Z源逆變器高階微分反饋控制研究

劉松濤，王丙元

(中國民航大學 電子信息與自動化學院，天津 300300)

0 引言

航空靜止變流器(ASI，aeronautic static inverter)作為飛機的二次電源，是飛機上一種關鍵的電力電子裝置。ASI將機載28 VDC直流電轉換為400 Hz的115 VAC的中頻交流電，為各種機載電子設備提供所需的電力。

為了得到高品質的輸出波形，ASI的控制策略也得到了進一步發展。PID控制由于其結構算法簡單、參數少、工程實現容易等優點成為使用最為廣泛的控制算法。但是隨著工業科技的發展，工業設備的器件參數往往會隨著時間發生變化，這會導致基于原始系統設計的PID參數不再適用。并且在應用層面常出現時變、非線性等復雜環境，在這種情況下，PID控制的適應能力較差，PID控制下系統的性能表現也會差強人意。

非線性控制的發展使得滑模變結構控制被大量應用在電力電子電路的控制方面，通過在控制系統中引入非線性滑模面，在控制器輸出與被控對象輸入之間形成一個可控的滑動模態，使得控制系統具有更強的魯棒性和適應性，能夠更好地應對系統參數變化、擾動等問題。

目前ASI大多采用DC/DC/AC兩級交換結構[1-3]，前級使用DC/DC來實現電壓轉換，后級使用DC/AC實現逆變及輸出。兩級ASI的局限性如下：由于采用兩級式結構，系統的復雜性變大、效率偏低；后級DC/AC環節所采用的H橋逆變電路不允許同一相橋臂開關器件同時導通因此需要引入死區時間防直通，死區時間的引入使得輸出電壓波形產生一定程度的畸變[4]。

為了避免橋臂直通問題對系統的影響，Z源拓撲由此被引入到航空變靜止變流器的設計中。由于其Z源網絡的獨特性，系統能在直通狀態下正常運行，并且直通狀態為Z源逆變器[5]提供了升壓功能，因此基于Z源逆變器實現的ASI實現為單級結構，降低了系統復雜性，提高了系統效率。由于Z源逆變器可以在同一相橋臂開關管同時導通的狀態下正常工作，因此不存在死區帶來的輸出電壓波形畸變問題，逆變器的可靠性更強。

Z源逆變器控制策略研究是Z源逆變器的一個重要研究內容。文獻[6]提出了一種直流鏈電壓控制策略，該控制策略將直通占空比和調制系數作為一個整體，通過間接控制使得系統能快速跟蹤給定電壓，但該控制策略基于PI控制，快速響應的同時會存在較大超調。文獻[7]提出了Z源逆變器的滑?？刂破?，推導了滑模系數范圍，該控制策略雖獲得了更好的暫態響應，但調節時間較長。文獻[8]提出單相Z源逆變器自適應控制，但克服了因輸入電壓波動造成輸出不穩的問題，但其控制器參數通過分析系統精確數學模型得到，由于Z源逆變器系統階次較高，因此對精確數學模型的分析也較困難。文獻[9-10]分別提出了基于模型預測控制和模糊控制的直流鏈電壓調節的反饋控制策略，改善了系統的暫態性能和抑制干擾能力，但其控制算法復雜，實現不易。文獻[11]提出一種基于多功率逼近率的滑?？刂品椒?，可使系統狀態快速到達滑模面，取得了良好的控制效果，但是滑?？刂迫菀桩a生抖振的局限性依然沒能得到解決。

在高階系統的控制領域方面，高階微分器[12-13](HOD，high-order-differentiator)由于其能實現對系統高階信息的準確提取而被廣泛應用于各類高階系統的控制策略設計中去。大量學者以高階微分器(HOD)和基于高階微分器設計的高階微分反饋控制(HODFC，high-order differential feedback control)為基礎展開了控制策略方面的研究。Li等[14]針對四旋翼無人機控制，將改進的擴展狀態觀測器與HOD相結合，設計了一個改進的高階微分反饋控制器(IHODFC)，并給出了其閉環穩定性證明。實驗結果表明在IHODFC控制方法下四旋翼無人機的性能表現要優于PID和ADRC；Agee等[15-16]針對柔性機械臂控制，將HODFC與經典PID控制作對比實驗，結果顯示相較PID控制方法，HODFC有很強的抗干擾能力；Ayas等[17-18]在其研究中設計了一種分數階微分反饋控制器，并將該控制器應用于自動調壓器系統，以提升系統的調節能力，研究結果表明，相比于HODFC和PID，該控制器具有更優秀的控制性能。

Z源逆變器系統是一個高階非最小相位系統，為系統分析及控制器設計帶來了很大的困難。傳統的控制器設計方法通常需要精確的系統模型和復雜的數學分析，這不利于實際應用中的控制器設計和調試。而HODFC[19]通過HOD估計系統輸入和輸出的各階微分信息，并通過極點配置調節控制器參數。該控制器不依賴于系統精確模型，從而實現了模型無關的控制器設計，且魯棒適應性強，可以有效地抵抗系統參數變化和外部擾動的影響。

1 Z源逆變橋原理及其數學模型

1.1 Z源逆變橋基本原理

單相Z源逆變器的一般電路拓撲結構如圖2所示，利用該一級電路轉換結構取代了如圖1所示的兩級結構。Z源逆變器包含一個X型Z源阻抗網絡，此網絡由兩個電感和兩個電容交叉組成且具有對稱性即L1=L2=L、C1=C2=C，因此Z源逆變器既能工作在傳統逆變器的非直通工作狀態，也能工作在傳統逆變器所禁止的直通狀態，并且該狀態為Z源逆變器提供了獨特的升壓功能[5]。

圖1 兩級式ASI結構框圖

圖2 單相Z源逆變器電路拓撲

Z源逆變器電路處于工作狀態時，設定直通占空比為D，則在一個開關周期T內，電路工作在直通狀態下的時間為T0=DT，工作在非直通狀態下的時間為T1=(1-D)T。

下面對Z源逆變器的工作方式及升壓原理進行進一步分析：

當逆變器工作在非直通狀態時，逆變橋上下橋臂沒有同時導通，將產生直流鏈電壓，電流流向負載。此時電源向電容充電，等效電路如圖3所示[20-21]，此時電路電壓存在如下關系式：

圖3 非直通狀態等效電路圖

Uin=2UC-Udc

(1)

當逆變器工作在直通狀態時，上下橋臂同時導通，直流鏈電壓為0，由于受到反向偏置電壓的作用，二極管處于截止狀態，這使得電路中的電源和Z源網絡被隔離開來。在這種情況下，電容開始向電感充電。直通狀態時等效電路如圖4所示。

圖4 直通狀態等效電路圖

由圖4等效電路圖可得：

UL1=UL2=UL=UC1=UC2=UC

(2)

Z源網絡電容電壓與直流輸入電壓關系[5]為：

(3)

直流鏈電壓與直流輸入電壓存在如下關系：

(4)

則Z源逆變器的升壓因子B為：

(5)

1.2 Z源逆變器數學模型

由圖2，選取Z源網絡中電感電流iL(t)和電容電壓uC(t)作為狀態量，構造系統狀態方程，利用小信號分析推導出直通占空比到Z源網絡電容電壓的傳遞函數為：

(6)

根據逆變橋母線直流電壓與電容電壓的關系：

(7)

(8)

逆變橋環節可以等效為一個慣性環節，其傳遞函數為：

(9)

其中：K1為慣性環節增益，τ為時間常數。濾波環節傳遞函數為：

(10)

Z源逆變器從直通占空比到輸出的傳遞函數為

G(s)=GindG1Gfil

(11)

即：

(12)

其中：

b1=2K1(Iin-2iL)

b0=2K1(1-2D)(UC-Udc)

a5=τLCL3C3

a4=LCL3C3+τLCL3/R

a3=τLC+LCL3/R+τ(1-2D)2L3C3

a2=τ(1-2D)2L3/R+LC+(1-2D)2L3C3

a1=τ(1-2D)2+(1-2D)2L3/R

a0=(1-2D)2

由于式(12)中b1<0、b0>0，根據奈氏判據，其對應的五階傳遞函數系統具有非最小相位特性，使得系統控制器設計存在困難。

2 高階微分器

文獻[19]提出一種不依賴于系統精確模型的高階微分器(HOD)，其具有不依賴于系統精確模型的特點，能夠提取給定信號的n階微分信息。HOD的階次反映了其中使用的積分器數量，階次越高，使用的積分器數量也越多。當HOD的階次大于被提取信號的階次時，HOD可以通過對輸入信號進行更多次微分操作來提取更高精度的微分信息。因此，階次較高的HOD可以更準確地提取輸入信號的微分信息。但是，階次過高也會帶來一些問題，例如噪聲增益和不穩定性等問題，因此需要根據具體應用場景選擇合適的HOD階次。當HOD的階次等于被提取信號的階次時，可以完全提取輸入信號中的微分信息。通過調整HOD的階次，可以控制微分器的精度和頻率響應，以實現不同的應用要求。n階的HOD由動態方程(13)和觀測方程(14)兩部分組成，其中動態方程描述系統的狀態演化，觀測方程則反映系統狀態與觀測量之間的關系，表示如下：

(13)

(14)

根據狀態方程和觀測方程可以得到n階HOD框圖如圖5所示。其中y是待估計信號，x1，x2，…，xn是重構后的系統狀態，根據觀測方程就可以計算得到y的各階微分信號估計值[22]。

圖5 n階HOD框圖

顯然，HOD在實現狀態估計的過程中僅僅利用了系統輸出的可測量信號，因此其具有不依賴系統精確數學模型的特點，具有較好的適應性和實時性。參數ai(i=1，…，n)對整個HOD的穩定起到了至關重要的作用，這些參數需要根據系統的特性進行選擇，并且需要保證它們的值不會導致系統的不穩定，可采用根軌跡法進行確定[23]。

通過將動態方程(13)兩邊取拉氏變換可以得到HOD閉環傳遞函數：

(15)

進而可以求出其開環傳遞函數為：

(16)

從圖5和式(16)來看，可以發現HOD是一個n階伺服系統，通過輸入可測量信號，可以估計出輸入信號的各階微分信息。當輸入信號是一個n階以內的非周期信號時，HOD可以實現無靜差跟蹤，即輸出的估計信號能夠與輸入信號完全重合。即便輸入信號為周期信號，HOD也能保持較高的跟蹤精度。

根據根軌跡法則，在增益選擇合理的情況下，只要開環零點全部位于s左半平面，閉環系統的極點也會全部位于s左半平面。為了簡化HOD設計，我們設定其所有的開環零點為一個相等的負實數-a，則式(16)可表示為：

(17)

系統的特征方程為：

sn+K(s+a)n-1=0

(18)

可求得系統根軌跡的分離點為s1=-na，s2=0。

選取s=-na作為分離點。由閉環極點和根軌跡幅值條件可得到下式：

(19)

將開環零點zj=-a，開環極點pi=0代入式(19)得：

(20)

結合式(16)、(17)、(20)可得：

(21)

由上式可知，利用根軌跡法所設計完成的HOD只涉及到一個參數a，a的值越大，跟蹤和提取信號的精度就越高，但需要注意的是，當a取值過大時，頻帶越寬，響應速度越快，但穩態抗干擾能力會變差，且HOD容易產生由初始誤差或擾動帶來的脈沖。為了抑制HOD 在初始時刻時產生的脈沖現象，考慮在觀測方程(14)加入了脈沖抑制方程。

(22)

其中：σi(t)為脈沖抑制方程，t為系統運行時間，參數β為一個常數。初始時刻σi(t)≈0，脈沖抑制方程僅在這個時候起作用，經過短暫時間迅速收縮在1，公式(22)逼近公式(14)。且β越大，收縮越快，但是β過大會使得脈沖抑制方程的效果變差，此處折中選取β=100。由于系統沒有發生變化，因此加入抑制方程后HOD的穩定性和收斂性依然得到保證。

3 控制器設計及穩定性分析

3.1 控制器設計

u=P[Kε-y(n)]

(23)

其中：K=[kn，kn-1，…，k1]使s(n)+k1s(n-1)+…+kn為Hurwithz多項式，P為較大的增益。大量仿真實驗表明，基于該控制器設計的控制系統具有很強的魯棒性[12]，且HODFC適用于非最小相位系統控制[13]。HODFC控制器利用誤差的各階微分信息進行反饋控制，能夠有效地抑制系統誤差的高頻分量，提高系統響應速度和穩定性。需要注意的是，HODFC控制器的設計需要根據實際系統的特點進行參數調整，確?？刂菩Ч姆€定和可靠。

3.2 穩定性分析

設帶有未知擾動的不確定系統模型表達式如下：

y(n)=f(x，v，t)+g(x，v，t)u+d(t)

(24)

其中：x=[y，y(1)，…，y(n-1)]T表示有界輸出的各階微分向量，v=[u，u(1)，…，u(n-1)]T表示有界輸入的各階微分向量，d(t)為隨機干擾信號。f(x，v，t)和g(x，v，t)均為未知非線性有界光滑函數。該系統的控制目標是設計一個控制器產生控制系統u，使得系統狀態在給定約束下(例如誤差界、收斂時間等)能夠實現穩定控制。對于此類不確定系統，傳統的控制方法往往難以滿足穩定性和魯棒性的要求，因此需要設計先進的控制方法。

將HODFC控制律所示的式(23)代入不確定系統模型式(24)中，可以得到：

y(n)=f(x，v，t)+g(x，v，t)P(Kε-y(n))+d(t)

(25)

g(x，v，t)P(y(n)+k1y(n-1)+ … +kny)=

g(x，v，t)P(k1yr(n-1)+ … +knyr)+f(x，v，t)+d(t)-y(n)

(26)

式(26)兩端同除g(x，v，t)P，得到：

y(n)+k1y(n-1)+ … +kny=k1yr(n-1)+ … +knyr+θ

(27)

其中：θ=(f(x，v，t)+d(t)-yn)/g(x，v，t)P，由于函數f(·)，g(·)，d(t)有界，從而yn有界，因此θ有界，即可以通過調節增益P使θ趨于零，從而有

y(n)+k1y(n-1)+ … +kny=k1yr(n-1)+ … +knyr

(28)

進一步可以導出系統輸出對給定輸入的線性閉環傳遞函數：

(29)

由于K=[kn，kn-1，…，k1]滿足使多項式s(n)+k1s(n-1)+…+kn為Hurwitz多項式，因此該特征方程所確定的控制系統滿足Routh-Hurwitz穩定判據，因此系統漸進穩定并具有良好動態品質。

圖6為基于HOD的Z源逆變器高階微分反饋控制實現圖。

圖6 基于HOD的 Z源逆變器高階微分反饋控制示意圖

4 仿真結果及對比實驗

在Simulink環境中搭建Z源逆變器的仿真電路模型及控制器模型，部分電路參數如下：輸入電壓為直流28 V；輸出電壓為115 V/400 Hz；開關頻率為20 kHz；Z源電容為1 000 μF；Z源電感為2 mH；輸出濾波電容為16μF；輸出濾波電感為0.1 mH。

4.1 仿真結果

圖7和圖8分別為采用本文HODFC控制策略得到的Z源逆變器輸出電壓穩態波形及其有效值響應圖像。從圖中可以看出，輸出電壓穩定在有效值115 V頻率400 Hz交流電，并且輸出電壓有效值在0.06 s內無超調迅速達到給定115 V，響應較快。這說明本文提出的HODFC控制策略能夠有效地控制Z源逆變器的輸出電壓，并且具有快速響應、高穩定性和可靠性的特點。

圖7 逆變器輸出電壓穩態波形

圖8 逆變器輸出電壓有效值

4.2 仿真對比實驗

為驗證HODFC在Z源逆變器控制方面的優勢，在相同仿真環境、給定信號、系統參數的前提下，采用本文的高階微分反饋控制(HODFC)對比采用滑模控制(SMC，sliding mode control)、模型參考自適應控制(MRAC，model reference adaptive control)策略下Z源逆變器輸出電壓響應。Z源逆變器在不同控制策略下，輸出電壓有效值響應曲線如圖9所示。

圖9 逆變器輸出電壓有效值響應曲線

從圖9中可以看出，當采用SMC和MRAC控制策略時，系統輸出存在超調且調節時間較長，而采用HODFC時，系統無超調并且在0.06 s內迅速到達給定115 V，動態響應較快。

表1給出了3種控制策略下系統響應的各項性能指標。從表中可以看出，采用HODFC時，系統的調節時間、超調量和穩態時間相比MRAC和SMC都更低。因此，采用HODFC使得Z源逆變器的穩態性能更優。這說明本文提出的HODFC控制策略在Z源逆變器控制方面具有明顯的優勢，能夠更好地實現對系統的控制和調節。

表1 不同控制策略下系統調節時間

為進一步驗證采用HODFC策略時Z源逆變器的動態性能，在系統穩定后對系統加入擾動信號(包括負載突變，輸入電壓突變)進行仿真對比實驗。

圖10為0.2 s時刻輸入電壓由32 V突然跌落至28 V時，系統輸出有效值電壓在不同控制策略下的響應曲線。從圖中可以看出，輸入電壓跌落瞬間，3種控制策略下系統輸出電壓都會產生跌落，但是采用HODFC時電壓跌落最小并且能迅速將電壓調節至給定115 V。

圖10 輸入電壓跌落時逆變器輸出電壓有效值

圖11為系統在0.2 s時刻突加阻感負載時輸出電壓有效值的響應曲線。從圖中可以看出，突加負載瞬間，3種控制策略下輸出電壓有效值均產生跌落。

圖11 突加阻感負載時逆變器輸出電壓有效值

系統在SMC策略下電壓跌落至104.2 V，MRAC策略下電壓跌落至105.1 V，HODFC策略下電壓跌落至108.6 V。且SMC策略下輸出電壓重新達到115 V需要經過150 ms，而MRAC和HODFC策略下輸出電壓在100 ms內就達到給定值115 V。因此HODFC控制策略抗干擾能力更強。圖12為加入阻感負載系統穩定后輸出電壓及負載電流曲線，此時輸出電壓峰值為162.9 V，滿足給定115 V有效值要求由此可見，Z源逆變器采用HODFC控制策略后，能夠在加入阻感負載后對輸出電壓進行有效的控制，保持輸出電壓穩定。而在其他兩種控制策略下，系統的電壓響應存在較大的波動，且輸出電壓峰值也無法滿足要求。因此，HODFC控制策略在抗干擾性能和輸出電壓穩定性方面都表現出更好的性能。

圖12 逆變器輸出電壓及負載電流

當逆變器輸出電壓驅動非線性負載時，其輸出電壓波形容易產生畸變[24-25]。這種畸變會導致功率因數降低、電磁干擾等問題，因此研究逆變器帶非線性負載的波形畸變是非常重要的。由于現代電力設備和電子設備的廣泛應用，電源系統中的非線性負載日益普遍。這些非線性負載會引入諧波電流的干擾，從而使得系統的功率質量受到影響。而最常見的非線性負載就是包含二極管(Diode)，電阻(Resistor)和電容(Capacitor)的RCD整流負載。系統在0.2 s時刻突加RCD整流負載時系統的輸出電壓有效值響應曲線如圖13所示。

圖13 突加RCD負載時逆變器輸出電壓有效值

從圖13中可以看到，突加RCD負載瞬間，輸出電壓產生大幅跌落隨后在控制系統的調節作用下逐漸跟蹤給定115 V有效值。根據局部放大圖，采用MRAC時，系統輸出電壓超出115 V并保持；采用SMC時，系統輸出電壓產生小超調并在500 ms后達到給定115 V；采用HODFC時系統輸出電壓無超調并在300 ms后達到跟蹤給定115 V的效果。因此，在突加非線性負載的情況下，HODFC控制策略同樣表現出較好的跟蹤性能和魯棒性能，相比于SMC和MRAC，HODFC策略下系統的響應速度更快且更穩定。這表明HODFC控制策略具有更強的適應性和魯棒性能，適用于復雜負載和多變環境下的電力電子裝置控制。圖14為加入RCD負載后，不同控制策略下系統穩定狀態輸出電壓波形與標準正弦波對比圖。

圖14 逆變器輸出電壓波形

綜合以上仿真對比結果可以看出，本文所提HODFC控制策略使Z源逆變器具有良好的穩態和動態性能。

5 結束語

1)本文將Z源逆變器引入ASI的設計，克服了H橋逆變環節需要加入死區時間帶來的輸出電壓波形畸變問題；采用Z源一級網絡取代了傳統兩級式ASI，降低了系統復雜性；并且由于Z源逆變器能在直通狀態下正常運行，提升了系統的可靠性。

2)本文介紹了一種不需要系統模型的控制方法——高階微分反饋控制(HODFC)，并詳細探討了高階微分器(HOD)的設計和穩定性分析。為了保證系統穩定性、減少參數數量以及保持一般性，選取相同的負實根作為HOD的零點，并利用根軌跡方法確定HOD的參數，以使得閉環系統的所有極點均位于s平面的左半部分。

3)針對基于Z源逆變器的ASI系統高階及其非最小相位特性帶來的控制器設計復雜的問題，引入高階微分器提取系統的各階微分信息，在此基礎上設計了Z源逆變器的高階微分反饋控制律，并證明了其穩定性。仿真實驗結果表明將該控制策略用于Z源逆變器電壓控制使得系統擁有良好的性能表現。