“解幾”背景，“平幾”融合：從一道高考試題談起

張鵬

平面解析幾何綜合問題，經常融入平面幾何背景，是基于平面幾何知識的進一步提升與拓展，成為高考數學命題中的一個重要場景與應用.在處理此類問題時，經常要合理借助平面幾何的直觀，把握平面解析幾何的實質，進而綜合分析與解決問題.同時，此類問題也很好地兼顧了高考數學試題的基礎性、綜合性、創新型和綜合性，以及試題間的層次性，合理調控綜合程度.

1 真題呈現

高考真題? 〔2021年高考數學全國甲卷理科第15題（文科第16題）〕已知F1，F2為橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為.

2 真題剖析

該題以橢圓為問題背景，結合點的對稱、線段的長度關系以及矩形的確定，進而求解對應四邊形的面積，巧妙地將平面幾何與平面解析幾何知識加以合理交匯與融合，合理串聯起“數”與“形”的聯系，數形結合，直觀想象.

破解問題的關鍵是根據條件，通過確定平面四邊形的形狀，借助橢圓的定義、解直角三角形、坐標處理或焦半徑公式等，破解思維多變，技巧方法多樣.具體破解時，“數”與“形”相互轉化、相互協作，可代數運算，可數形結合，更加直觀形象地破解問題.

3 真題破解

上述高考真題解法如下.

解法1：橢圓定義法.

由橢圓C：x216+y24=1，可得a=4，b=2.

依題目條件可知，四邊形PF1QF2為矩形.

設|PF1|=m，|PF2|=n，利用橢圓定義可得m+n=2a=8，則m2+2mn+n2=64.

又結合矩形的性質，可得m2+n2=|F1F2|2=4c2=4（a2－b2）=48，則mn=8.

故所求四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|=mn=8.故填答案：8.

點評：圓錐曲線的定義及其應用，是解決圓錐曲線的綜合應用問題中比較常用的基本知識點之一.本解題方法的關鍵就是抓住橢圓的定義來分析與應用，為解決其他應用問題奠定條件.這也是實現定義先行的根本策略.抓住定義，從定義視角入手，由此來構建相應的關系式，為問題的進一步分析與求解建立基礎，也是綜合應用問題的基石.

解法2：解直角三角形法.

由橢圓C：x216+y24=1，可得a=4，b=2，則c=23.

依題目條件可知，四邊形PF1QF2為矩形.

如圖1所示，設∠PF1F2=α，則在Rt△F1PF2中，|PF1|=2ccos α，|PF2|=2csin α.

結合橢圓的定義，可得|PF1|+|PF2|=2c（cos α+sin α）=2a，則有cos α+sin α=ac=23.

所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|=4c2cos αsin α=48×12＼=48×12232－1〗=8.故填答案：8.

點評：利用題目條件先判斷四邊形PF1QF2為矩形，在Rt△F1PF2中設出對應的角，結合已知斜邊確定兩直角邊，通過解直角三角形，并結合橢圓的定義建立所涉角的三角關系式，利用矩形的面積公式以及三角關系式的恒等變形，進而得以求解四邊形的面積.利用解直角三角形的思維解決問題，一直是初中平面幾何中比較常見的思維方式，也是我們平時解決問題的常用技巧.

解法3：坐標法.

由橢圓C：x216+y24=1，可得a=4，b=2，則有c=23.設P（x0，y0），則有

x20+4y20=16.①

因為P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，則|OP|=c=23，可得

x20+y20=12.②

①-②，整理可得y20=43，則有|y0|=23.

根據圖形的對稱性，可得四邊形PF1QF2的面積為2S△PF1F2=2×12|F1F2||y0|=|F1F2||y0|=2×23×23=8.故填答案：8.

點評：設出點P的坐標，其滿足橢圓方程，根據點P的位置關系確定其到坐標原點的距離，進而建立相應的關系式，通過兩式對應的代數運算與化簡，得到點P的縱坐標的絕對值，即對應三角形斜邊上的高，進而利用圖形的對稱性求解四邊形的面積.轉化三角形對應的底邊與高，可以求解任意形狀的三角形的面積，具有一般性.

解法4：焦半徑公式法.

由橢圓C：x216+y24=1，可得a=4，b=2，則有c=23，離心率e=ca=32.

依題目條件可知，四邊形PF1QF2為矩形.

設P（x0，y0），則有

x20+4y20=16.③

因為P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，則|OP|=c=23，可得

x20+y20=12.④

由③④兩式合理變形與轉化，整理可得x20=323.

根據橢圓的焦半徑公式，可得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a－ex0.

所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|=（a+ex0）（a－ex0）=a2－e2x20=16－34×323=8.

故填答案：8.

點評：利用題目條件先判斷四邊形PF1QF2為矩形，設出點P的坐標，其滿足橢圓方程，根據點P的位置關系確定其到坐標原點的距離，進而建立相應的關系式，通過兩式對應的代數運算與化簡，得到點P的橫坐標的值；結合橢圓的焦半徑公式，并利用矩形面積公式建立關系式，代入對應的數值即可求解對應的四邊形面積.焦半徑公式法是處理與圓錐曲線的焦半徑有關的問題的一大常用技巧.

4 變式拓展

根據以上高考真題以及破解過程，可以將問題進行一般化處理，注意條件中線段關系式成立的前提，進而可以得到一般性的結論.

結論：已知F1，F2為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a≥2b>0）的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為2b2.

具體證明過程可以直接參照以上高考真題的破解過程，這里不再贅述.

保留問題的背景，改變問題的設問方式，可以用不同的方式來設置問題，而具體的求解結果保持不變.

變式1? 已知F1，F2為橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且滿足PF1·PF2=0，則四邊形PF1QF2的面積為.

變式2? 已知F1，F2為橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，Q為以坐標原點為圓心，以|F1F2|為直徑的圓與橢圓C的交點，且它們是關于坐標原點對稱的兩點，則四邊形PF1QF2的面積為.

以上兩個變式的答案均為8.具體破解過程與以上高考真題的破解方法類似，這里不多加敘述.

5 解后反思

在解決一些平面解析幾何的綜合問題時，經常從中挖掘相應的平面幾何內涵，抽象出對應的平面幾何性質，通過合理的直觀想象與數形結合，將平面幾何融入到平面解析幾何中去.通過平面幾何的直觀性，可以在一定程度上減少數學運算，優化解題過程，形成“數”與“形”之間的轉化與變形，為問題的快速解答與優化提供更加便捷的途徑，這也是處理平面解析幾何綜合問題中經常采用的方法.

利用平面幾何知識解決平面解析幾何綜合問題，可以減少平面解析幾何的運算量，發散數學思維，有效拓展解題思路，合理利用數形結合與直觀想象，從而優化數學解題過程，提升數學解題能力，培養數學核心素養.