基于科學(xué)建模理論的問(wèn)題解決分析
——以2023年全國(guó)乙卷25題為例

陳姝潔 孫慶全 邢紅軍

(首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院,北京 10048)

高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)將學(xué)科核心素養(yǎng)凝練為物理觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究、科學(xué)態(tài)度與責(zé)任,是學(xué)生在解決真實(shí)復(fù)雜問(wèn)題過(guò)程中的綜合表現(xiàn),更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生綜合運(yùn)用物理知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,同時(shí)要求學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,在真實(shí)情境中能夠再現(xiàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程與方法,具有建構(gòu)物理模型的意識(shí)與能力,真正從“解題”向“解決問(wèn)題”轉(zhuǎn)變.[1]

以2023年全國(guó)高考乙卷第25題為例,該題突出真實(shí)問(wèn)題情境的設(shè)計(jì),選取鮮活素材,貼近學(xué)生實(shí)際,考查動(dòng)量守恒定律、動(dòng)力學(xué)、能量守恒關(guān)系等基本概念和規(guī)律.問(wèn)題中關(guān)于物體的位移、多次碰撞的隱含條件的問(wèn)題設(shè)置,學(xué)生需要研究復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題并建構(gòu)物理模型,進(jìn)而進(jìn)行相應(yīng)推理論證,是對(duì)學(xué)生科學(xué)思維能力的考查,充分體現(xiàn)出學(xué)業(yè)水平考試對(duì)物理規(guī)律精細(xì)應(yīng)用的要求,以及對(duì)模型構(gòu)建深化分析的要求.[2]

海斯特斯認(rèn)為,科學(xué)研究(學(xué)習(xí))的過(guò)程就是對(duì)自然界建模的過(guò)程.我們可以通過(guò)模型構(gòu)建來(lái)解決生產(chǎn)、生活中存在的問(wèn)題,也能夠解決科學(xué)學(xué)習(xí)乃至科學(xué)研究中存在的問(wèn)題.物理建模的過(guò)程是讓學(xué)生針對(duì)具體的物理問(wèn)題,針對(duì)某一情景進(jìn)行分析,抓住主要因素,忽略次要因素,在頭腦中建構(gòu)一個(gè)簡(jiǎn)化的模型,并借助科學(xué)方法解決問(wèn)題的過(guò)程.有研究者提出了以協(xié)同學(xué)理論為基礎(chǔ)的科學(xué)建模理論,把模型建構(gòu)的問(wèn)題表征過(guò)程看作連續(xù)與突變相結(jié)合、獨(dú)立與關(guān)聯(lián)相結(jié)合、協(xié)同與競(jìng)爭(zhēng)相結(jié)合、控制與自發(fā)相結(jié)合、必然與偶然相結(jié)合的自組織表征過(guò)程,[3]能夠幫助學(xué)生搭建解決真實(shí)問(wèn)題的臺(tái)階.鑒于此,本文以科學(xué)建模的問(wèn)題表征理論為理論基礎(chǔ),研究并解答2023年全國(guó)高考乙卷理綜第25題,以期為科學(xué)建模的教學(xué)提供有益啟示.

1 運(yùn)用科學(xué)建模理論解決問(wèn)題

2023年全國(guó)高考乙卷理綜第25題如下:

如圖1,一豎直固定的長(zhǎng)直圓管內(nèi)有一質(zhì)量為M的靜止薄圓盤(pán),圓盤(pán)與管的上端口距離為l,圓管長(zhǎng)度為20l.一質(zhì)量為m=M/3的小球從管的上端口由靜止下落,并撞在圓盤(pán)中心,圓盤(pán)向下滑動(dòng),所受滑動(dòng)摩擦力與其所受重力大小相等.小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)與管壁不接觸,圓盤(pán)始終水平,小球與圓盤(pán)發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短.不計(jì)空氣阻力,重力加速度大小為g.求

圖1 第25題圖

(1) 第1次碰撞后瞬間小球和圓盤(pán)的速度大小;

(2) 在第1次碰撞到第2次碰撞之間,小球與圓盤(pán)間的最遠(yuǎn)距離;

(3) 圓盤(pán)在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,小球與圓盤(pán)碰撞的次數(shù).

對(duì)于模型建構(gòu),科學(xué)建模理論包含6個(gè)表征層次,分別為抽象表征、賦值表征、圖像表征、知識(shí)表征、方法表征和數(shù)學(xué)表征.應(yīng)當(dāng)指出的是,這6個(gè)表征之間不是孤立的,而是互相聯(lián)系的.人們?cè)谶M(jìn)行科學(xué)建模時(shí),往往會(huì)在不同的表征之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換,其中抽象表征、賦值表征、圖像表征、知識(shí)表征、方法表征、數(shù)學(xué)表征的順序可以根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行調(diào)整或反復(fù)使用同一表征,直至模型建構(gòu)完成.[3]下面,我們依據(jù)該理論進(jìn)行分析.[4]

1.1 抽象表征

抽象表征是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行去粗留精、去偽存真、由表及里的改造和加工過(guò)程.它需要去除研究對(duì)象表現(xiàn)出的假象,忽略研究對(duì)象的表面特征,抓住研究對(duì)象的本質(zhì),從而獲得關(guān)于研究對(duì)象的普遍與本質(zhì)認(rèn)識(shí).本題中交代小球從管的上端口由靜止下落,并撞在圓盤(pán)中心,圓盤(pán)向下滑動(dòng),所受滑動(dòng)摩擦力與其所受重力大小相等,小球與圓盤(pán)發(fā)生的碰撞均為彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短.在純粹狀態(tài)下對(duì)小球和圓盤(pán)的性質(zhì)和規(guī)律進(jìn)行考察,經(jīng)歷隔離、簡(jiǎn)化、提煉過(guò)程,排除小球和圓盤(pán)形狀等非本質(zhì)因素,把小球和圓盤(pán)抽象為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn).運(yùn)動(dòng)情景抽象為小球先經(jīng)歷自由落體運(yùn)動(dòng),后與圓盤(pán)發(fā)生完全彈性碰撞,碰撞結(jié)束后圓盤(pán)受力平衡做勻速直線運(yùn)動(dòng),小球繼續(xù)做自由落體運(yùn)動(dòng).

1.2 賦值表征

賦值表征是模型建構(gòu)特有的一種表征狀態(tài),這一環(huán)節(jié),需要根據(jù)解決問(wèn)題的需求,設(shè)置常量、變量和中間變量.賦值表征中需要聯(lián)系抽象表征中抽離出的自由落體運(yùn)動(dòng)和完全彈性碰撞模型,其次通過(guò)深入分析,發(fā)現(xiàn)需要運(yùn)用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律,最后進(jìn)行賦值.設(shè)小球自由落體運(yùn)動(dòng)l高度后,即碰撞前的速度為v0,第1次碰撞后小球的速度為v1,圓盤(pán)的速度為v0′.

1.3 圖像表征

圖像表征是把抽象出來(lái)的研究對(duì)象用圖像的形式加以表征的過(guò)程.圖像表征一般經(jīng)歷感知、想象、作圖3個(gè)過(guò)程,對(duì)小球做自由落體運(yùn)動(dòng)和與圓盤(pán)彈性碰撞而后又做勻速直線運(yùn)動(dòng)的真實(shí)情景可以給出圖2的圖像表征.

圖2 示意圖

圖3 圓盤(pán)下降示意圖

1.4 知識(shí)表征

知識(shí)表征是確定模型構(gòu)建需要使用的概念和規(guī)律并加以運(yùn)用的過(guò)程.科學(xué)建模是運(yùn)用不同知識(shí)來(lái)逐步構(gòu)建物理模型的過(guò)程,故該部分處于物理建模的核心地位.對(duì)于上述的真實(shí)情景,通過(guò)判斷、提取、應(yīng)用可以得出需要運(yùn)用的物理概念與規(guī)律為動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、平衡狀態(tài)特征、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式,它們需要在建模的不同階段分別加以應(yīng)用.

1.5 方法表征

方法表征是確定模型構(gòu)建中所需科學(xué)方法并加以應(yīng)用的過(guò)程.科學(xué)方法分強(qiáng)認(rèn)知方法和弱認(rèn)知方法,強(qiáng)認(rèn)知方法可稱(chēng)之為學(xué)科方法,弱認(rèn)知方法可稱(chēng)之為思維方法,模型構(gòu)建中的方法主要是指學(xué)科方法.[1]對(duì)于上述情景,結(jié)合物理學(xué)科概念、學(xué)科規(guī)律以及數(shù)學(xué)知識(shí),可以得到方法表征包括受力分析法、理想化方法(將小球與圓盤(pán)極短時(shí)間內(nèi)碰撞看作完全彈性碰撞,無(wú)機(jī)械能損失)以及演繹推理法.[5]

1.6 數(shù)學(xué)表征

數(shù)學(xué)表征是指在模型建構(gòu)過(guò)程中選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具并進(jìn)行必要的推導(dǎo)時(shí)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)步驟.該過(guò)程包括選擇數(shù)學(xué)工具、列方程、驗(yàn)證模型3個(gè)步驟.對(duì)于上述真實(shí)情景,其數(shù)學(xué)表征如下.

小球釋放后自由下落,下降l,根據(jù)機(jī)械能守恒定律

(1)

(2)

mv0=mv1+Mv1′,

(3)

解得

(1) 第1次碰撞.

第1次碰后,根據(jù)結(jié)果再次經(jīng)歷抽象表征可得到小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng),圓盤(pán)摩擦力與重力平衡,勻速下滑,通過(guò)演繹推理法分析可知,只要圓盤(pán)下降速度比小球快,二者間距就不斷增大,當(dāng)二者速度相同時(shí),間距最大,經(jīng)歷賦值表征設(shè)兩者速度相同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,最大間距為dmax,小球運(yùn)動(dòng)位移為x球,圓盤(pán)運(yùn)動(dòng)位移為x盤(pán),得出數(shù)學(xué)表征如下.

v1+gt=v1′,

(4)

(5)

(2) 第2次碰撞.

經(jīng)歷抽象表征、方法表征分析可知,第一次碰撞后到第2次碰撞時(shí),兩者位移相等,再次借助知識(shí)表征中的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律,對(duì)所需過(guò)程量進(jìn)行賦值,則有x盤(pán)1=x球1,即

(6)

mv2+Mv1′=mv2′+Mv2″,

(7)

(8)

(3) 第3次碰撞.

之后二者第3次發(fā)生碰撞,碰前小球的速度v3=gt2=2v0,根據(jù)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒有

mv3+Mv2″=mv3′+Mv3″,

(9)

(10)

(4) 第4次碰撞.

當(dāng)二者即將4次碰撞時(shí)x盤(pán)3=x球3,即

(11)

(12)

此時(shí)將幾次碰撞圓盤(pán)下降長(zhǎng)度借助圖像表征直觀表達(dá)出來(lái),如圖3所示.

第4次碰撞后圓盤(pán)距離下端管口長(zhǎng)度為20l-l-2l-4l-6l=7l,經(jīng)歷方法表征中的演繹推理法和歸納法,可得出圓盤(pán)每次碰后到下一次碰前,下降距離逐次增加2l,故若發(fā)生下一次碰撞,圓盤(pán)將向下移動(dòng)x盤(pán)4=8l.則第4次碰撞后落出管口外,因此圓盤(pán)在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,小球與圓盤(pán)的碰撞次數(shù)為4次.

2 啟示

2.1 重視抽象表征,抓住研究對(duì)象本質(zhì)

在研究和解決物理問(wèn)題時(shí),要求學(xué)生能夠通過(guò)科學(xué)的抽象,去粗取精、去偽存真,并且能夠識(shí)別形異而質(zhì)同或形同而質(zhì)異的問(wèn)題,將復(fù)雜的問(wèn)題等效成若干簡(jiǎn)單問(wèn)題.抽象表征是科學(xué)建模的問(wèn)題表征理論的第一步,它需要去除研究對(duì)象表現(xiàn)出的假象,忽略研究對(duì)象的表面特征,抓住研究對(duì)象的本質(zhì),從而獲得關(guān)于研究對(duì)象的普遍與本質(zhì)認(rèn)識(shí).[3]因此,科學(xué)建模的順利展開(kāi)就要求學(xué)生具有較高的抽象表征能力.

本題中,學(xué)生要將整個(gè)情景抽離成小球的自由落體運(yùn)動(dòng)、小球圓盤(pán)多次碰撞、圓盤(pán)每次碰撞后勻速運(yùn)動(dòng),厘清情景的本質(zhì)問(wèn)題是多次的完全彈性碰撞.而后在頭腦中整合相關(guān)知識(shí),通過(guò)自由落體運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)得出小球碰撞前速度,運(yùn)用動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律得出碰撞后速度,再運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律解決位移問(wèn)題,最后需要結(jié)合演算數(shù)據(jù)判斷碰撞能夠發(fā)生幾次的實(shí)際問(wèn)題.由此可見(jiàn),抽象表征是科學(xué)建模的關(guān)鍵一步,培養(yǎng)學(xué)生的抽象表征能力有利于抓住研究對(duì)象本質(zhì),從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化與提煉.

2.2 掌握科學(xué)建模方法,提高問(wèn)題解決能力

構(gòu)成模型的要素是不變的,但這些要素在科學(xué)建模的過(guò)程中是動(dòng)態(tài)的.科學(xué)建模的問(wèn)題表征理論,其包含的抽象表征、賦值表征、圖像表征、知識(shí)表征、方法表征、數(shù)學(xué)表征雖然是不變的,但科學(xué)建模的過(guò)程并不一定嚴(yán)格遵循這樣的順序,我們可以根據(jù)需要調(diào)整這些表征的順序或反復(fù)使用其中的一些表征.同時(shí),這些表征之間還存在相互作用.上述題目中,小球自由落體運(yùn)動(dòng)和第1次碰撞需要先完整地經(jīng)歷6個(gè)表征,在第2次、3次碰撞中知識(shí)表征、方法表征和數(shù)學(xué)表征需要反復(fù)經(jīng)歷,下一次碰撞情景的表征過(guò)程依賴(lài)于前一次的數(shù)學(xué)表征所得結(jié)果.而圖像表征也是貫穿于整個(gè)多次碰撞情景中,不斷在原圖上進(jìn)行修改完善.這就要求學(xué)生掌握科學(xué)建模方法,明晰6種表征的概念及其過(guò)程,進(jìn)而在解決問(wèn)題中充分應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)科學(xué)模型的建構(gòu),提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力.[6]

2.3 訓(xùn)練演繹推理思維,促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展

演繹推理是從一般性結(jié)論推出個(gè)別性結(jié)論的方法,即由已知的某些一般原理、定理、法則、公理或科學(xué)概念出發(fā),推出新結(jié)論的思維活動(dòng).[7]演繹推理作為科學(xué)思維方法之一,是從一般到特殊的推理,展現(xiàn)出學(xué)生思維的嚴(yán)密性.物理演繹推理基本遵循邏輯學(xué)中演繹推理的三段論模式,三段論是由大前提(已知的一般原理)及小前提(研究的特殊情況)推出一個(gè)新的結(jié)論(根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出判斷)的演繹推理.[8]上述題目中,第1次碰撞圓盤(pán)下降距離為2l,第2次碰撞下降距離為4l,我們可以猜測(cè)第3次下降為6l,經(jīng)過(guò)演算驗(yàn)證猜測(cè)正確,則可得出圓盤(pán)每次碰后到下一次碰前,下降距離逐次增加2l的新結(jié)論.由已知的普遍結(jié)論探索出新結(jié)論的過(guò)程,需要學(xué)生有一定的思維能力.這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生產(chǎn)生探索欲望,使學(xué)生對(duì)新情境下問(wèn)題開(kāi)展演繹推理,即學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下,清楚自己要進(jìn)行演繹推理,才能得到結(jié)論.