基于新的改進Bouc-Wen 模型的預制RC 橋墩滯回模型研究

徐亞洲，魏克倫，丁艷瓊

(西安建筑科技大學土木工程學院，陜西，西安 710055)

鋼筋混凝土橋墩在強震作用下通常會表現出明顯的強度退化、剛度退化和捏縮效應等非線性滯回特性。建立能夠反映鋼筋混凝土橋墩滯回特性的非線性滯回模型，是準確、有效地預測其在強震作用下地震響應的基礎[1]。

目前，研究人員已經提出了多種可以用來模擬非線性滯回性能的滯回模型。根據光滑程度，這些滯回模型可以分為折線型滯回模型和光滑型滯回模型[2]。折線型滯回模型采用線段直觀描述滯回曲線的加卸載規律，如Clough 模型[3]、Takeda模型[4]等。折線型滯回模型雖然相對簡單，但是存在剛度變化不連續、程序實現不方便等缺點。相比之下，光滑型滯回模型的剛度變化連續且易于程序化[2]。BOUC[5]首先提出了用微分形式的數學模型來模擬滯回非線性系統，即Bouc 模型，但該模型不能考慮強度退化、剛度退化和捏縮效應。WEN[6]通過對原有的Bouc 模型進行改進，建立了用于結構隨機振動分析的光滑型滯回模型，稱為Bouc-Wen 模型。BABER 和WEN[7]通過引入剛度退化和強度退化參數改進了Bouc-Wen 模型，其中剛度退化和強度退化參數通過累積滯回耗能準則定義，并廣泛應用于磁流變阻尼器[8]、消能減震結構[9]、阻尼耗能支撐[10]等。該模型雖然可以考慮剛度和強度的退化，但是不能模擬捏縮效應。

鑒于此，BABER 和NOORI[11]以考慮剛度、強度退化的Bouc-Wen 模型為基礎，通過構建含有6 個參數的“捏縮效應”函數提出了改進Bouc-Wen 模型，稱為Bouc-Wen-Baber-Noori(BWBN)模型。該模型能綜合考慮非線性系統的滯回性能，包括強度退化、剛度退化和捏縮效應等。余波等[12]采用BWBN 模型，結合微分進化算法研究了鋼筋混凝土柱的恢復力模型。韓強等[13]運用無跡卡爾曼濾波(UKF)對BWBN 模型進行參數識別，建立了鋼筋混凝土橋墩的滯回模型。郭秀秀等[14]基于BWBN 模型建立了木排架結構的恢復力模型，并以此為基礎研究了木排架結構在強震作用下的地震響應。上述研究成果表明：BWBN 模型已廣泛應用于非線性系統的滯回性能模擬。但是BWBN模型也存在函數復雜、參數太多的問題，導致其計算效率較低。因此，有必要在Bouc-wen 模型的基礎上，提出一種計算效率更高的光滑型滯回模型。

本文基于近似狄拉克δ函數構建更簡單、高效的“捏縮效應”函數，進而提出了一種新的改進Bouc-Wen(MBW)模型。與BWBN 模型相比，MBW模型需要識別的參數更少。本文基于預制RC 橋墩的擬靜力試驗數據，利用MATLAB 遺傳算法工具箱對BWBN 模型和MBW 模型進行參數識別。結果表明：本文提出的MBW 模型能夠很好地模擬預制RC 橋墩在往復荷載作用下的滯回性能，并具有更高的計算精度。

1 Bouc-Wen-Baber-Noori 模型

Bouc-Wen-Baber-Noori(BWBN)模型是以考慮剛度、強度退化的Bouc-Wen 模型為基礎，通過構建含有6 個參數的“捏縮效應”函數來實現捏縮效應。BWBN 模型可以較好模擬鋼筋混凝土結構的滯回性能，包括強度退化、剛度退化和捏縮效應等[15-19]。

基于BWBN 模型，預制RC 橋墩的恢復力可以表示為：

式中：F(u,z)為橋墩恢復力；k0為初始線彈性剛度； α為屈服后剛度比；u為橋墩頂部位移；z為滯回位移。

橋墩頂部位移u與滯回位移z之間的關系為：

式中：A、 β 、 γ和n為控制滯回曲線形狀的模型參數； δη和 δν分別為控制滯回曲線剛度退化和強度退化的模型參數； ε為累積滯回耗能；h(z)為“捏縮效應”函數，可以表示為：

本文用MATLAB 編程實現了BWBN 模型，分別研究了控制捏縮效應的模型參數對滯回曲線的影響，如圖1～圖6 所示。參數q控制捏縮效應的開始。參數p主要控制捏縮效應的捏縮斜率。參數ζs控制總滑移量。參數 ψ 、 δψ和 λ對滯回曲線的影響基本一致，隨著參數 ψ 、 δψ和 λ的增大，滯回曲線的捏縮量逐漸增大，捏縮效應越來越強烈，可以認為參數 ψ 、 δψ和λ共同控制滯回曲線的總捏縮量。

綜上所述，滯回曲線的捏縮效應由4 個因素控制：捏縮效應的開始、捏縮斜率、總滑移量和總捏縮量。同時，由圖4～圖6 可知，參數 ψ、δψ和 λ對滯回曲線的作用相似，說明BWBN 模型存在功能冗余，具有進一步優化的空間。

2 新的改進Bouc-Wen 模型

本文提出的改進Bouc-Wen (MBW)模型的恢復力表達式與BWBN 模型的恢復力表達式一致，如式(1)所示。與BWBN 模型的不同之處在于，MBW 模型采用更簡單、高效“捏縮效應”函數來實現捏縮效應。MBW 模型中，橋墩頂部位移u與滯回位移z之間的關系如式(10)所示：

式中：u為橋墩頂部位移；z為滯回位移；A、 β、γ和n控制滯回曲線形狀的模型參數； η和ν分別控制滯回曲線的剛度退化和強度退化，其計算公式見式(3)和式(4)。h(u,ε)為新的“捏縮效應”函數，可以表示為：

式中： ρ 、 θ、φ和τ為控制捏縮效應的模型參數；ε為累積滯回耗能。

“捏縮效應”函數h(u,ε)對滯回曲線的影響如圖7 所示。

圖7 “捏縮效應”函數對滯回曲線的影響Fig.7 Effect of pinching function on hysteretic curve

當h(u,ε)=1，滯回模型為不考慮捏縮效應的Bouc-Wen 光滑模型，如圖7(a)所示。

“捏縮效應”函數h(u,ε)的函數形狀為U 形，如圖7(b)所示。在原點附近為函數曲線平直，函數值最小；兩側是光滑曲線，隨著遠離原點其函數值逐漸增大，而斜率逐漸減小。

“捏縮效應”函數(圖7(b))通過控制Bouc-Wen 光滑模型(圖7(a))滯回位移z的變化來實現捏縮效應，得到考慮捏縮效應的MBW 模型滯回曲線，如圖7(c)所示。由式(10)可知，在原點附近“捏縮效應”函數h(u,ε)可以通過函數值的降低直接減小滯回位移z。又由式(1)可知，滯回位移z的減小會直接降低恢復力F(u,z)，由此實現滯回曲線在原點附近的捏縮。

2.1 “捏縮效應”函數

本文提出的改進Bouc-Wen (MBW)模型，創新之處在于基于近似狄拉克δ函數[20]構建一個更簡單、高效的“捏縮效應”函數h(u,ε)。該函數只有4 個參數，每個參數都有明確的物理意義。MBW模型的“捏縮效應”函數h(u,ε)分3 步構建，如圖8所示。

圖8 “捏縮效應”函數的構建過程Fig.8 Process of constructing the pinching function

1) 構建近似狄拉克δ函數f(u)。

式中：u為橋墩頂部位移；φ和θ為“捏縮效應”函數的參數。參數φ的建議取值范圍為[0,umax]，參數θ的建議取值范圍為[2, 8]。其中u取絕對值是為了保證參數 θ可以取值連續，從而使基于函數f(u)構造的“捏縮效應”函數更加精確。

近似狄拉克 δ函數f(u)如圖8(a)所示。函數f(u)在原點附近急劇增加，并在原點處達到最大值；在遠離原點的地方，函數f(u)基本為0。

2) 進行近似狄拉克δ函數f(u)歸一化[21]，得到fn(u)。

函數fn(u)如圖8(b)所示。函數的最大值為1，函數形狀為倒U 形，頂部為平直區，兩側是光滑曲線，其斜率隨著遠離原點而逐漸減小。

3) 構建“捏縮效應”函數h(u,ε)。

在式(13)的基礎上構建“捏縮效應”函數h(u,ε)，如式(11)所示。

圖8(c)模擬了單個滯回環中函數h(u,ε)隨u變化的規律。為了便于研究，不考慮累積滯回耗能ε的變化。

如圖8(c)所示，在單個滯回環中，當u=0，“捏縮效應”函數值最小，h(0,ε)=1-ρ(1-exp(-τε))，此時“捏縮效應”函數h(u,ε)在該滯回環中引起的捏縮效應最強。

參數 θ和φ對“捏縮效應”函數的影響如圖9所示。從圖9(a)中可以看出，隨著參數θ的增大，函數曲線兩側的斜率逐漸變大，曲線越來越陡。從圖9(b)可以看出，隨著參數φ的增大，函數曲線頂部平直區的寬度逐漸增加。

本文基于加載過程中累積滯回耗能ε的變化來考慮捏縮效應的發展。由圖8(c)可知，h(0,ε)可以衡量試驗加載過程中各個滯回環的捏縮幅度。

根據某現澆橋墩的擬靜力試驗數據，得到累積滯回耗能ε隨滯回環數的變化曲線。并以此為基礎，研究了在試驗加載中各個滯回環中h(0,ε)隨著累積滯回耗能ε增加的變化規律，如圖10 所示。

由圖10 可以看出，在試驗加載中h(0,ε)的變化可以分為3 個階段：1) 在試驗初期，試件處于彈性階段，累積滯回耗能 ε很低，此時h(0,ε)的值近似等于1，滯回曲線不發生捏縮效應；2) 隨著試件進入塑性階段，累積滯回耗能ε逐漸增加，此時h(0,ε)的值逐漸減小，滯回曲線開始出現捏縮效應并逐漸加強； 3) 當累積滯回耗能 ε增大到一定水平時，h(0,ε)的值下降到1-ρ，并保持恒定，此時滯回曲線捏縮效應最強，同時捏縮量達到整個試驗加載中的最大值。

由圖10(a)可以看出，參數 ρ控制總捏縮量，隨著參數 ρ的增加，總捏縮量呈現線性增加。由圖10(b)可以看出，參數τ控制捏縮效應的開始。隨著參數τ的增大，捏縮效應開始的時間越來越早，捏縮效應的發展速率越來越快。

2.2 控制捏縮效應的模型參數對滯回曲線的影響

本文用MATLAB 編程實現了MBW 模型，分別研究了控制捏縮效應的模型參數對滯回曲線的影響，如圖11～圖14 所示。

從圖11 可以看出，參數 ρ控制著總捏縮量。隨著參數 ρ的增大，捏縮量逐漸增大。從圖12 可以看出，參數θ控制滯回曲線的捏縮斜率。隨著參數θ的增大，滯回曲線變得越來越陡，斜率逐漸增大。從圖13 可以看出，參數φ控制滯回曲線的總滑移量。隨著參數φ的增大，滯回曲線滑移區的寬度逐漸增大，同時捏縮量也逐漸增加。由圖14 可知，參數τ控制著捏縮效應的開始。隨著參數τ值的增大，捏縮效應的發展速率逐漸增大，捏縮效應出現的時間越來越早。

由圖11～圖14 可知，MBW 模型的“捏縮效應”函數能夠有效地模擬捏縮效應。“捏縮效應”函數的各個參數都具有明確的物理意義，同時參數之間也存在相互影響。

值得注意的是，BWBN 模型的“捏縮效應”函數是一個包含6 個參數的非常復雜的函數，如式(6)～式(9)所示。而MBW 模型的“捏縮效應”函數只包含4 個模型參數，函數表達式也更簡單明了，如式(11)所示。

綜上所述，與BWBN 模型相比，MBW 模型“捏縮效應”函數的參數更少，同時其簡潔的函數表達式也更有利于程序化和提高計算效率。

3 模型驗證

3.1 參數識別

BWBN 模型和MBW 模型中參數的作用如表1和表2 所示，BWBN 模型包括14 個模型參數(k0、 α、A、 β 、 γ、n、 δη、 δν、q、p、 ζs、 ψ 、δψ和 λ)，而MBW 模型包括12 個模型參數(k0、 α、A、 β 、 γ、n、 δη、 δν、φ、 θ 、 ρ和τ)。BWBN 模型和MBW 模型的參數較多，同時參數之間相互影響，無法直接通過計算公式確定模型參數的準確值。

表1 BWBN 模型參數[12]Table 1 BWBN model parameters[12]

表2 MBW 模型參數Table 2 MBW model parameters

本文利用MATLAB 遺傳算法工具箱[22]進行參數識別。滯回模型的參數識別過程為優化問題，通過尋找最優的模型參數使得目標函數值最小。其中，目標函數為滯回模型計算得到的恢復力預測值與恢復力試驗值之間的誤差，可以表示為[12]：

本文參數識別過程中，MATLAB 遺傳算法工具箱的設置為，種群個數100 個，迭代代數100 代。

3.2 模型驗證算例

本文選取的預制RC 橋墩試驗數據為西安建筑科技大學徐亞洲等[23]于2021 年所做的螺紋鋼法蘭連接預制裝配橋墩擬靜力試驗，包括一個現澆試件(CIP)和兩個預制試件(PC1 和PC2)，試件參數見表3，具體試驗方案見文獻[23]。利用MATLAB遺傳算法工具箱，對BWBN 模型和MBW 模型進行參數識別，并結合試驗結果對BWBN 模型和MBW模型的數值模擬結果進行對比分析。

表3 試件參數Table 3 Details of specimens

CIP 試件、PC1 試件和PC2 試件滯回模型的初始線彈性剛度k0，通過擬靜力試驗數據計算得到：21.56 kN/mm、15.23 kN/mm 和20.19 kN/mm。

CIP 試件、PC1 試件和PC2 試件的BWBN 模型第100 代的參數識別結果見表4，MBW 模型第100 代的參數識別結果見表5。表6 顯示了BWBN模型和MBW 模型的數值模擬結果與試驗結果之間的誤差。

表4 BWBN 模型參數識別結果Table 4 Parameter identification results of BWBN model

表5 MBW 模型參數識別結果Table 5 Parameter identification results of MBW model

表6 試驗結果與滯回模型之間的誤差Table 6 Error between test results and hysteretic model

圖15 顯示了三個橋墩試件在參數識別過程的目標函數值隨進化代數變化的軌跡，圖中水平參考線(虛線)為BWBN 模型第100 代目標函數值。從圖15 可見，CIP 試件、PC1 試件和PC2 試件的MBW 模型分別在第15 代、34 代和16 代達到BWBN 模型第100 代目標函數值，表明參數識別過程中MBW 模型需要的進化代數降低了66%以上，具有更高的計算效率。參數識別過程中第100 代的目標函數值見表6。從表6 中可見，MBW 模型具有更高計算精度。

圖15 目標函數值隨進化代數變化的軌跡Fig.15 Trace of objective function values along with evolutionary generations

圖16 將BWBN 模型和MBW 模型模擬的滯回曲線與試驗數據進行對比分析。從圖16 可以看出，MBW 模型模擬的滯回曲線與試驗數據吻合更好。調用Matlab 中的corrcoef 函數，計算得到BWBN 模型和MBW 模型模擬的恢復力預測值與恢復力試驗值之間的相關性系數見表6。結果表明：MBW 模型模擬的滯回曲線與試驗數據具有更高的相關性。

圖16 試驗結果與滯回模型之間滯回曲線對比Fig.16 Comparison of hysteretic curves between test results and hysteretic model

圖17 將BWBN 模型和MBW 模型模擬得到的骨架曲線與試驗數據進行對比分析。從圖17 中可以看出，BWBN 模型和MBW 模型模擬的骨架曲線與試驗數據在彈性階段、屈服階段和下降階段具有相同的趨勢。骨架曲線的正向峰值荷載和負向峰值荷載見表6，結果表明：MBW 模型模擬的骨架曲線與試驗數據之間誤差更小。

圖17 試驗結果與滯回模型之間骨架曲線對比Fig.17 Comparison of skeleton curves between test results and hysteretic model

圖18 將BWBN 模型和MBW 模型模擬得到的累積滯回耗能與試驗數據進行對比分析。從圖18中可以看出，MBW 模型模擬得到的累積滯回耗能曲線與試驗數據吻合更好。最終的累積滯回耗能見表6，結果表明：MBW 模型模擬得到的累積滯回耗能與試驗數據之間誤差更小。

圖18 試驗結果與滯回模型之間累積滯回耗能對比Fig.18 Comparison of cumulative dissipated energy curves between test results and hysteretic model

綜上所述，MBW 模型不但可以很好地模擬預制RC 橋墩的強度退化、剛度退化和捏縮效應等滯回性能，而且，與BWBN 模型相比，MBW 模型具有更高的計算精度。需要指出的是，由圖15 可以看出，在第100 代時BWBN 模型的目標函數值軌跡仍有下降趨勢，這說明，BWBN 模型具有繼續進行參數識別、優化的空間，但是需要更多的進化代數、更大的計算代價才能達到MBW 模型第100 代結果的精度。

4 結論

由于Bouc-Wen-Baber-Noori (BWBN)模型中“捏縮效應”函數復雜且參數較多，其計算效率較低。鑒于此，本文基于近似狄拉克δ函數提出了新的改進Bouc-Wen (MBW)模型，并結合預制RC 橋墩的擬靜力試驗數據驗證了MBW 模型的有效性，所得結論如下：

(1) 相比于BWBN 模型，MBW 模型的“捏縮效應”函數更加簡單，能夠以更少的參數實現捏縮效應。

(2) 本文建立的MBW 模型可以很好地模擬預制RC 橋墩的強度退化、剛度退化和捏縮效應等滯回性能。

(3) 與BWBN 模型相比，MBW 模型所得到的滯回曲線、骨架曲線、累積滯回耗能曲線與試驗數據吻合更好，并具有更高的計算精度。