1）為圓心，半徑為3的圓.

設(shè)y－1x+3=k，則圓心C（2，1）到直線kx－y+3k+1=0的距離d=|2k－1+3k+1|k2+1=|5k|k2+1≤r=3，即16k2≤9，解得－34≤k≤34.

所以y－1x+3的最大值是34.故填答案：34.

變式5? 已知實數(shù)x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，則（x+2）2+（y－4）2的最大值為.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0配方可得到（x－2）2+（y－1）2=9，則

其幾何意義是以C（2，1）為圓心，半徑為3的圓.

而代數(shù)式（x+2）2+（y－4）2的幾何意義是圓上的點到定點P（－2，4）的距離，由于|PC|=（2+2）2+（1－4）2=5，所以（x+2）2+（y－4）2的最大值為|PC|+r=5+3=8.故填答案：8.

以上的變式4中所求的代數(shù)式y(tǒng)－1x+3的幾何意義是圓上的點與定點（－3，1）的連線的斜率，變式5中所求的代數(shù)式（x+2）2+（y－4）2的幾何意義是圓上的點與定點（－2，4）的距離，都有其特殊的圖形結(jié)構(gòu)內(nèi)涵與實質(zhì).當(dāng)然也可以求解變式4、變式5中對應(yīng)的代數(shù)式的最小值或取值范圍等.

4 教學(xué)啟示

4.1 合理交匯，巧妙應(yīng)用

借助直線與圓的位置關(guān)系，以“數(shù)”與“形”的巧妙融合，滲透“動”與“靜”的和諧統(tǒng)一，可以從代數(shù)思維切入進(jìn)行合理數(shù)學(xué)運(yùn)算，也可以從幾何思維切入進(jìn)行邏輯推理，實現(xiàn)不同知識點之間的合理交匯與融合，達(dá)到知識、能力的綜合與應(yīng)用的目的，從而使得學(xué)生的解題思維更加活躍，解題思路更加開闊，數(shù)學(xué)知識的掌握更加熟練，問題的破解更加快速有效.

4.2 變式拓展，“一題多變”

通過對問題本質(zhì)屬性的合理挖掘，全面開拓數(shù)學(xué)思維，巧妙整合數(shù)學(xué)知識，結(jié)合“一題多解”“一題多思”“一題多變”等探究與應(yīng)用，實現(xiàn)“一題多得”.基于典型問題的應(yīng)用，解決并處理一系列的典型數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)發(fā)散思維能力與數(shù)學(xué)解題能力，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性和趣味性，從而全面提高學(xué)生的知識水平和思維能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).