不同載荷邊界典型負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)等效力學(xué)建模

張 燾,王立民,周志壇,卞云龍,馮帥星,高 靖

(1.國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410073; 2.中國(guó)航天科工集團(tuán)有限公司六院四十一所, 呼和浩特 010010; 3.南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院, 南昌 330000)

0 引言

超力學(xué)結(jié)構(gòu)是指具有反常力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)[1],如當(dāng)前最常見(jiàn)的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)[2]。負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)受壓縮后會(huì)表現(xiàn)出收縮而非膨脹的反常現(xiàn)象,收縮部分會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)致密化,從而提高結(jié)構(gòu)的抗載能力;受拉伸載荷作用則會(huì)出現(xiàn)膨脹的反常現(xiàn)象,使得結(jié)構(gòu)體積增大、抗斷裂能力增強(qiáng)。負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的力學(xué)現(xiàn)象通常稱為負(fù)泊松比效應(yīng),其包括壓縮-收縮現(xiàn)象和拉伸-膨脹現(xiàn)象,后者也稱為拉脹效應(yīng)[3]。負(fù)泊松比效應(yīng)能帶來(lái)緩沖吸能減震、抗剪切性能、曲面同向性等效應(yīng)[4],被廣泛應(yīng)用為汽車、航空、航天及武器裝備結(jié)構(gòu)件。負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的最大優(yōu)勢(shì)在于輕量化高抗力及可控的力學(xué)性能,是固體火箭關(guān)鍵結(jié)構(gòu)的潛在方案,如發(fā)動(dòng)機(jī)不規(guī)則外襯、曲面外殼及精密儀器減震底座等,能大幅提高固體火箭的運(yùn)載能力。因此,開(kāi)展負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)力學(xué)理論模型研究對(duì)其在固體火箭上的具體應(yīng)用具有重要意義。

當(dāng)前關(guān)于負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的研究主要集中于新型結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用、彈塑性等效理論力學(xué)模型的建立及結(jié)構(gòu)負(fù)泊松比效應(yīng)的有限元分析。Jiang等[5]設(shè)計(jì)了具有雙弧形側(cè)壁的內(nèi)凹六邊形金屬負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu),并基于LS-DYNA進(jìn)行了爆炸沖擊響應(yīng)分析。Zhao等[1]基于內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)了曲面負(fù)泊松比結(jié)構(gòu),并進(jìn)行了簡(jiǎn)單的等效彈性力學(xué)理論建模、開(kāi)展了有限元分析。Guo等[6]基于歐拉梁理論對(duì)內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)和星形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了等效彈性力學(xué)建模,獲取了結(jié)構(gòu)的等效泊松比和等效彈性模量,并通過(guò)有限元分析進(jìn)行了驗(yàn)證。趙昌方等[7-8]針對(duì)內(nèi)凹六邊形多胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)拉壓和動(dòng)態(tài)小球沖擊數(shù)值研究,主要討論了結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)、力學(xué)特性及吸能效果。李功明等[9]采用能量法推導(dǎo)了內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)泊松比的理論解。隨著先進(jìn)復(fù)合材料制備技術(shù)的發(fā)展,一些學(xué)者引入纖維復(fù)合材料設(shè)計(jì)了負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)[10-13],如具有超高比吸能效益的碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料[14],以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化和高性能優(yōu)勢(shì)的融合。然而,上述研究大多是數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究,關(guān)于理論力學(xué)模型的研究較少、模型中設(shè)置的載荷邊界條件較為單一,且未考慮橫梁的變形情況。實(shí)際應(yīng)用中,例如固體火箭的噴管和外殼,其載荷邊界包括均布載荷、集中載荷及其他復(fù)雜載荷情況。

在增材制造技術(shù)的刺激下,越來(lái)越多的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)被設(shè)計(jì)、制備和應(yīng)用到各種工程領(lǐng)域。在這樣的發(fā)展?jié)摿ο?負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)的理論力學(xué)研究顯得更加重要,是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和應(yīng)用的基本指南,亟需進(jìn)一步發(fā)展。內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)是一類經(jīng)典的雙箭頭結(jié)構(gòu),其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單容易制備、負(fù)泊松比效應(yīng)有保障、可實(shí)現(xiàn)二維到三維的轉(zhuǎn)化,是研究最廣泛的一種超力學(xué)結(jié)構(gòu)。為此,本文甄選內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象,基于歐拉梁理論建立了均布加載、平板加載和集中力加載情況下的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)等效彈性模型,獲取了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對(duì)等效泊松比和等效彈性模量的影響規(guī)律,并通過(guò)有限元分析揭示了結(jié)構(gòu)的變形特征、驗(yàn)證了理論模型的有效性。

1 等效力學(xué)理論建模

1.1 基本假設(shè)與幾何結(jié)構(gòu)

內(nèi)凹六邊形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)代表性單元的幾何模型見(jiàn)圖1。其中,橫梁長(zhǎng)度L=35.25 mm,側(cè)梁長(zhǎng)度l=17.21 mm,內(nèi)凹夾角為θ=75°,單元高度為H=33.25 mm,單元寬度為D=37.25 mm,單元厚度為Z=1 mm,單元的壁厚為t=1 mm;高度和寬度的幾何關(guān)系分別為H=2lsinθ、D=2(L-lcosθ),材料為2024-T3鋁合金。3種載荷邊界(均布載荷、平板載荷、集中載荷)的示意如圖1所示。p表示載荷大小。不同載荷邊界將會(huì)產(chǎn)生不同的變形模式,從而影響結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)和承載能力。當(dāng)前的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)大多采用各向同性材料(金屬和聚合物)制備,這些材料的彈性和塑性階段分明,且塑性段相對(duì)較長(zhǎng),對(duì)負(fù)泊松比效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)十分有用。基于Euler梁理論[4]和基本假設(shè)①材料變形處于彈性范圍內(nèi),滿足小變形假設(shè);② 胞壁變形以彎曲為主,且不考慮軸向的拉伸和壓縮,建立不同載荷邊界下的等效彈性力學(xué)理論建模,具體推到過(guò)程及結(jié)論分別如下。

圖1 內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)幾何模型及載荷邊界

1.2 均布載荷邊界

均布載荷加載時(shí),取載荷集度p、材料的彈性模量E、慣性矩I(I=Zt3/12)進(jìn)行受力變形分析。根據(jù)Euler梁理論及載荷邊界可知,橫梁L發(fā)生彎曲變形,變形在梁的中央B點(diǎn)處達(dá)到最大,即是梁的撓度w(δ1);側(cè)壁l的變形為懸臂梁的彎曲收縮變形(δ2和δ3)。因載荷作用線過(guò)結(jié)構(gòu)的縱向?qū)ΨQ軸,且結(jié)構(gòu)橫梁及側(cè)壁的變形高度對(duì)稱,故僅取1/4結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算,如圖2所示。

圖2 1/4結(jié)構(gòu)(a)和梁的變形(b)

(1)

式(1)中:上標(biāo)u表示均布載荷(uniform load);δ1x為δ1在x方向的分量(δ1x=0);δ2x為δ2在x方向的分量,δ3x為δ3在x方向的分量;δ1y為δ1在y方向的分量;δ2y為δ2在y方向的分量,δ3y為δ3在y方向的分量。

橫梁的等效受力可轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用的情況,其變形量δ1(撓度w)可由與梁長(zhǎng)度x有關(guān)的彎矩方程[15]求出,撓曲線微分方程和彎矩方程等式如下:

(2)

積分2次后可得撓度方程

(3)

式(3)中:C1和C2為積分常數(shù),可由邊界條件確定,即

(4)

從而橫梁L的最大變形量δ1可表示為

(5)

側(cè)壁l因受集中力F2=0.5pLsinθ和F3=0.5pLcosθ作用而發(fā)生彎曲變形[4],其變形量δ2和δ3分別為

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(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

1.3 平板載荷邊界

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

1.4 集中載荷邊界

(18)

式(18)中:上標(biāo)c表示集中載荷(concentrated load);wc為集中力作用下的撓度。

(19)

(20)

(21)

根據(jù)圖1,集中載荷作用時(shí),等效應(yīng)力σ3沿橫梁方向逐漸變化,并在載荷作用處達(dá)到最大。因此,結(jié)構(gòu)橫截面上的應(yīng)力不相等,其任一縱截面的名義應(yīng)力是一個(gè)沿寬度變化而變化的函數(shù)。根據(jù)橫梁受載的邊界條件,可構(gòu)造如下的應(yīng)力函數(shù):

(22)

(23)

2 等效理論模型有限元驗(yàn)證

2.1 有限元模型

有限元分析中材料的本構(gòu)模型采用不考慮溫度效應(yīng)的J-C本構(gòu),2024-T3鋁合金的材料參數(shù)來(lái)自文獻(xiàn)[1];密度2.78 g/cm3,彈性模量E=72.2 GPa,泊松比0.35。有限元模型的幾何尺寸與1.1節(jié)保持一致,并采用C3D8R單元進(jìn)行網(wǎng)格離散;通用接觸摩擦系數(shù)設(shè)為0.1,網(wǎng)格尺寸0.5 mm,求解算法為Explicit/Dynamic。均布載荷邊界條件通過(guò)在橫梁L上施加壓力(0.1 MPa)實(shí)現(xiàn),平板載荷邊界通過(guò)對(duì)橫梁L施加縱向的位移實(shí)現(xiàn),集中載荷邊界通過(guò)在橫梁L的中央施加集中力實(shí)現(xiàn)。

2.2 結(jié)果分析

內(nèi)凹六邊形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)在3種邊界載荷條件下的有限元分析結(jié)果如圖3—圖6。當(dāng)邊界為均布載荷時(shí),如圖3所示。結(jié)構(gòu)橫梁L因直接受載而率先發(fā)生變形,這是載荷類型及柔度差異導(dǎo)致的結(jié)果;橫梁L變形類似于簡(jiǎn)支梁的彎曲,其最大變形量即為撓度;側(cè)壁l因受均布載荷的分力作用而發(fā)生彎曲,類似于懸臂梁的彎曲。當(dāng)邊界為平板載荷時(shí),如圖4所示。橫梁L因與平板接觸而不發(fā)生變形,僅縱向上產(chǎn)生位移;側(cè)壁l為唯一的承載部位,發(fā)生懸臂梁型彎曲變形,形成一個(gè)斜S構(gòu)型。

圖3 內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)壓縮變形:均布載荷

圖4 內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)壓縮變形:平板載荷

圖5 內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)壓縮變形:集中載荷

當(dāng)邊界為集中載荷時(shí),如圖5所示。與均布載荷相似,橫梁L先發(fā)生簡(jiǎn)支梁型彎曲變形,且在加載位置處達(dá)到最大;側(cè)壁l受橫梁L彎曲收縮的作用而向內(nèi)運(yùn)動(dòng),基本不發(fā)生變形。內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)壓縮加載等效泊松比如圖6所示。3種載荷邊界條件下內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)都實(shí)現(xiàn)了壓縮-收縮的負(fù)泊松比效應(yīng),其原理為橫梁L受壓后通過(guò)力傳遞引起側(cè)壁l向內(nèi)的彎曲變形;然而,3種載荷邊界引起的負(fù)泊松比值不同,甚至有的出現(xiàn)了正泊松比現(xiàn)象。

圖6 內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)壓縮加載等效泊松比

對(duì)比可知,平板載荷條件下內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)最佳;集中載荷是均布載荷作用的特例,兩者橫梁L的變形類型相似,負(fù)泊松比曲線走勢(shì)也相似,但因外載不同而使得橫梁L和側(cè)壁l變形量的不同,均布載荷因側(cè)壁l也發(fā)生變形而具有更好的負(fù)泊松比效應(yīng)。值得注意的是,均布載荷和集中載荷作用下,結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性大變形階段后內(nèi)凹角處出現(xiàn)應(yīng)力集中,是結(jié)構(gòu)失效的初始位置;平板載荷作用時(shí)應(yīng)力集中則出現(xiàn)在斜S構(gòu)型的中心。

3 結(jié)論

本文針對(duì)3種載荷邊界條件下內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)的變形模式進(jìn)行了分析,基于Euler梁理論建立了相應(yīng)的等效彈性力學(xué)模型,并通過(guò)有限元分析對(duì)理論解進(jìn)行了驗(yàn)證,主要研究結(jié)論如下:

1) 不同載荷邊界條件下結(jié)構(gòu)的變形模式不同,綜合簡(jiǎn)支梁彎曲變形和懸臂梁彎曲變形獲取了均布載荷作用下內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)模型,獲取了結(jié)構(gòu)在平板載荷作用下懸臂梁彎曲變形主導(dǎo)和集中載荷作用下簡(jiǎn)支梁彎曲變形主導(dǎo)的等效力學(xué)模型。

2) 有限元分析結(jié)果指出,達(dá)到一定的壓縮應(yīng)變后,3種載荷邊界作用下內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)都能實(shí)現(xiàn)壓縮-收縮的負(fù)泊松比效應(yīng),其原理為橫梁受壓引起側(cè)壁的向內(nèi)運(yùn)動(dòng);平板加載時(shí)結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)最佳;均布載荷和集中載荷加載時(shí),結(jié)構(gòu)在壓縮初期存在正泊松比現(xiàn)象,且內(nèi)凹角處出現(xiàn)應(yīng)力集中。

3) 均布載荷作用時(shí),內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)的橫梁因載荷類型及柔度差異先發(fā)生彎曲變形,側(cè)壁受均布載荷分力作用進(jìn)而發(fā)生彎曲變形;平板載荷作用時(shí),橫梁因與平板接觸而不發(fā)生變形,僅側(cè)壁發(fā)生彎曲變形,并形成一個(gè)斜S構(gòu)型;集中載荷作用時(shí),橫梁先發(fā)生彎曲變形,而側(cè)壁基本不發(fā)生變形。

4) 等效泊松比預(yù)測(cè)值與有限元分析結(jié)果具有較好的吻合度;在彈性范圍內(nèi),均布載荷條件下結(jié)構(gòu)的等效泊松比為正,平板載荷條件能產(chǎn)生最大的等效負(fù)泊松比,集中載荷條件下等效泊松比接近于零;均布載荷和集中載荷對(duì)應(yīng)的彈性階段較小,負(fù)泊松比曲線都有先正后負(fù)的變化特征。