多向思維，多種方法，多類拓展

丘建旺

課題信息：福建省石獅市教育科學“十四五”規劃（第一批）研究課題“高中數學結構不良型提問預設與生成的優化研究”，課題編號為SGC21-32.

有關多變元代數式（特別是雙變元）的最值（或取值范圍）問題，是高考、競賽等數學試卷中比較常見的一類題型.此類問題常以函數或方程的形式出現，巧妙融合函數與方程、不等式等基本知識，常考常新，變化多端，難度中等及偏上，具有較好的選拔性與區分度，同時又有一定的技巧方法，是很好考查學生數學基礎知識、思想方法與能力的一類創新綜合性問題，備受關注.

1 問題呈現

問題? 設a>0，b>0，且2a+b=1，則1a+2aa+b（? ）.

A.有最小值為4

B.有最小值為22+1

C.有最小值為143

D.無最小值

此題以雙變元所滿足的方程為背景條件，結合分式代數式來確定對應的最值問題.具體破解時，關鍵是結合題設條件中相應雙變元代數式的結構特征，合理聯想與巧妙轉化，綜合邏輯推理與數學運算，并結合相關的知識等，利用代換法、消參法、判別式法以及導數法等常見的基本技巧與方法加以切入與破解.

2 問題破解

思維視角一：基本不等式思維.

解法1：常數代換法.

由于a>0，b>0，且2a+b=1，則有1a+2aa+b=2a+ba+2aa+b=1+a+ba+2aa+b≥1+2a+ba×2aa+b=1+22，當且僅當a+ba=2aa+b，即a=2－1，b=3－22時，等號成立.

所以1a+2aa+b有最小值為22+1.故選答案：B.

點評：根據題目條件，通過常數“1”的代換，借助所求關系式的恒等變形與轉化，利用基本不等式的條件合理配湊，并通過基本不等式來放縮處理.常數“1”的巧妙代入以及關系式的配湊，是破解此類問題的關鍵所在，也是利用基本不等式確定最值的常用技巧.

解法2：消參法1.

由a>0，b>0，且2a+b=1，可得b=1－2a>0，解得0

根據基本不等式，可得1a+2aa+b=1a+2aa+1－2a=1a+2a1－a=1a+－2（1－a）+21－a=1a+21－a－2=1a+21－a［a+（1－a）］－2=3+1－aa+2a1－a－2≥1+21－aa×2a1－a=1+22，當且僅當1－aa=2a1－a，即a=2－1，b=3－22時，等號成立.

所以1a+2aa+b有最小值為22+1.故選答案：B.

點評：結合題目條件，合理轉化，代入所求的代數關系式進行消參處理，進而結合關系式的恒等變形與合理配湊，利用基本不等式來合理放縮應用，進而確定相應代數式的最值.結合條件合理轉化，巧妙消參，將雙變量代數式問題轉化為單變量代數式問題，合理配湊，利用基本不等式來確定最值.

解法3：消參法2.

由a>0，b>0，且2a+b=1，可得b=1－2a>0，解得0

所以1a+2aa+b有最小值為22+1.故選答案：B.

點評：結合題目條件，合理轉化，代入所求的關系式，通過代數關系式的恒等變形與巧妙轉化，綜合基本不等式的應用條件并通過基本不等式來合理放縮處理.借助基本不等式時的合理配湊，形式多樣，變化多端，注意配湊的目的就是使對應的代數式的積為定值，方便利用基本不等式來確定最值.

思維視角二：方程思維.

解法4：判別式法.

由a>0，b>0，且2a+b=1，可得b=1－2a>0，解得0

設t=1a+2aa+b=1a+2aa+1－2a=1a+2a1－a，整理可得（t+2）a2－（t+1）a+1=0，則知關于a的二次方程有正實根，其判別式Δ=（t+1）2－4（t+2）≥0，解得t≤1－22（舍去），或t≥1+22.

故1a+2aa+b有最小值為22+1，當且僅當a=2－1，b=3－22時，等號成立.

故選答案：B.

點評：根據題目條件，合理轉化，代入所求的關系式進行合理消參，巧妙將所求代數式進行整體化處理，進而加以變形轉化為二次方程問題.利用方程的判別式法來構建對應的不等式，借助不等式的求解來達到求解最值的目的.構建對應的方程，借助方程思維，通過判別式建立相關的二次不等式，為進一步確定最值提供條件.

思維視角三：函數思維.

解法5：導數法.

由a>0，b>0，且2a+b=1，可得b=1－2a>0，解得0

構建函數f（a）=1a+2aa+b=1a+2aa+1－2a=1a+2a1－a，求導可得f′（a）=－1a2+2（1－a）2.令f′（a）=0，解得a=2－1.

所以函數f（a）在（0，2－1）上單調遞減，在2－1，12上單調遞增.

因此f（a）min=f（2－1）=1+22，所以1a+2aa+b有最小值為22+1，當且僅當a=2－1，b=3－22時，等號成立.

故選答案：B.

點評：根據題目條件，合理轉化，代入所求的代數關系式進行消參處理，構建函數，通過求導處理，結合導函數的零點以及函數單調性確定函數的最小值，從而求解相應的最值問題.構建對應的函數，借助函數思維，通過求導處理確定函數的單調性來求解對應代數式的最值問題，是破解一些涉及函數問題的常用技巧方法.

3 變式拓展

保留題目條件，改變原來以選擇題形式出現的判斷問題為以填空題形式出現的最值題，得到以下更加直接的變式問題.

變式1? 設a>0，b>0，且2a+b=1，則1a+2aa+b的最小值為.（

答案：22+1.）

保留題目條件，改變所求代數關系式中的系數，使得結果更加簡捷，可以得到以下相應的變式問題.

變式2? 設a>0，b>0，且2a+b=1，則1a+4aa+b的最小值為.（答案：5.）

當然，變式2中，隨著所求代數關系式中系數的適當改變與合理應用，可以得到更多與之相關的變式問題.

4 解后反思

（1）總結方法技巧及其破解策略，形成思維習慣

基于以上問題的分析與解決，我們知道解決此類和定或積定背景下雙變元代數式的最值（或取值范圍）問題，經常可以通過基本不等式思維、方程思維以及函數思維等來分析與處理，這也是解決此類問題中最為常用的基本思維方式.抓住題設條件中代數式的結構特征，合理選用相應的思維方法，結合與之對應的技巧方法來分析與解決，合理放縮處理，巧妙變形轉化，形成解決此類問題的思維習慣.

（2）提升解題技巧及其基本能力，培養學科素養

在實際解決一些數學問題時，要從具體問題入手，從問題背景中展開，挖掘問題的內涵與實質，借助“一題多解”與“一題多思”“一題多用”等方式，深入研究，可以適度展開“一題多變”“多題一解”以及“多類一法”等的應用，從本質上歸納并總結解決相關問題的技巧與方法.

合理根據問題的類型與應用，科學總結解題技巧與策略方法，從而不斷提升解題能力，學會舉一反三，巧妙融會貫通，全面提升數學能力，培養數學學科核心素養.