小球沿光滑橢圓槽下滑問題的深入剖析
——以2023年湖南高考卷壓軸題為例

羅金龍 馬晟

(黃岡師范學(xué)院,湖北 黃岡 438000)

分析可視為質(zhì)點的小球或滑塊與光滑曲面槽所構(gòu)成的系統(tǒng)的運動是高考或競賽中的熱點問題,該類問題涵蓋的知識點豐富,通常包括運動與受力的分析、能量與動量的分析等,綜合性較強,難度較高,因此受到了眾多教學(xué)研究者的關(guān)注.查閱文獻發(fā)現(xiàn):現(xiàn)階段在該類問題的研究中光滑曲面槽大多為半圓槽或1/4圓弧槽,[1-3]而光滑曲面槽為橢圓槽的情境很少見.圓弧槽與橢圓槽的最大區(qū)別在于圓弧槽中小球與圓心的距離不變且角度存在簡單的幾何關(guān)系,這便為相關(guān)問題的研究提供了有利的條件,顯然當圓弧槽變?yōu)闄E圓槽時,便失去了這一有利條件,問題的處理將變得復(fù)雜很多.但我們知道圓是橢圓的一種特殊情形,因此研究小球在光滑橢圓槽內(nèi)的運動情況將會得到更為普適的結(jié)論.基于此,本文以2023年湖南高考物理卷壓軸題為例,求解該模型中兩物體運動過程的速度、相互作用力隨角度變化的具體表達式,并結(jié)合GeoGebra軟件繪圖功能分析在不同質(zhì)量比下各物理量隨角度的變化規(guī)律,力求使所得結(jié)果直觀具體,從而使知識在廣泛的范圍內(nèi)得到更好的遷移.

1 例題呈現(xiàn)與賞析

例題.(2023年湖南高考物理卷壓軸題)如圖1,質(zhì)量為M的勻質(zhì)凹槽放在光滑水平地面上,凹槽內(nèi)有一個半橢圓形的光滑軌道,橢圓的半長軸和半短軸分別為a和b,長軸水平,短軸豎直.質(zhì)量為m的小球,初始時刻從橢圓軌道長軸的右端點由靜止開始下滑.以初始時刻橢圓中心的位置為坐標原點,在豎直平面內(nèi)建立固定于地面的直角坐標系xOy,橢圓長軸位于x軸上.整個過程凹槽不翻轉(zhuǎn),重力加速度為g.

圖1 原題示意圖

(1) 小球第1次運動到軌道最低點時,求凹槽的速度大小以及凹槽相對于初始時刻運動的距離;

(2) 在平面直角坐標系xOy中,求出小球運動的軌跡方程;

本題第(2)(3)問聯(lián)系緊密,第(3)問需在第(2)問的基礎(chǔ)上求得.第(2)問打破了以往高考壓軸題“步驟冗長、計算繁雜”的壁壘,以求解軌跡方程這一新穎的設(shè)問綜合考查了學(xué)生的分析能力、觀察能力與應(yīng)變能力,這一“數(shù)理結(jié)合”的問題在以往的練習與測試中并不多見,這便是本題最大的亮點之一.

作為一道高考題,本題只是讓我們求解了在某些特殊位置時物體的速度及位移大小,符合高考的考查范圍與評價標準.我們可以進一步研究兩物體運動過程中的速度、受力情況等物理量隨小球位置變化的具體關(guān)系,從而得到橢圓槽情境與圓弧槽情境的區(qū)別與聯(lián)系,以讓我們對“球槽模型”的運動情況產(chǎn)生更為全面且深刻的認識.

2 球與槽的速度隨角度及質(zhì)量比的變化關(guān)系

為便于研究,我們首先以橢圓槽為參考系,以橢圓中心為原點,建立如圖2所示直角坐標系x′O′y′.由于該坐標系與橢圓槽相對靜止,槽相對地面運動,我們將該坐標系與橢圓槽合稱為動系S′.設(shè)運動過程中小球與橢圓槽相對地面的速度大小分別為v1、v2,小球相對動系S′的速度為v3,v3與水平方向的夾角為θ.

圖2 動系S′與相對速度示意圖

在坐標系x′O′y′中,橢圓的參數(shù)方程為

x=acosα,

y=bsinα.

其中α為橢圓的離心角(0≤α≤π),a、b分別為橢圓的半長軸、半短軸.

(1)

(2)

此處便是“球槽模型”中橢圓槽與圓弧槽的區(qū)別之一,圓弧槽中的角度存在簡單的幾何關(guān)系,而在橢圓槽中我們可對橢圓的參數(shù)方程進行求導(dǎo)得到相對速度與水平方向的夾角和橢圓離心角的關(guān)系,且二者是一一對應(yīng)關(guān)系,從而起到減少未知量的作用.

根據(jù)運動的相對性,在水平方向有

v1x=v3cosθ-v2,

(3)

在豎直方向有

v1y=v3sinθ.

(4)

又因為

(5)

由式(3)～(5)可得

(6)

在地面參考系中,根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律有

mv1x=Mv2,

(7)

(8)

將式(3)(6)代入式(7)可得

(9)

將式(9)及y=bsinα代入式(8)得

(10)

將式(10)代入式(9)可得

(11)

將式(3)(11)代入式(7)可得

(12)

令k=M/m,將式(1)(2)相應(yīng)代入式(10)～(12)經(jīng)整理后可得

(13)

(14)

(15)

其中C1=a2sin2α+b2cos2α.

觀察式(10)～(12)可知小球和橢圓槽的對地速度與相對速度均與橢圓的形狀大小(a、b的值)、兩者的質(zhì)量關(guān)系、橢圓離心角α3個因素有關(guān),而橢圓槽的形狀大小一般不發(fā)生變化,下面探究在不同的質(zhì)量比值下二者的速度隨角度α的變化規(guī)律.

我們不妨取a=2、b=1、g=10 m/s2,利用GeoGebra軟件的繪制函數(shù)圖像功能分別作出在不同k值下v1、v2、v3隨角度α的變化圖線,以直觀地反映小球與橢圓槽的速度隨角度的變化規(guī)律,分別如圖3、圖4、圖5所示.

圖3 不同k值下v1隨角度α的變化規(guī)律

圖4 不同k值下v2隨角度α的變化規(guī)律

圖5 不同k值下v3隨角度α的變化規(guī)律

結(jié)合圖3與式(13)我們發(fā)現(xiàn),小球的速度是否在最低點達到最大值取決于a、b的值與k值的大小.筆者通過GeoGebra軟件的讀數(shù)功能發(fā)現(xiàn)在a=2、b=1這一前提下,k=1恰好是小球的速度在最低點達到最大的臨界值,即當k≥1時,v1隨角度α變化的圖像在定義域內(nèi)只有一個極大值點α=π/2;當0

通過對比發(fā)現(xiàn),v1的變化特征與文獻[6]中小球在圓弧槽內(nèi)運動的速度特征相同,小球的速度是否在最低點達到最大值與兩物體的質(zhì)量比k值有關(guān).因此無論是橢圓槽還是圓弧槽,我們都不能簡單地認為小球的速度在最低點取得最大值,這也是設(shè)計此類問題時容易出現(xiàn)的錯誤,值得我們留意.

從圖4、圖5中可直觀看出,無論k取何值,在α∈(0,π/2)的范圍內(nèi),橢圓槽相對地面的速度v2與小球相對橢圓槽的速度v3均隨角度α的增大而增大,且k值越小、α=π/2時v2與v3的值越大.兩速度隨角度變化的圖線均關(guān)于直線α=π/2對稱.

3 彈力隨角度及質(zhì)量比的變化關(guān)系

如圖6所示,設(shè)運動過程中橢圓槽相對地面的加速度大小為a2,二者之間的彈力大小為N,由于橢圓槽為非慣性系,則小球在動系S′中除了受重力和彈力以外,還受一個與a2方向相反的慣性力F*=ma2的作用.

圖6 小球受力分析示意圖

由數(shù)學(xué)知識可知小球在動系S′中運動軌跡的曲率半徑為

(16)

在動系S′中,對小球速度的法向有

(17)

對橢圓槽運用牛頓第二定律有

Nsinθ=Ma2.

(18)

聯(lián)立式(1)(2)(12)(16)(17)(18)解得

(19)

(20)

其中C2=Ma2sin2α+(M+m)b2(cos2α+2).

令k=M/m,同樣取a=2、b=1,利用GeoGebra軟件繪制出在不同k值下N/mg隨角度α的變化圖線,如圖7所示.

圖7 不同k值下N/mg隨角度α的變化規(guī)律

由圖7可知,當k值較小時小球與橢圓槽之間的彈力在最低點取得最大值,而當k值較大時彈力在最低點取得極小值,彈力的兩個極大值點關(guān)于直線α=π/2對稱.其中的原因在于雖然由圖5知二者相對速度v3的最大值在小球運動至最低點時取得,但結(jié)合式(16)(17)可知小球運動過程中對應(yīng)的曲率半徑在不斷發(fā)生變化,因此彈力的最大值不一定在最低點取得.而在圓弧槽情境中,無論兩物體的質(zhì)量關(guān)系如何,小球與槽之間的彈力最大值均在最低點處取得,[7]這也是兩種情境的不同之處.

此外,若我們令M/m=2,a=b,則當α=π/2時由式(20)可計算出彈力N=4mg,該結(jié)果與文獻[3]中圓弧槽情境所得結(jié)果相同,這也說明了圓弧槽情境是橢圓槽情境的一種特殊情形.

4 結(jié)束語

本文通過對2023年高考湖南物理卷壓軸題進行深入剖析,得出了該題小球與橢圓槽在運動過程中的3個速度、相互作用力隨橢圓離心角α變化的具體表達式,結(jié)合GeoGebra軟件的繪制函數(shù)圖像功能作圖形象展示了各物理量在不同的質(zhì)量比下隨角度α的變化規(guī)律,并具體指出了“球槽模型”中橢圓槽情境與圓弧槽情境在一些物理規(guī)律上的區(qū)別與聯(lián)系,期望能夠解決師生對該模型存在的一些疑惑,同時能為讀者提供對“球槽模型”多角度的認識.最后需要指出的是,若小球的質(zhì)量過重而橢圓槽的質(zhì)量過輕,即k=M/m過小時,由力矩相關(guān)知識可知小球在下滑過程中可能會導(dǎo)致橢圓槽發(fā)生傾翻,由于該情形的研究過于復(fù)雜,因此本文中所有問題均是在橢圓槽不傾翻的前提下進行討論.