運用克拉珀龍方程解決理想氣體狀態轉換和變質量問題

胡東明

(湖北省武漢市新洲區第一中學)

推論1由,得質量,根據質量守恒定律,一定質量的理想氣體(狀態為p1、V1、T1)分離為兩部分氣體(狀態分別為p2、V2、T2和p3、V3、T3),有,反之亦然.這就是理想氣體分態方程.

推論2根據推論1,質量,即對同種理想氣體(摩爾質量M相同),質量m與成正比.

推論3由,得密度,即對同種理想氣體,密度ρ與壓強p成正比,與熱力溫度T成反比.

下面舉例說明如何應用這三個推論解決理想氣體狀態轉換和變質量問題.

1 氣體狀態的轉換問題

例1一熱氣球(連同吊籃)充氣前的總質量m＝180kg,充氣后球內空氣的體積為V＝600m3.熱氣球外冷空氣的溫度為T0＝280K,密度為ρ0＝1.2kg·m－3.已知該氣球內、外的氣壓始終都為p0＝1.0×105Pa,重力加速度大小g取10m·s－2.

(1)熱氣球剛開始緩慢升空時,氣球內熱空氣的質量;

(2)熱氣球剛開始緩慢升空時,氣球內熱空氣的溫度.

(1)設剛開始升空時,氣球內空氣的質量為m1,由受力平衡得m1g＋mg＝ρ0gV,解得m1＝540kg.

(2)解法1剛開始升空時,氣球內空氣的體積為V,設溫度為T1,等壓轉換到溫度為T0時空氣體積為V2,由蓋—呂薩克定律得.轉換后的空氣與氣球外冷空氣的壓強和溫度都相同,則密度相同,空氣質量m1＝ρ0V2,解得T1＝373.3K.

解法2由于氣球內、外的氣壓始終都為p0,設開始升空時氣球內空氣溫度為T1,密度為由,得.取熱氣球外質量為m0的冷空氣,設體積為V0,同樣密度為,由,得,有ρ0T0＝ρ1T1,解得T1＝373.3K.

解法1采用氣體狀態轉換法,將升空時空氣的溫度和壓強轉換到與已知密度的空氣的溫度和壓強相同的狀態,根據推論3,空氣的密度就相同;解法2直接運用推論3,即“同種理想氣體在壓強相同的情況下,密度ρ與溫度T成反比”.

例2(2023年全國甲卷)一高壓艙內氣體的壓強為1.2個大氣壓,溫度為17℃,密度為1.46kg·m－3.

(1)升高氣體溫度并釋放出艙內部分氣體以保持壓強不變,求氣體溫度升至27 ℃時艙內氣體的密度;

(2)保持溫度27 ℃不變,再釋放出艙內部分氣體使艙內壓強降至1.0個大氣壓,求艙內氣體的密度.

(1)以升高溫度后艙內剩余氣體為研究對象,設氣體質量為m,體積為V1,溫度為T1＝(273＋27)K＝300K,密度為,等壓轉換到原溫度為T2＝(273＋17)K＝290K,體積為V2,由蓋—呂薩克定律有,得,又因為轉換后氣體的密度為,解得ρ1＝1.41kg·m－3.

(2)以降壓后艙內氣體為研究對象,設氣體質量為m0,壓強為p0,體積為V1,密度為.等溫轉換到原壓強1.2p0,體積為V3,由玻意耳定律有p0V1＝1.2p0V3,得V1＝1.2V3,又因為轉換后氣體的密度為,解得ρ0＝1.18kg·m－3.

第(1)問氣體壓強不變,也可以根據推論3,氣體密度與溫度成反比,有ρ1T1＝ρ2T2,得;同樣的,第(2)問氣體溫度不變,氣體密度與壓強成正比,有,得

例3一熱氣球體積為V,內部充有溫度為Ta的熱空氣,氣球外冷空氣的溫度為Tb.已知空氣在1個大氣壓、溫度為T0時的密度為ρ0,該氣球內、外的氣壓始終都為1個大氣壓,重力加速度大小為g.

(1)求該熱氣球所受浮力的大小;

(2)求該熱氣球內空氣所受的重力;

(3)設充氣前熱氣球的質量為m0,求充氣后它還能托起的最大質量.

方法1氣體狀態轉換法

(1)設1 個大氣壓下、溫度為Tb、體積為V的空氣質量為m.將這些氣體轉換為1個大氣壓、溫度為T0的空氣,設其體積為V0.

(2)設熱氣球內的空氣質量為m1,將氣球內熱空氣轉換為1個大氣壓、溫度為T0的空氣,轉換后的空氣體積為V2.

(3)設該氣球還能托起的最大質量為m2,由力的平衡條件得F＝G＋m0g＋m2g,解得

方法2探尋氣體密度法

(1)設1個大氣壓下質量為m的空氣在溫度T0時的體積為V0,密度為

溫度為Tb時的體積為Vb,密度為

由蓋—呂薩克定律可得

聯立式①②③解得

氣球所受的浮力為

聯立式④⑤解得

(2)氣球內熱空氣所受的重力

由式④知

聯立式⑦⑧解得

(3)設該氣球還能托起的最大質量為m2,由力的平衡條件可知

聯立式⑥⑨○10可得

方法1第(1)問將排開氣體的壓強和溫度轉換到與已知氣體的壓強和溫度相同,根據推論3,其密度就相同.同樣的,第(2)問熱氣球內氣體的壓強和溫度轉換到與已知氣體的壓強和溫度相同,運用推論3求解.方法2是直接探尋氣體密度,是高考答案給出的解法,式②是一種函數式的寫法,認為氣體在壓強不變的情況下,密度是溫度的函數,即,這就是推論3的思想,式④表明一定質量的理想氣體在壓強相同情況下,密度與溫度成反比,這就是推論3.

2 變質量問題

類型1 充氣問題

例4如圖1所示為噴灑農藥用的某種噴霧器.其藥液桶的總容積為15L,裝入藥液后,封閉在藥液上方有1atm、2L的空氣,忽略打氣和噴藥過程氣體溫度的變化.

圖1

(1)若要使氣體壓強增大到2.5atm,噴霧器內充氣后空氣的質量與充氣前空氣質量之比是多少?

(2)如果壓強達到2.5atm 時停止打氣,并開始向外噴藥,那么當噴霧器不能再向外噴藥時,桶內剩下的藥液還有多少升? 噴藥后噴霧器內剩余空氣的質量與充氣前空氣質量之比是多少?

(1)將2.5atm、2L 空氣等溫轉換到1atm下,由玻意耳定律有p1V1＝p0V2,解得V2＝5L.噴霧器內充氣后空氣的質量與充氣前空氣質量之比為.

由于向外噴藥過程中,噴霧器內空氣的質量沒有變化,所以噴藥后噴霧器內剩余空氣的質量與充氣前空氣質量之比仍然為.

本題第(1)問將噴霧器內充氣后空氣的壓強和溫度轉換到與充氣前空氣的壓強和溫度相同,其密度就相同,運用推論3求解質量之比;也可以根據打氣前后藥液上方的氣體溫度和體積都相同,運用推論2,有.同樣的,第(2)問也可以直接運用推論3,得.

類型2 抽氣問題

例5(2020年山東卷)中醫拔罐的物理原理是利用玻璃罐內外的氣壓差使罐吸附在人體穴位上,進而治療某些疾病.常見拔罐有兩種,如圖2所示,左側為火罐,下端開口;右側為抽氣拔罐,下端開口,上端留有抽氣閥門.使用火罐時,先加熱罐中氣體,然后迅速按到皮膚上,自然降溫后火罐內部氣壓低于外部大氣壓,使火罐緊緊吸附在皮膚上.抽氣拔罐是先把罐體按在皮膚上,再通過抽氣降低罐內氣體壓強.

圖2

某次使用火罐時,罐內氣體初始壓強與外部大氣壓相同,溫度為450K,最終降到300K,因皮膚凸起,內部氣體體積變為罐容積的.若換用抽氣拔罐,抽氣后罐內剩余氣體體積變為抽氣拔罐容積的,罐內氣壓與火罐降溫后的內部氣壓相同.罐內氣體均可視為理想氣體,忽略抽氣過程中氣體溫度的變化.求應抽出氣體的質量與抽氣前罐內氣體質量的比值.

設外界大氣壓為p0,火罐的容積為V0,則火罐內氣體初始狀態的壓強為p0,溫度為T1＝450K,體積為V0;溫度降低后氣體的壓強為p2,溫度為T2＝300K,體積為.由理想氣體狀態方程得,代入數據得p2＝0.7p0.

本題首先運用推論1 的理想氣體分態方程求解抽出氣體的體積ΔV,然后根據抽氣拔罐中抽出氣體的壓強和溫度與抽氣前氣體的壓強和溫度相同,運用推論3求解質量之比.也可以根據抽氣前后罐內氣體的溫度相同,運用推論2,求得剩余氣體的質量與抽氣前罐內氣體質量之比,即.

類型3 灌氣(氣體分裝)問題

例6甲、乙兩個儲氣鋼瓶儲存有同種氣體(可視為理想氣體).甲瓶的容積V1＝8L,瓶中氣體的壓強為7p0;乙瓶的容積V2＝4L,瓶中氣體的壓強為p0.現通過細管將兩瓶連通,甲給乙充氣,直到兩鋼瓶中氣體壓強相等,充氣過程中兩瓶中氣體溫度相等且保持不變,細管中氣體體積忽略不計.求穩定后:

(1)乙儲氣鋼瓶中氣體的壓強p;

(2)甲瓶中氣體的質量與甲瓶中原有氣體的質量之比.

(1)由玻意耳定律有7p0V1＋p0V2＝p(V1＋V2),解得p＝5p0.

(2)若穩定后甲瓶中氣體再被壓縮到原來的壓強7p0時,體積為V3,由玻意耳定律pV1＝7p0V3,設穩定后甲瓶中氣體的質量與甲瓶中原有氣體的質量之比為k,由密度的定義有,聯立解得

本題第(1)問直接運用推論1的理想氣體分態方程;第(2)問將甲瓶中穩定后的氣體的壓強和溫度轉換到與穩定前氣體的壓強和溫度相同,運用推論3求解質量之比.也可以直接根據穩定前后甲瓶中氣體的溫度與體積相同,運用推論2,得k＝.

類型4 漏氣問題

例7一位消防員在火災現場發現一個容積為V0的廢棄的氧氣罐,經檢測,內部封閉氣體壓強為1.2p0.為了消除安全隱患,消防員擬用下面兩種處理方案:

(1)冷卻法:經過合理冷卻,使罐內氣體溫度降為27 ℃,此時氣體壓強降為p0,求氧氣罐內氣體原來的溫度;

(2)放氣法:保持罐內氣體溫度不變,緩慢地放出一部分氣體,使罐內氣體壓強降為p0,求氧氣罐內剩余氣體的質量與原來總質量的比值.

(2)假設將放出的氣體和剩余的氣體都收集起來,等溫轉換到壓強為p0的狀態,其體積為V,由玻意耳定律有1.2p0V0＝p0V,解得V＝1.2V0,則剩余氣體與原來氣體的總質量之比為.

本題第(2)問也可以根據放氣前后氧氣罐內氣體的體積和溫度相同,運用推論2,得

3 小結

對于同種理想氣體,其狀態參量中的壓強和溫度屬于強度量,不具有加和性,而體積屬于廣延量,但也只能在壓強和溫度相同的情況下具有加和性.因此,在解決狀態轉換和變質量問題時,需要靈活運用克拉珀龍方程及其推論,巧妙轉換氣體狀態,以實現快速準確求解的目的.

(完)