子彈擊木塊常見模型及典型題分析

孔祥彩

(山東省五蓮縣第一中學)

子彈擊木塊問題是物理學中一個重要模型,解答這類問題,需要學生能正確進行受力分析,正確判斷模型的運動過程,同時,還需要學生擁有較強的計算能力,并能靈活運用運動學、牛頓運動定律、動量和能量等諸多知識點.

1 模型分析

子彈擊木塊模型按照子彈最終停留位置,可以分為兩種情況,分別為子彈留在木塊內和子彈離開木塊.

1.1 子彈留在木塊內

如圖1所示為常見的子彈留在木塊內模型.假設地面光滑,木塊質量為M,子彈質量為m,速度為v0,子彈在木塊內受到阻力為f,經時間t后,二者共同速度為v,子彈、木塊位移分別為x1、x2,子彈進入木塊深度為d.

整個過程二者的v-t圖像如圖2所示,即子彈共速前運動v-t圖像如圖線①所示,木塊共速前運動v-t圖像如圖線②所示,二者共速后共同做勻速運動,v-t圖像如圖線③所示.

圖2

對子彈和木塊分別展開分析.由牛頓第二定律有f＝ma1,f＝Ma2,由運動學公式有v＝v0－a1t,x1＝;v＝a2t,.根據位移關系有d＝x1－x2,由動能定理有,fx2＝;系統損失的機械能等于系統產生的內能,即,整理得Q＝fd;由動量定理有－ft＝mv－mv0,ft＝Mv;整個系統由動量守恒定律有mv0＝(m＋M)v.

1.2 子彈離開木塊

如圖3所示為常見的子彈離開木塊模型.假設地面光滑,木塊質量為M,子彈質量為m,初速度為v0,子彈在木塊內受到阻力為f,經時間t后,子彈離開木塊,此時子彈、木塊速度分別為v1、v2,子彈、木塊位移分別為x1、x2,木塊長為L.

圖3

整個過程二者的v-t圖像如圖4所示,即子彈運動v-t圖像如圖線①③所示,木塊運動v-t圖像如圖線②④所示.

圖4

對子彈和木塊分別進行分析.由牛頓第二定律有f＝ma1,f＝Ma2,由運動學公式有v1＝v0－a1t,x1＝,v2＝a2t,;根據位移關系有L＝x1－x2;由動能 定理有;系統損失的機械能等于系統產生的內能,即,整理得Q＝fL;由動量定理有－ft＝mv1－mv0,ft＝Mv2;系統由動量守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2.

子彈擊木塊模型與板塊模型(如圖5)相似.板塊模型雖然更為復雜,但是仔細分析可以發現,二者受力情況及運動情況基本一致.在實際解答時只需靈活運用隔離法分析木塊和木板的受力,求出各自的加速度,再根據相關信息,建立起二者位移之間的關系即可.

圖5

2 典例分析

例1如圖6所示,長為L、質量為2m的木塊靜止在光滑的水平面上.子彈質量為m,初速度為v0.子彈第一次射擊離開木塊時的速度為.若將木塊固定在向左運動、速度的傳送帶上,相同的子彈仍以初速度v0水平向右射向木塊,木塊速度始終不變,已知木塊對子彈的阻力恒定,則( ).

圖6

C.子彈第一次穿過木塊所花費的時間是第二次的2倍

第一次射擊時,根據系統動量守恒有mv0＝,解得.對木塊有fx＝,對子彈有,即子彈克服阻力做功為,可得,選項A 正確,選項B錯誤.第一次射擊時對木塊由動量定理有ft1＝2mv1,解得t1＝.第二次射擊,子彈在木塊中做勻減速運動,加速度大小,離開時有L,可得,則時間之比為2∶1,選項C 正確.第二次子彈離開木塊時,子彈速度選項D 錯誤.故答案為A、C.

例2如圖7 所示,光滑平面上有質量M＝1.0kg的長木板,其上方有質量m1＝0.95kg的木塊A和質量m2＝1kg的木塊B(二者可視為質點),A在木板左端,A、B相距L＝2.0m.質量m＝50g的子彈以初速度v0水平射入A并未離開,已知A、B與木板間的動摩擦因數μ＝0.2,g取10m·s－2,則

圖7

(1)若A、B發生碰撞,v0應滿足什么條件?

(2)若A、B接觸后粘在一起運動,當v0＝80m·s－1時,要使A、B不滑下木板,則木板長至少為多少?

(1)子彈進入A,由動量守恒定律有mv0＝(m＋m1)v1.A、B碰撞前,設A和子彈的加速度為a1,長木板與B的加速度為a2,則有

若A、B碰撞前木板位移為x,則A和子彈的位移為L＋x,設運動時間為t,有,L＋x＝,聯立可得數學表達式為0,當時,A、B碰撞,解得v0＞40 3 m·s－1.

(2)將v0＝80m·s－1代入,解得t＝2s(舍去)或.

設A在與B碰撞前、后速度分別為v2、v3,碰撞前木板及B的速度為,則v2＝v1－a1t,＝a2t,(m＋m1)v2＋＝(m＋m1＋m2)v3.設A、B與木板最后共同速度為v,碰撞后A、B滑行距離為ΔL,有

綜上所述,子彈擊木塊模型作為高考考查的重要題型,往往涉及多個運動過程,需要學生靈活運用各種公式.

(完)