基于模態分析的寬頻帶振蕩區域定位研究

周生奇，菅學輝，鐘世民，孫鵬菊，李 強

（1.國網山東省電力公司青島供電公司，山東 青島 266002；2.重慶大學，重慶 400044）

0 引言

近年來，我國能源戰略轉型向縱深推進，可再生能源正逐步取代傳統化石能源。風電、光伏等新能源裝機容量不斷增加［1-2］。電力系統“雙高”特性日益顯著，系統安全可靠運行面臨更為復雜的挑戰。由于新能源發電涉及大量電能變換裝置，其中電力電子裝置引發的寬頻帶振蕩對系統穩定性產生較大的影響，使其備受關注［3］。

國內外此類系統運行事故時有報道［4-7］，例如2015 年7 月，哈密地區風電場出現的次同步振蕩甚至導致火電機組跳閘，影響巨大。廣西永福串補輸電系統發生3Hz 附近振蕩，河北沽源風電串補系統發生3～12Hz 振蕩，上海南匯風電柔直系統發生20～30 Hz 振蕩，德國北海風電柔直系統發生250～350 Hz振蕩，浙江舟山柔直系統發生1 000 Hz 附近振蕩，塞罕壩風電系統發生1 050 Hz 附近振蕩，青海光伏發生1 350 Hz 振蕩。上述事故的發生與新能源發電密切相關，隨著清潔能源上網電量不斷增加，新能源系統出力的間歇性、隨機性以及系統阻抗的波動性，導致系統穩定性面臨嚴峻的考驗。所以寬頻帶振蕩研究對建設以新能源為主體的新型電力系統具有重要的意義。

目前針對多逆變器系統的相關研究，主要集中于同類型等效合并分析、系統各部分電流判穩、逆變器與電網的耦合效應分析等方面。文獻［8-9］針對多逆變器并聯諧振問題，將系統中的逆變器作為激勵源，按類別進行分類合并，降低分析復雜度。載波同步時，系統穩定；反之，系統諧振。但是該方法忽略同類激勵源之間的相互影響。文獻［10］推導大型光伏電站系統的閉環特征方程，利用根軌跡對電網阻抗波動的情況進行新能源系統穩定性分析。根據系統閉環極點隨并聯臺數變化的運動軌跡，確定系統穩定運行時并聯逆變器臺數的上限，確定系統安全運行范圍，為系統最大限度安全運行提供參考。但是該方法在逆變器數量較多，且種類較多時，閉環極點的計算量大，影響該方法在實際生產應用中的效果。文獻［11-12］為了簡化多逆變器系統的分析，根據逆變器輸出電流的流動方向進行輸出電流分離。當各部分電流都不發生諧振且穩定，則系統穩定。但是該方法對不同型號逆變器并聯系統分析難度大。文獻［13］認為新能源系統發生諧振的根源在于公共耦合點（point of common coupling，PCC）兩側阻抗發生耦合，若逆變器的輸出阻抗存在負阻尼，當PCC 點兩側的逆變器輸出阻抗和電網阻抗幅頻交點處于該頻段時，系統發生諧振失穩。文獻［14-15］建立了多并網逆變器系統模型，分析系統諧振特性的受影響因素，明確系統各類型參數變化對多逆變器系統諧振特性的影響規律。多臺逆變器并聯系統具有多個諧振頻率，逆變器的數量、類型和組成比例都會對諧振頻率造成影響。文獻［16-18］利用模態分析方法研究濾波器、電網阻抗等系統參數對諧振頻率的影響趨勢，但是文獻只是分析了諧振峰受影響的變化趨勢，并沒有對現象的成因及相關應用進行更加深入分析。

在文獻［19］中，以風電場為例，討論由逆變器引起的有源阻抗和無源阻抗之間的相互作用。這種阻抗之間的相互作用也發生在光伏發電場中，如文獻［20］討論了并聯運行時，電網阻抗值對逆變器電流質量的敏感性問題。文獻［21］中的分析具有系統精確描述的優點，但當逆變器不相同且缺乏模塊化時，因為不同逆變器的加入需要重新進行系統描述，所以變得難以應用。另一方面，基于阻抗的方法可以克服這些缺點，但并沒有給出相應的穩定性貢獻，特別是內部不穩定狀態下，系統各部分對于不穩定的貢獻度。

因此，針對不同型號逆變器并聯系統的寬頻帶振蕩問題，分析其振蕩的產生機理，提出一種基于模態分析的寬頻帶振蕩區域定位方法。根據逆變器參數、線路阻抗參數和電網阻抗參數，建立系統高階導納矩陣，獲取模態阻抗隨頻率的變化曲線，提出節點參與因子來定位振蕩區域。

1 多逆變器系統并網模型

LCL 型濾波器相比于L 型濾波器，具有良好的高頻諧波衰減能力，且LCL 型濾波器中兩個電感的電感量之和小于L 型濾波器的單個電感的電感量，因此體積更小，成本更低。所以并網逆變器通常采用LCL 型濾波器，以保持良好的高頻諧波衰減能力，減小開關頻率諧波對系統的影響［22］。單相逆變器的控制結構如圖1 所示。電流環控制器為比例諧振（proportion resonance，PR）控制器，Gi（s）為電流控制器的傳遞函數。H1為電容電流反饋系數，采用電容電流有源阻尼的方式，其實相當于在濾波器電容上并聯電阻；H2為并網電流反饋系數，其大小由并網電流指令值和系統的功率等級確定；i2*為并網電流指令，由電網相角與并網電流給定相乘獲得；vM為控制器輸出的調制信號；SPWM 為正弦脈寬調制（sinusoidal pulse width modulation，SPWM），PLL 為鎖相環（phase-locked loop，PLL），L1、L2和C分別為濾波器的逆變器側濾波電感、網側濾波電感、濾波電容。

圖1 單臺逆變器并網控制結構圖Fig.1 Control structure diagram of single inverter

逆變器并網控制如圖2 所示。i2*（s）為電流參考信號；Gd（s）為數字控制延時環節，主要包含計算延時和采樣延時兩個部分，Gd（s）=e-1.5sTs，Ts為采樣周期；Kpwm為逆變器等效環節，取值為直流側電壓與三角載波幅值之比。

圖2 逆變器并網控制框圖Fig.2 Control block diagram of inverter

考慮電網阻抗和線路阻抗，結合圖2，可以得到逆變器并網系統諾頓等效模型，如圖3 所示。Yo（s）為逆變器輸出導納，如式（1）所示。Yf（s）為線路導納，Yg（s）為電網阻抗，vg為理想電壓源，Go（s）為電流參考信號i2*（s）到等效電流源的傳遞函數。

圖3 逆變器諾頓等效模型Fig.3 Norton equivalent model of inverter

根據圖3 的逆變器諾頓等效模型，可以得到單相逆變器的并網電流表達式，如式（2）所示。在理想電網條件下，即電網阻抗為零，按照設計要求，此時系統應穩定，所以式（2）的（is（s）-vg（s）/Zo（s））部分穩定。對于單臺逆變器系統而言，其運行穩定性由（Zg（s）+Zf（s））/Zo（s）決定［23］。

由于多逆變器并聯運行時，一般在PCC 點并聯，并與電網阻抗串聯。所以根據單臺逆變器的諾頓等效模型，多逆變器系統PCC 點并網的模型如圖4所示。

圖4 多逆變器系統并網等效模型Fig.4 Equivalent modeling of multi-inverter systems

2 寬頻帶振蕩區域定位

模態分析是結構學中研究固定激勵下系統特定震動模態的方法，后將其引入電力系統的諧振分析。假設某一系統發生諧振，將某一頻率的諧振定義為諧振模態，即認為系統出現過電壓或者過電流現象，所以對此時的系統特性進行分析為

式中：U為諧振電壓矩陣；Y為導納矩陣；I為諧振電流矩陣。

假設在正常電流激勵條件下，電壓出現較大值，則是由于導納矩陣Y出現了極小值。對其進行求倒數后，導納矩陣出現極大值，故對導納矩陣進行特征值分解，可得

式中：L為左特征向量；T為右特征向量；Λ為對角矩陣。

對左特征向量L、右特征向量T進行移動，與電壓、電流進行重新組合，定義新的系統參數模態電壓V=TU，模態電流J=TI，此時就可以將導納矩陣化簡成對角矩陣，實現系統解耦，并形成模態導納λ。

對于模態電流J1，通過提取表達式可以進一步分析其特性為

可知右特征向量T與電流相乘，即為電流的系數，表征諧振模態的可激勵性。同樣，模態電壓進一步推導，假設模態*發生諧振，則有

由于發生諧振，認為V*遠大于其他值，所以進行如式（7）的近似。左特征向量L表示諧振電壓U的可觀測性。對于一個固定系統，λ值隨頻率變化。當λ出現極小值λm，則倒數出現極大值，即模態阻抗出現極大值，此時在正常電流激勵下，電壓也會出現較大值，判定系統發生諧振，也稱關鍵模態m。此時表達式如式（8）所示。

其對角元素體現了同一節點在關鍵模式下可激勵性和可觀測性的結合，故稱其為關鍵模態的參與因子（participation factor，PF），表示為F，如式（9）所示。

式中：b為系統母線號；m為諧振模態號，可反映系統各節點在諧振情況下的表現。

根據不同的逆變器群結構類型，結合完整的系統參數，即可建立相應的系統等效模型及其對應的導納矩陣。在某一頻率范圍內進行特征值分解，得到隨頻率變化的模態阻抗曲線和關鍵諧振模態，再對左特征向量和右特征向量進行合并，即可得到參與因子。根據參與因子的表現，可以確定系統諧振發生時各節點的狀態，即確定各臺逆變器的諧振表現，并結合系統諧振類型的劃分，從而實現振蕩區域定位。針對多逆變器系統的諧振模態分析流程如圖5 所示。相關算法主要借助MATLAB 實現，建立系統模型，利用定步長和循環語句，進行對角矩陣的運算，并借助圖形可視化輸出相應的計算結果。

圖5 諧振模態分析流程示意圖Fig.5 Flow chart of resonance modal analysis

3 算例分析

以兩臺不同型號1.5 MW 逆變器并聯的系統為例（組合1∶1），開關頻率為2 kHz，采樣頻率為20 kHz，參數如表1 所示，兩種逆變器型號的差異主要是濾波器參數、控制參數存在差異。根據圖5 模態分析方法的流程圖，建立多逆變器系統的導納矩陣，分別進行各次頻率下的矩陣特征值分解，繪制模態阻抗隨頻率變化的曲線；進行參與因子計算，獲取各節點的參與因子，相應的模態分析結果如圖6 和表2 所示。其中，電網阻抗根據短路比SCR=3 計算所得［24］，線路阻抗采用文獻［16］參數。

表1 系統仿真參數Table 1 Simulation parameters of system

表2 關鍵模態下節點參與因子Table 2 Nodal participation factor of critical modes

圖6 多逆變器并網系統的諧振模態分析Fig.6 Resonance modal analysis of multi-inverter gridconnected system

觀察圖6，系統存在382 Hz 和2 080 Hz 兩個諧振峰，表示在這兩個頻率點的模態阻抗值較大。所以在正常電流激勵下，與一個較大的電阻值相乘，可能會出現較大的電壓，即系統發生諧振。

通過觀察比較，低頻諧振峰是以382 Hz 為核心的諧振頻率帶，比高頻諧振峰的峰值頻帶更寬。因此低頻諧振峰發生時，可能會觀測到鄰近頻段較大范圍的一種諧波諧振現象，影響范圍更廣。高頻諧振峰的尖峰頻率范圍較窄，如果發生該次諧振，對系統諧振頻率的影響范圍較窄，相對低頻諧振峰而言，高頻諧振峰的諧振定位更加精確。

由于導納矩陣為三階矩陣，所以對導納矩陣進行對角化，所得的左、右特征向量矩陣也是三階矩陣。將諧振峰對應頻率帶入導納矩陣，可以得到如式（10）和式（11）所示系統左、右特征向量矩陣。根據參與因子的表達式（9），對左右特征向量進行合并，可以計算各個節點的參與因子值，如表2 所示。

382 Hz 處，模態3 發生諧振，系統左、右特征向量矩陣為

2 080 Hz 處，模態2 發生諧振，系統左、右特征向量矩陣為

由表2 可知，在382 Hz 處，各節點參與因子分布均勻，逆變器1 和2 的參與因子值都存在，即在該諧振頻率，各節點的諧振可觀測性和可激勵性一致；在2 080 Hz 處，諧振由逆變器1 主導，逆變器2 的參與因子近似為零，PCC 點的參與因子較小但存在數值?？梢园l現，在不同的諧振頻率處，系統各節點的參與因子表現存在差異，所以分析兩個諧振峰在系統的諧振表現存在差異；但是各節點的參與因子數值和近似為1。

利用阻抗穩定判據［25］，與模態分析結果進行對比驗證。將線路阻抗與濾波電感L2合并，進行諧振定位。如圖7 所示。245 Hz，發生入網電流諧振，諧振頻率屬于模態分析所得低頻諧振峰范圍，相位裕度較大，無明顯諧振現象；2 080 Hz，發生交互電流諧振，相位裕度較小，諧振現象明顯。

圖7 逆變器輸出阻抗和電網阻抗Fig.7 Inverter output impedance and grid impedance

多逆變器系統的諧振類型根據發生范圍，可以分為兩種：對電網側和逆變器側都會產生影響的系統諧振（入網電流諧振）、僅對逆變器側產生影響的交互電流諧振。對諧振類型進行劃分，有助于對參與因子表現所存在的差異進行理解。所以參與因子分布均勻的情況是入網電流諧振情況；各節點參因子都存在，且差異大的是交互電流諧振情況。

以兩臺1 型逆變器并聯系統為例（組合2：0），經過上述分析，可以得到系統存在兩個諧振頻率，相應的參與因子表現如表3 所示。區別于不同型號并聯情況，該情況下系統存在520 Hz 和2 400 Hz 兩個諧振峰；在520 Hz 諧振頻率處，各節點的參與因子分布均勻，逆變器1、2 的參與因子值都存在，即在該諧振頻率，各節點的諧振可觀測性和可激勵性一致；但在2 400 Hz 諧振頻率處，PCC 點的參與因子數值為零，僅逆變器側參與因子數值存在，所以該諧振僅對逆變器側產生影響。

表3 關鍵模態下節點參與因子Table 3 Nodal participation factor of critical modes

當兩臺1 型逆變器和一臺2 型逆變器并聯（組合2：1），經過上述分析，可以得到系統關鍵模態下參與節點參與因子的表現，如表3 所示，存在3 種情況。332 Hz 和1 954 Hz 表現與1∶1 組合的表現一致，通過阻抗穩定判據的分析，332 Hz 為入網電流的諧振頻率，相位裕度較大，無明顯諧振現象；1 954 Hz為交互電流的諧振頻率，相位裕度較小，有明顯諧振現象；2 392 Hz 表現與2∶0 組合的表現一致，且諧振頻率一致，所以該諧振頻率為1 型逆變器之間的交互電流諧振頻率，但是由于同型號逆變器的阻抗一致性，導致該類型諧振峰無相關諧振現象。

4 仿真驗證

為驗證上述方法及算例的正確性，根據表1 中所列的系統參數，在Simulink 中搭建仿真模型，進行仿真研究，結果如圖8 所示。由圖8（a）可知，當逆變器1 和逆變器2 并聯運行時，可以發現并網電流不發生諧振。選取圖8（a）的部分區域，進行局部放大，如圖8（b）所示，可以看出，兩個逆變器的輸出電流中都含有高頻諧波分量，但幅值相等、方向相反，從而在PCC 點相互疊加抵消，故并網電流不含高頻諧波分量。當兩臺逆變器并聯運行時，將逆變器2 在0.1s 切除，逆變器1 繼續并網運行，由圖8（c）可看出，逆變器1 輸出電流的高頻諧波分量消失。這說明高頻諧波電流的產生是由兩臺逆變器并網運行的耦合效應產生的；當某臺逆變器切除時，系統耦合狀態發生變化，所以并聯運行時發生的高頻諧振消失。

圖8 逆變器1、2并聯運行時，輸出電流和入網電流波形Fig.8 Waveforms of output current and input-grid current when inverters 1 and 2 are operated in parallel

采用快速傅里葉變換（fast Fourier transform，FFT）對逆變器輸出電流和電網電流進行分析，結果如圖9 所示。由于一般生產應用多關注基波的整數倍，所以FFT 結果以基波的整數倍呈現，可能會與理論分析所得間諧波存在少許頻率偏差，但是并不影響驗證結論的正確性。并網電網電流不含高頻諧波分量，而逆變器1 輸出電流的高頻諧波分量集中在2 050 Hz 頻率附近，對應模態分析的諧振峰頻率。雖然滿足總諧波畸變率（total harmonic distortion，THD）低于5%的要求，但是針對各次諧波還存在具體的含量要求（1 650 Hz 以上諧波的限定為0.3%），該高頻諧波含量超過了電流諧波限定的要求，對系統性能造成影響。對于低頻段，并未出現明顯的諧振現象，符合阻抗分析結果。證明了該模態方法諧振定位的準確性，參與因子分布均勻情況為系統諧振，對系統均存在影響；參與因子表現存在較大差異情況為交互電流諧振，僅影響逆變器側。對組合2∶1進行仿真驗證，結果如圖10 所示，相關仿真結果關于諧振頻率的定位，與理論分析一致。

圖9 逆變器1輸出電流和入網電流的FFTFig.9 FFT results of output current and input-grid current in inverter 1

圖10 組合2∶1時逆變器1輸出電流和入網電流的FFTFig.10 FFT results of output current and input-grid current in inverter 1 when combination 2∶1

5 結束語

針對不同逆變器并聯系統，提出一種基于模態分析的寬頻帶振蕩風險區域定位方法，并在MATLAB/Simulink 搭建仿真模型，證實該方法的正確性和有效性。該方法根據逆變器參數、線路阻抗參數和電網阻抗參數，建立多逆變器系統的高階導納矩陣。通過對導納矩陣等效變換，繪制模態阻抗隨頻率變化的曲線，得到系統的諧振頻率。然后通過節點參與因子計算，根據參與因子表現確定其對應的諧振類型，結合不同類型諧振的特性，從而定位系統振蕩的區域，利用模態分析所得參與因子來實現振蕩區域定位。在新能源場站接入前，可利用該方法評估其可能存在的諧振頻率及影響范圍，或在新能源系統發生寬頻帶振蕩事故后，利用該方法反向定位振蕩區域。