前沿熱點，高考前線——創設情境問題

包旭苗 韓俊

隨著教育部考試中心關于《中國高考評價體系》（2020年1月）的發布，新高考進一步切實落實高考的“立德樹人、服務選才、引導教學”核心功能，為高考各學科命制試題提供了標準與依據，合理指明高考改革的路線與方向.借助指導思想，通過合理創設課程學習情境、探索創新情境和生活實踐情境等來實現高考評價，讓學生在真實的創新與應用情境中，身臨其境，合理抽象，數學建模，進而運用數學基礎知識和關鍵能力來分析、處理與解決相關的情境應用問題，全面培養數學學科的核心素養，深化對中學教學改革的積極導向作用.下面結合2021年高考數學試卷，就試卷中的前沿熱點，結合創新情境的創設類型加以實例剖析.

1 課程學習情境

創設課程學習情境是新高考數學命題中的一大基本點，其主要在基礎性、創新性層面上考查“四層”的相關內容.此類問題所選取的情境材料源于學生自身的數學課程學習過程，來自數學基礎知識、數學思想或方法等，形成知識關聯、方法類比等.

例1? （2021·新高考Ⅱ卷·18）在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若b=a+1，c=a+2.

（1）若2sin C=3sin A，求△ABC的面積.

（2）是否存在正整數a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

分析：（1）通過題目條件中角的正弦值的關系式，結合正弦定理加以轉化，進而確定邊長；利用余弦定理以及平方關系來確定一內角的正弦值，結合三角形的面積公式加以求解.（2）根據條件確定三邊長的大小關系，進而確定最大邊以及對應的最大角；通過余弦定理確定對應的余弦值，借助解不等式來確定對應邊的取值范圍，綜合邊的取值限制以及三角形的性質建立不等式來處理，進而確定正整數的存在性問題.

解析：（1）由2sin C=3sin A，根據正弦定理可得2c=3a，結合c=a+2，可解得a=4，c=6，則b=a+1=5.

利用余弦定理有cos C=a2+b2－c22ab=18，則有sin C=1－cos2C=378.

所以△ABC的面積S△ABC=12absin C=1574.

（2）由b=a+1，c=a+2，可知c>b>a，要使得△ABC為鈍角三角形，則只需角C為鈍角.

利用余弦定理，可得cos C=a2+b2－c22ab=a2+（a+1）2－（a+2）22a（a+1）<0，整理得（a-3）（a+1）2a（a+1）

<0，

結合題目條件可得0a+2，則1

所以存在正整數a=2，使得△ABC為鈍角三角形.

點評：此題所選取的情境材料直接源于解三形形中“正弦定理和余弦定理”的學習，所依托的知識與方法都屬于回憶性再現，因而所創設的試題情境屬于學習再現情境，設計具有開放性，“存在問題”有序開放，體現數學學科的基礎性，并充分考查數學運算與邏輯推理等學科素養與關鍵能力，以及正弦定理、余弦定理和三角恒等變換等必備知識.

2 探索創新情境

創設探索創新情境是新高考數學命題中的一大創新與亮點，主要在綜合性、創新性層面上考查“四層”的相關內容.此類問題所選取的情境材料源于學生的生活體驗以及各學科的知識儲備等，依賴相應知識與經驗等的整體性把握、相關表述的等價性化歸與轉化，以及相關思想與方法的即景性類比與聯想等，或遷移，或類比，合理探究，創新應用.

例2? （2021·新高考Ⅰ卷·8）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（? ）.

A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立

分析：利用事件相互獨立的一般定義，結合概率的運算來驗證公式P（AB）=P（A）P（B）是否成立，進而判斷兩個事件之間的相互獨立關系.

解析：由題意可知，從中有放回地隨機取兩次的所有可能結果為6×6=36種.

兩點數和為8的所有可能結果為（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共有5種.

兩點數和為7的所有可能結果為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），共有6種.

所以P（甲）=16，P（乙）=16，P（丙）=536，P（丁）=636=16.

選項A中，P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）；

選項B中，P（甲丁）=136=P（甲）P（丁）；

選項C中，P（乙丙）=136≠P（乙）P（丙）；

選項D中，P（丙丁）=0≠P（丙）P（丁）.

綜上分析，甲與丁相互獨立.故選答案：B.

點評：此題所選取的情境材料直接源于“概率”章節中“事件的相互獨立性”的學習，材料所蘊含的知識源于學生已有的生活體驗，用概率解題卻源于學生的學習儲備，進行合理的探索與創新.依賴創新情境的創設與應用，抓住定義來處理，吻合題設要求，也是破解此類問題比較常見的一類基本思維方法.

3 生活實踐情境

創設生活實踐情境是新高考數學命題中的一大應用點，主要在考查“四層”的相關內容中加以基礎性、綜合性的交匯，同時進一步提升到應用性、創新性等層面上，合理解決社會生活現象，堅定數學的有用性與價值認同.此類問題所選取的情境材料通常源于學生自身的社會生活經歷，綜合學習的數學知識、思想、方法等，通過數學模型的構建與應用，對實際問題的合理解釋以及為實際問題的解決提供決策依據.

例3? （2021·新高考Ⅰ卷·16）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規格為20 dm×12 dm的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240 dm2，對折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2=180 dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為；如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

分析：第一問難度不大，學生多會用窮舉法，借助列舉剖析當中的規格，從而得到對應的結果；第二問利用數列中通項關系式的變形與轉化，合理通過待定系數法進行裂項相消，進而達到數列求和的目的.此方法對數列通項的推理與代數變形的技巧與要求比較高，在平時的教學中可以視學生情況進行選講、拓展.

解析：由題意可得如下結論.

對折1次得到2種規格：10 dm×12 dm，20 dm×6 dm.

對折2次得到3種規格：5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm.

對折3次得到4種規格：5 dm×6 dm，52 dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm×32 dm.

對折4次得到5種規格：20 dm×34 dm，10 dm×32 dm，5 dm×3 dm，52 dm×6 dm，54 dm×12 dm.

猜想對折n次得到n+1種不同規格的圖形，且這n+1個長方形的面積相等，都為240×12n，故面積之和為Sn=（n+1）×240×12n.

又因為n+12n=n+22n－1－n+32n，所以

S=∑nk=1Sk=S1+S2+……+Sn=240320－421+240421－522+……+240n+22n－1－n+32n=2403－n+32n.

故填答案：（1）5；（2）2403－n+32n.

點評：此題所選取的情境材料直接源于實踐課程中“民間剪紙藝術”的學習，材料所蘊含的知識源于學生已有的生活體驗，用列舉法、數列求和法等來解題卻源于學生的學習儲備，故所創設的試題情境屬于生活實踐情境.結合中華優秀傳統文化情境，展現我國古代勞動人民的智慧與創造，樹立民族自豪感和遠大理想，在高考數學試卷中備受關注.

歷年高考數學試卷都有創新情境問題的出現，結合課程學習、探索創新、生活實踐等情境，合理創設一些創新真實的數學問題情境，充分體現數學學科的應用與創新價值.

在此層面與基礎上，結合新高考指導精神的逐步落實和新課程改革進程的穩步推進，充分體現高考數學學科層面的基礎性、綜合性、應用性和創新性的“四層”考查要求，合理把握數學基礎知識、數學思想方法等，提升數學品質，培養數學學科素養.