“做數學”的教學實踐與思考
——以“滾動的圓:探索圓心運動的路徑”為例*

徐 夢

(江蘇省蘇州工業園區景城學校 215000)

王曉峰

(江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215000)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:“學生的學習應是一個主動的過程,認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式．”[1]在數學教學過程中,如果只是讓學生聽老師講數學知識,而缺少讓學生主動參與的過程,則會讓課堂死氣沉沉,學生也很難主動運用知識解決問題．試想,如果在數學課上,學生不是單一地接受老師講解數學知識點,而是自己主動地參與其中,從生活情境中發現問題并提出問題,然后通過“做數學”的方式主動探究和研究,總結出數學規律,最后用自己探尋出的數學知識解決問題,那么經歷了這樣的學習過程的學生一定能逐步發展自身的數學核心素養．在這過程中教師要做好課堂的組織者和引導者的角色,要認識到“做”是基礎,是重點,是中心．

“做數學”是學生運用材料和工具,在動手動腦相協同的過程中,通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動,理解數學知識、探究數學規律、解決問題的一種數學學習方式,是發展數學核心素養、實現數學學科育人的一種范式[2]．本文分享一則基于“做數學”的數學實驗教學案例——“滾動的圓:探索圓心運動的路徑”．

1 教學目的

以滾動的圓形紙片為實驗對象,設計數學實驗方案．通過動手“做”、用眼“看”、動腦“想”發展學生的幾何直觀,幫助學生提高解決數學問題的能力．從生活中滾動的圓這一實例出發,引出驅動型問題．在引導學生認識和探究現實世界的過程中,發展他們的好奇心、想象力和創新意識．

讓學生通過數學實驗的方式,經歷數學知識“再發現”的過程,發展批判性思維,培養其有條理的思維習慣和理性精神．學生通過小組合作自主探究出相應的數學結論并將其拓展延伸,培養其小組合作能力以及實踐能力和創新意識．

2 教學內容

引導學生通過容易上手的數學實驗一起探尋圓形紙片在不同載體線(曲線、直線)及不同載體背景(三角形、四邊形、多邊形、圓、任意不規則平面圖形)中滾動時圓心的路徑及其長度的規律．一方面是幫助中考復習中的學生鞏固《圓》這一章節中與圓有關的計算問題,提高解題能力;另一方面是通過數學實驗的過程,讓學生感受動態的幾何,提升發現問題和提出問題的能力,并在“做數學”中鍛煉學生的動手能力和思維能力,增強幾何直觀,發展學生的數學核心素養．

從生活中來到生活中去的數學實驗內容讓學生感知到生活中處處有數學,也激發學生學習數學的興趣,體現了數學實驗獨有的魅力．

3 教學過程

3.1 手腦協同 探索方法

環節1 探索圓形紙片在直線上滾動時圓心的路徑及路徑長．

從生活中滾動的圓這一實例引入(如行駛中的汽車輪胎、小時候的推圈游戲等),引導學生猜想:汽車在平路上行駛時,其輪胎所在圓的圓心走過的路徑是怎樣的?

數學實驗 如圖1,利用直尺和圓形紙片模擬過程．學生用筆尖戳著圓形紙片的圓心,保持直尺不動,將紙片滾動一周,觀察圓心的路徑,并計算其長度．

問題 圖2為一個圓心角為60°、半徑為1的扇形,在其滾動過程中,圓心經過的路徑是怎樣的?如何計算它的長度?

設計意圖這一環節先是以生活中滾動的圓引入課堂,讓學生感知數學來源于生活,讓學生會用數學的眼光認識和探究現實世界．通過用直尺和圓片做數學實驗的方式,學生很快便能探索出圓在直線上滾動時圓心的路徑．后面給出的扇形在直線上滾動的問題,鏈接了中考真題,是圓形滾動問題的擴展,利于知識的內化,學生通過探究解決問題,也能激發他們的自信心和學習熱情．

3.2 引導發現 發展思維

環節2 探索圓形紙片在折線上滾動時圓心的路徑及路徑長．

引導學生觀察并思考,我們在前進時,不會總是一帆風順的,汽車行進時,也會遇到爬坡甚至遇到凹坑,那么此時輪胎所在圓的圓心的路徑會發生改變嗎?還是一條直線嗎?

數學實驗 如圖3、圖4,利用梯形卡紙、有凹槽卡紙和圓形紙片模擬過程(可用廢舊快遞盒改造),探究此時圓心的路徑及路徑長．

圖3

問題1改變坡度,即改變折角的大小,結果會發生怎樣的改變?

問題2如果在平面圖形外側滾動圓,圓心的路徑及其長度又是怎樣的?

問題3將特殊三角形(等邊三角形、三角板)變成一般三角形甚至變為任意的多邊形,圓心的路徑是怎樣的,它的長度又是怎樣的?嘗試以小組為單位探究出一般結論．

設計意圖這一環節引導學生在真實的情境中發現問題和提出問題,并通過“做數學”的形式,小組討論交流出一般結論:當圓形紙片在多邊形外側滾動一周時,其路徑長為多邊形的周長+圓的周長．在這一過程中,發展學生的批判性思維,幫助其逐步養成實事求是的科學態度和嚴謹求真的數學素養．

3.3 運用遷移 提升能力

環節3 探索圓形紙片在三角形內部滾動時圓心的路徑及路徑長．

根據觀察,生活中很多掃地機器人都是圓形,那么掃地機器人在某個房間清掃時(假設無障礙物),它是否能接觸并清掃全部的地面?

數學實驗 如圖5,利用鏤空卡紙和圓形紙片模擬過程,探究在等邊三角形內部時,圓心所能接觸到的圖形是什么并計算其面積及周長．

圖5

問題1如果一個半徑為1的圓形紙片在邊長為6的等邊三角形內運動,圓心能接觸到的圖形是什么?周長為多少?

問題2圓心到三角形邊的距離d的取值范圍是多少?

問題3圓心到三角形頂點的距離的取值范圍是多少?

設計意圖這一環節將滾動圓的載體背景從外部轉移到內部,和生活中的掃地機器人的運動軌跡聯系起來,讓學生更易理解．從“做數學”到“用數學”,學生對數學知識有了更多的理解,逐漸積累數學經驗．在運用和遷移知識的過程中,也提高了自己解決問題的能力．

4 教學啟示

(1)“做數學”可以促進學生對知識的深度理解

如果學生在課堂學習時只是單一地接受教師對知識的講授,那么數學學習就會變得被動而缺乏活力．要想讓知識變得鮮活,學生就要經歷真實的探究和使用的過程．數學的教學應該以學生為主體,通過學生“做數學”的方式,經歷自己動手操作、主動探索、發現規律的過程,于無形中促進其對知識的深度理解．例如,在探索滾動圓的圓心運動路徑的過程中,如果教師直接告知學生結論,學生無法理解背后的“為什么”,也會很快遺忘．但如果有了數學實驗的過程,學生就能很直觀地 感知到圓心是如何運動的,并且根據自己的探究總結出規律,從而舉一反三．即使改換條件,學生也能抓住其本質,將問題解決．通過“做數學”實現教、學、做合一,不僅可以讓數學課堂有效幫助學生深度理解抽象的數學概念,也能幫助學生深度理解圖形的基本性質,還能幫助學生深度理解數學的模型方法．在數學學習過程中,學生所運用的學習素材、所采用的學習方式、所經歷的學習過程、所進行的數學思考,都在一定程度上決定了其對數學知識的理解深度[3]．

(2)“做數學”可以推動學生的自主探究

數學是一門邏輯性、抽象性很強的學科,很多學生被動接受了數學概念,其實并沒有掌握正確的學習方法和數學思維．因此,在課堂中引入探究式學習就非常必要,它能很好地調動學生的學習積極性,提高他們主動學習、主動思考的能力．顯然,“做數學”能很好地推動學生的自主探究．例如,在滾動圓的圓心路徑探究教學過程中,引導學生通過容易上手的數學實驗一起探尋圓形紙片在不同載體線(曲線、直線)及不同載體背景(三角形、四邊形、多邊形、圓、任意不規則平面圖形)中滾動時圓心的路徑及其長度的規律,學生在這一過程中一步步發展自己的思維,獨立自主地思考并解決問題．再如在“覆蓋圖形——探究最小覆蓋圓與圖形之間的關系”案例教學中,教師可以圍繞著用圓形布料補衣服缺口這一問題情境,不斷引導學生一步步探究出線段、三角形及四邊形的最小覆蓋圓．通過動手操作和觀察發現,學生自主探究出最小覆蓋圓和不同圖形之間的關系．特別是在講到四邊形的最小覆蓋圓問題的時候,先由特殊的正方形、矩形、菱形出發,讓學生動手探究出結論,之后將特殊四邊形變為一般四邊形,引導學生分類并探索,啟發學生先將問題轉變成覆蓋三角形的問題,最后探究出結論．在整個過程中可以看到,數學實驗教學確實能推動學生的自主探究,通過數學實驗“做數學”的課堂,以“做”為教學支架,促進學生提出問題、分析問題并解決問題．

(3)“做數學”可以催化學生的實踐創新

陶行知曾說:“手和腦一塊兒干,是創造教育的開始;手腦雙全,是創造教育的目的．”教師應該把“想”的權利、“做”的權利、“學”的權利都還給學生．在探索滾動圓的圓心運動路徑時,將圓滾動的載體背景從直線到折線到平面圖形內部,再到平面圖形的外部,并且可以延伸成圓形紙片在任意多邊形內部或外部滾動時圓心路徑的規律特征探索．再比如在“折紙——計算特殊角的三角函數值”案例中,教師引導學生通過折疊特殊的紙片折出特殊角,并在折疊的過程中引導學生嘗試計算折痕、角度、三角函數值．而在讓學生嘗試解決問題的過程里,我們可以將要折疊的正方形紙片和等邊三角形紙片替換成矩形紙片、含30°的紙片,甚至是一張沒有具體形狀的普通紙片．這一過程無疑催化了學生的實踐創新,激發了學生的思維火花．“做數學”既包含體驗性的“做”,也包含了有意識的“用”．學生在“用”的過程里內化知識與方法,也在無形中培養了創新精神和實踐能力．