基于跳聚集現象隨機波動率短期利率模型的影響研究

張新軍, 江 良, 林 琦 宋麗平

(1.莆田學院 金融數學福建省高校重點實驗室，莆田 351100;2.莆田學院福建省金融信息處理重點實驗室，莆田 351100;3.莆田學院應用數學福建省高校重點實驗室，莆田 351100)

0 引言

價格的跳躍是金融資產波動的一種重要特征，其歸因于極端事件發生而產生的經濟現象，如重大的政治事件、金融危機、中央銀行的貨幣政策或一些自然災害等外在因素，這種影響直接沖擊標的物的價格呈現較大的波動。然而，極端事件在特定時間內發生的頻率比較稀少，而且也是不可預測的，特別是因極端事件所產生累積風險(極端風險)在業界也是非常重要的課題。因此，研究極端事件發生的頻率及其所產生的二次風險就顯得非常有意義。

Merton[1]通過跳擴散模型來描述資產價格的跳躍現象，也就是極端事件發生通過跳的現象來描述，此時極端事件發生作為外生變量。雖然跳擴散模型能夠度量極端事件發生的概率，也能描述金融數據的尖峰和厚尾特征[2]。雖然跳擴散模型能夠顯著地測度金融市場異常波動風險[3]，但是應用跳擴散模型估計跳的頻率較低，也不具有反饋效應[4]，即重大極端事件不僅反映在當前價格的跳躍上，也會進一步影響次日或未來價格，從而導致預期資產價格產生跳躍的概率更高，而且在模擬跳的過程時會出現樣本匱乏問題[5]。歸咎于上述原因，應用跳擴散模型進行風險管理時可能無法有效地測度重大極端事件風險，進而導致缺乏有效的風險預警和防范措施。

對于具有跳的短期模型可追溯到Duffie 和Kan[6]，他們討論了跳對短期利率模型的影響，然而即使他們引入隨機波動率模型，但是他們的模型無法描述跳的聚集現象，歸因于常數跳的強度。近幾年來，在跳擴散模型基礎上，有大量研究者研究具有跳聚集現象的短期利率模型[7–10]。在這些文獻中，跳的強度作為內生變量，依賴于短期率。因此，當短期利率較高時，強度也相應較大，在下一時刻具有較高的概率發生跳，反之，短期利率較低，跳發生的概率較小。這就有可能作為內生變量的跳強度在低短期利率時無法描述跳的聚集現象。Hainaut[11]引入Hawkes 過程研究具有跳聚集現象的高斯模型，其中跳是雙指數跳，并通過設置閾值方法來度量大跳發生的可能從而給出極大似然估計。Rambaldi 等[12]通過Hawkes 過程研究外匯交易發現，引入Hawkes 過程能夠很好地描述一些重大宏觀事件對模型的沖擊。張新軍等[13]應用GMM(Gaussian Mixture Modeling)方法也引入Hawkes 過程研究短期利率模型，即使他們把強度作為外生變量，但是在他們模型中，波動率和跳的幅度是常數。近幾年來，Hawkes 過程在許多領域得到廣泛的應用歸咎該過程具有自我激勵機制跳的現象的性質[14]，所謂自我激勵機制跳是當跳發生時，相應的強度也發生跳，而且強度跳的概率和標的物跳的概率是一樣的。即當估計到短期利率有一個大的跳躍發生時，相應跳的強度也有一個同樣的概率發生跳，從而導致估計下一時刻跳的強度可能具有更高的概率，這就產生了跳的聚集現象。因此，本文將在隨機波動率模型基礎上，考慮具有自我激勵機制跳的因素對于模型的沖擊。

此外，國內少數學者也應用Hawkes 過程驗證了不同金融市場之間風險傳染性問題或協同跳躍現象[15–16]。馬勇等[17]分析了我國股市異常波動(跳)的聚集現象，以及暴漲和暴跌相互作用的機制。陳淼鑫和徐亮[18]驗證了基于Hawkes 過程所構建的模型能夠更好地預測尾部風險問題，值得一提的是，他們也把期權作為輔助變量對跳的強度參數進行估計。上述文獻實證研究的主要思路是在高頻數據下應用結構化模型設定閾值分離出跳的樣本數據，而后使用跳的數據獨立地估計跳和跳的強度參數值，以此來分析因重大極端事件導致金融市場價格跳躍、傳染性和協同跳躍問題。

綜上所述，本文將考慮Gifford Fong 等[19]具有自我激勵機制跳的隨機隨機波動率模型。事實上，Litterman 等[20]通過實證方法論述引入隨機波動率狀態變量的必要性。由于Gifford Fong 等[19]模型具有仿射性結構(高斯模型)，因此在風險測度和物理測度下具有形式上不變性，甚至對于債券價格定價也具有這種性質[21]。因此，我們將主要考慮該類模型作為研究對象。Duffie 等[22]研究具有跳性質的仿射性結構模型的衍生品顯示解。Filipovi′c 等[23]推導了跳的仿射性結構模型轉換密度函數的顯示表達式，而后給出了可行的參數估計方法。鄭挺國和劉金全[24]基于高斯和非高斯模型也給出具有跳擴散模型的參數及和統計推斷，在他們的結論中隨機波動率對短期利率影響比較大。然而上述的模型都無法刻畫跳的聚集現象，因此有必要引入新的狀態變量來度量跳的聚集現象問題。對于引入隨機跳的強度是為了使模型能夠刻畫跳的聚集現象，雖然本文的模型可能產生負的利率(對于所有高斯的模型這種現象都是無法避免的)，但是短期利率動態變化不需要任何約束條件，相應的離散格式無需考慮負值的出現甚至可能相應的衍生品價格具有顯示解或半顯示解，同時由于沒有約束條件，參數估計也變得相對簡單。基于本文所構建模型是在跳擴散模型基礎上建立的，又因為跳擴散模型是一個Cadlag 過程，該過程具有有限次大跳(也可以描述無限可數小跳)，因此相應的極大似然函數可能沒有顯示的解，而且極大似然估計方法需要有效且每一個具體的矩函數。根據Cont 和Tankov[25]論述廣義矩方法具有魯棒性和有效性，并且在矩函數有限的條件可保證收斂性。鑒于此，本文將基于條件期望、無窮小生成元及微分算子等理論，利用微分算子Taylor 展開到二階項計算矩函數，而后應用GMM 方法給出模型的參數估計和統計推斷。

本文主要的貢獻為：

1) 本文模型延拓了張新軍等[13]模型，考慮跳的幅度和波動率都是隨機模型，因隨機波動率是短期利率非常重要的特征；

2) 即使模型是三因子，但應用微分算子展開技巧，仍能精確地計算出矩函數，因此可使用經典數值計算方法提高其精度；

3) 實證結果表明，引入Hawkes 過程能更好地刻畫數據跳的問題，同時也能夠說明在一些重大事件發生時對短期利率的影響，而且也論證了比較跳的模型，本文的模型能夠描述更多跳的次數。因此，本文的研究結果能夠為化解和防范金融市場上極端風險提供理論和技術支撐。

1 自我激勵機制跳的模型

首先，考慮下面隨機波動率短期利率模型(FVJHJ)

根據Poisson 過程定義，有

其中λt表示跳的強度或表示在單位時間內跳的次數。這里忽略高階項，即考慮在區間(t,t+dt]內只發生一次跳的概率事件。

注意引入跳的模型，主要原因是希望短期利率大的變動不僅是受到波動率而且也受到跳的影響。事實上，A¨?t-Sahalia 等[26]已經說明單純考慮擴散過程是無法刻畫一些宏觀經濟現象對收益率所產生的影響，如金融危機等一些因素。另一方面，根據Eraker 等[2]的結果，若引入的跳的模型，Q-Q 圖顯示相應的殘差更趨近于正態分布，而且A¨?t-Sahalia[27]也提出，當使用高頻數據時，跳可能性非常大，特別是每天交易的數據。因此，考慮跳的短期利率模型。

FVJHJ 模型的跳具有自我激勵的機制跳，因為當短期利率有大的價格變化時，這種現象來自于一個大的波動率和一個大的跳相互影響。由于大的跳影響到一個大的跳的強度，從而預測下一次跳的可能性變的更大。而且根據自我激勵的機制跳的性質，跳更有可能在一段時間內多次的發生，從而產生跳的聚集現象。注意若使用常數跳的強度這種現象是很難預測的[26]，因為常數強度模型在整個時間段內跳的平均次數是一樣的。

由于Litterman 等[20]和Durham[28]都通過實證說明，引入隨機波動率模型不僅改善了模型的擬合效果，而且也能描述短期率期限結構的變化。因此，本文主要集中在隨機波動率模型研究跳的問題。作為一個結果，在隨機波動率基礎上，當b= 0 時，模型記為FVJ，Das[29]已經研究了這個模型。

2 參數估計

為了給出FVJHJ 模型的參數估計，首先假設

其中λ?是λt的無條件期望值，相應精確的表達式將在下面部分給出。式(1)可轉化為

隨機微分方程(5)變成了由三部分組成，即常數項、純粹的擴散和跳的過程。此時，關于dyt的無條件期望為零，即Edyt= 0。因此，對于參數估計可以采用兩步估計：第一步，先通過樣本給出了漂移項的參數θ?= (aθ+μ0λ?)和a的估計；第二步，給定第一步所獲得參數估計、估計擴散和跳的參數，而且這個估計過程是相容的。通過短期利率rt的樣本數據，應用最二乘法可以獲得(θ?,a)的估計值。事實上，當給定參數(a,μ0,λ?)估計值時，估計θ?等同于估計θ。因此，參數估計問題集中處理關于參數(μ0,σ0,α,β,κ,μ,b)的估計問題。事實上，Ruiz[30]也使用該思想估計隨機波動率模型的參數問題。

通過線性的轉化相應的模型(5)完全等價于A¨?t-Sahalia 等[26]所論述模型。雖然，A¨?t-Sahalia 等[26]通過協方差密度函數給出相應的高階近似表達式，然而當擴散項是非線性時，相應協方差密度函數不一定有精確的表達式。因此，本文將通過隨機微分Taylor 展開給出相應高階近似。

為了給出參數的估計值，本文將選擇GMM 方法給出模型的參數估計和統計推斷。由于GMM 只需要給出精確的矩函數，相應的參數估計是相容的。事實上，也不難看出，如果使用極大似然估計方法很難給出似然函數顯示表達式，歸因于似然函數需要對隱含狀態變量積分，而且極大似然方法一個重要的假設是邊界分布為正態分布，而在我們的模型中這個假設可能不成立，歸因于跳的過程。因此，選擇GMM 算法做為估計的方法。

2.1 矩函數表達式

根據GMM 估計方法，要使參數估計值具有相容性性質，一個必要的假設是正交條件，這就需要對矩函數給出精確的表達式。因此，下面將給出矩函數的具體表達式。

首先根據A¨?t-Sahalia[27]論述，引入算子

其中P(·)表示跳幅度的概率測度。根據Stanton[31]論述，所有矩函數可以通過算子展開計算。設At=(yt,Vt,λt)，有

其中Et[·]表示在給定At條件下的期望。注意當沒有擴散項和跳時，式(6)是標準的多維Taylor 展開。若只保持一階項，式(6)可寫成

根據式(7)，直接可得

顯然，從式(8)矩函數可知，若使用一階近似，隨機波動率的一些參數以及隨機跳的強度參數是無法估計的。進一步計算峰度

當不考慮跳模型，應用一階近似計算峰度為零，這和現實不符。當應用式(14)二階展開，仍然不考慮跳時，相應的峰度為3，為高斯模型的峰度。這些結果說明，考慮一階近似不僅一些參數無法估計，而且可能也會失去一些樣本的統計信息，因此有必要考慮算子的二次展開。

為了解決上面問題，先給出Vt、λt的條件期望。

定理1 假設λt是平穩的隨機過程，有

其中λ?=(κμ)/(κ ?b)。相應的二階矩為

注1 這里忽略定理的證明，詳細的證明方法可參考文獻[10]。關于λt非條件期望為E[λt]=λ?。當b=0，即跳的強度沒有跳時，式(3)變成跳擴散模型。λt的無條件二階矩為

現在考慮式(8)的二階近似。根據式(6)，需要二次的展開，即

式(11)成立的條件是算子的高階展開是有界的。為了簡化，設δ= Δt，假設在時間段δ內只發生一次的跳。根據式(7)和式(11)，有下面的定理。

定理2 假設隨機過程λt和Vt是平穩的過程。矩函數(8)有下列精確的表達式

證明 為了證明式(12)，設f(y)=(y ?yt)2，因此有

根據式(7)，有

現在考慮算子的二次展開。設gt=Lf(yt)δ，根據式(7)相應的二次展開為

上面最后一個等式成立是通過設f1(y,λ) =λ(y ?yt)，然后應用式(7)獲得。最后，再根據式(11)和隨機過程Vt、λt的平穩性，可得

應用定理1，式(12)直接獲得。

為了證明式(13)，設f(y)=(y ?yt)3，則有

對于二次算子，有

根據上面的推導，三階矩相應的無條件期望為

應用定理1，式(13)直接可得。

最后，證明四階矩函數，設f(y)=(y ?yt)4，有

相應的二次展開為

根據定理1 的結果，直接可得式(14)。

注意到，由定理2 可知，使用高階矩(三階和四階)可以估計隨機波動率的波動率，而且也可估計跳的參數。這個結論和A¨?t-Sahalia[27]所論述的結果是一樣的。在他的文章，作者建議使用高價矩來估計跳的參數，而低階矩是估計擴散的參數。

基于GMM 算法，定理2 所給的矩函數的個數仍小于參數的個數。因此，將引入協方差矩。由于EΔyt=EΔyt+τ=0，自協方差函數

定理3 若定理2 的假設條件滿足，進一步假設τ ≥δ ＞0，有下面自協方差矩函數

證明 首先考慮下面的矩函數

根據式(17)結果可得，現在我們回到計算自協方差

最后，根據定理1，定理3 結論成立。

為了給出平方的協方差，首先需要考慮下面的二階矩函數

類似有

又因為

結論成立。

根據定理3 的結論，顯然自協方差刻畫了隨機強度的參數。但如果跳的幅度均值為零，即EJt= 0，此時需要平方協方差矩來刻畫隨機強度的參數。而且也發現，平方協方差矩函數把跳強度和隨機波動率的參數分離出來，意味著平方協方差函數能夠作為識別波動率和自我激勵機制跳的重要參考指標。當波動率是確定而非隨機過程時，此時自協方差和平方協方差矩完全描述了自我激勵機制跳的過程，因此高階矩函數可以描述跳的過程。

2.2 GMM 估計方法

為了簡化，設Θ= (μ0,σ0,α,β,κ,μ,b)為模型的參數向量，且Θ ∈?，其中?表示參數向量的可行域。考慮M維的矩列向量g(y,δ,Θ)，且M ≥dim(Θ)。眾所周知，GMM算法一個重要假設是正交條件，即若Θ0是真實的解，其一定滿足E[g(yn,δ,Θ0)] = 0。由于在定理2 和定理3 中已經給出了矩函數的精確表達式，只需要把定理2 和定理3 中的矩函數等式右端移到等式的左端，此時正交條件即可滿足。

接下來，我們將簡明扼要地給出GMM 算法過程。設?g(yn,δ,Θ)為樣本矩函數的平均值，即

基于GMM 算法對于參數向量的估計為

其中WN是權重函數且是M×M正定矩陣。關于最小化(19)解一階必要條件(正交條件)為

其中D′(Θ)是關于?g(yn,δ,Θ)的Jacobian 矩陣，注意這里WN事先給定。

沿著A¨?t–Sahalia 等[26]、Newey 和West[32]的思想，假設S是一個漸進協方差矩陣，定義為

進一步，假設S?1是WN的相容性估計，而?S是S的相容性估計，可設WN= ?S?1作為最優選擇的權重函數。協方差函數定義為

眾所周知，對于S一個有效相容性的估計為Newey-West 估計方法[32]，即

其中k是一個給定的數值，?Sj為

根據有效估計?S，相應關于參數?Θ最優估計值的漸進協方差矩陣為

協方差矩陣C(?Θ)對角元素是用來測試所得參數估計值穩定性，并且計算每個參數的T 統計量。

為了判斷模型的有效性，引入了似然率(Likelihood Ratio, LR)的統計測試。根據Hayashi[33]論述，關于GMM 方法全參數模型的似然率比為

其中υ是約束條件的個數，?Θ表示非約束條件下的參數估計值，?Θ表述在約束條件下參數估計值。通過式(22)的數值與相應的χ2分布的臨界值比較，可以判斷是否拒絕給定的約束條件假設。

現在我們回到給出有效GMM 算法估計：

步驟1 選擇WN=I，隱含所有的矩的權重是等同的，求優化問題(19)給出估計Θ；

步驟2 根據步驟1 的結果，計算式(21)；

步驟3 然后應用步驟3 的計算結果，重新求優化問題(19)給出估計Θ。

如果假設所有的結果滿足Hayashi[33]中的正則性假設，那么上面估計算法給出來的結果是有效的GMM 估計。

3 實證結果

Andersen 和Lund[34]研究結果說明了每天交易三個月到期美國國債收益率可以非常好地近似無風險利率。Chapman 等[35]提供實證的證據說明了基于高斯模型(仿射性結構模型)應用1 個月或3 個月到期美國國債所獲得參數估計誤差是可忽略的。同時，Johannes[8]說明了債券收益率流動比較強，而且收益率不會受到收盤價和開盤價之間的價差影響，因此可以把該收益率當做無風險利率。另一方面，雖然作者無法使用獲得本國短期債券每天交易數據，但根據Ball 和Torous[36]研究結果，在使用不同國家債券數據時，對于隨機波動率模型所獲得結論沒有顯著的差異。基于這些原因，本文將使用1 個月到期美國國債收益率每天交易數據當做無風險利率(數據來源于http://research.stlouisfed.org/)，時間步長為δ= 1/262，時間從1954 年1 月4 日到2016 年12 月30 日，數據剔除了各個周末和節假日。

首先根據第2 部分論述，先估計漂移項。表1 給出了一些基本統計量，包括高斯數據(Δ?y)，這個詳細論述將在下面給出。Δy通過式(5)，基于最小二乘法估計獲得，參數估計值(θ?/a,a)=(4.318 70,0.098 83)和T 統計量為(4.371 2×103,1.364 4)，相應的統計分析和推斷見文獻[13]。基于表1 中數據，通過轉化后，峰度已超過了35，這個值反應了Δy是非標準正態分布。圖1 和圖2 描述美國國債三個月到期每天交易數據，相應轉化后的短期利率變化規律。在給出隨機波動率和跳的參數估計值之前，根據文獻[26]等結果，在參數估計過程中，自協方差和平方自協方差矩各自使用50 個。

圖1 一個月到期每天交易美國國債收益率

圖2 基于最小二乘法而得dyt 的變化

表1 一些統計量

3.1 隨機波動率參數估計

為了描述跳的問題，A¨?t-Sahalia 等[26]提出了通過截斷數據把跳和連續部分(擴散部分)分離出來，也就是當dyt大于某個閾值時，表現為跳的發生，此時數據為跳的數據；當dyt小于該閾值時，表示連續部分，這部分數據描述了擴散動態行為，或稱為高斯數據。因此，可通過兩步估計方法對模型進行參數估計，先通過高斯數據估計隨機波動率模型，而后再根據跳的數據估計具有跳的模型。沿著這個思路，在實際估計過程中，由于我們集中描述跳對短期利率模型的影響，因此參數估計過程將分成兩步估計過程：第一步估計連續部分(擴散過程)，即估計參數(α,β,η,ρ)，此時模型中不發生跳；第二步估計跳的部分，估計參數(μ0,σ0,κ,μ,b)。在第二步過程中，保留著第一步估計所獲得參數值，實際上，在第一步過程中，FVJHJ 模型退化為隨機波動率模型[19]，也就是不含有跳的模型。此時，在定理2 和定理3 中的矩函數就變得相對簡單，而此估計過程仍然使用GMM 估計方法。關于數據分離方法所的參數估計的漸進性以及相容性問題，可以參考文獻[37]。

A¨?t-Sahalia 和Jacod[37–37]描述通過具體的閾值分離出高斯數據和跳的數據，即

圖3 給出了通過閾值選取的跳的數據，從圖形可以看出，顯然在上個世紀80 年代出現跳的聚集現象，而且在2008 年也出現跳的聚集現象。因此，需要考慮自我激勵機制跳的問題。

圖3 跳的數據

根據表1 中的數據，通過數據分離，Δy和Δ?y，統計量都發生了變化。對于高斯數據，此時均值變成小于零，而且相應分布是左偏的，特別是峰度，從超過35 下降到4.6。根據正態分布的性質，顯然分離出來的數據也不是正態分布隨機數。事實上，Johannes[8]已論述了樣本數據的峰度不能作為檢驗樣本數據是否滿足連續擴散模型的指標，特別是擴散項系數會改變模型的峰度。進一步通過Q-Q 圖測試數據是否滿足正態分布隨機數，圖4 給出高斯數據和原始數據的Q-Q 圖。顯然，基于圖4 的結果，無法說明這兩個樣本數據都不滿足正態分布隨機數的特征。后面將會給出通過兩個分位數閾值分離數據，高斯數據是滿足連續擴散模型。

圖4 描述原始數據和高斯數據的Q-Q 圖

表2 基于高斯數據和原始數據給出隨機波動率模型的參數，從表2 中數據可以看出，使用原始數據和高斯數據所得參數估計量沒有明顯的不同，而不同結果在于統計量的估計值。當使用原始數據時，大部分參數估計標準方差比較大，特別是相關系數，相應標準方差高達41，隱含著這個變量的估計是不穩定的。而且除了β之外，在統計意義上，接受了零的假設。觀察高斯數據的估計量，比較應用原始數據所得估計量，整體上參數估計方差改變比較大，同時相應的值也比較小，因此通過數據分離后，相應的參數估計也比較穩定，而且年化標準差非常接近樣本的年化標準差0.027 1■= 0.438 7。進一步觀察發現，除了對于相關系數ρ，其它參數T 統計量數值都超過6，因此具有非常高的概率拒絕H0，接受H1的假設，即參數非零的假設，但是關于相關系數，在統計意義上接受零的假設，即可以設置ρ= 0，也就是在實踐過程中可以考慮波動率和短期利率相互獨立的模型。根據相關系數(ρ)T 的統計量，顯然是無法拒接零的假設。事實上，Eraker 等[2]也論述了當引入跳的因素時，相關系數的在統計意義上估計是比較困難的。關于η估計值，這個值是用來來識別波動率是否具有隨機性的重要指標。根據表2 中所得η的估計值和相應T 統計量，當使用原始數據，即使估計值非零，但在統計意義上，接受零假設而拒絕非零假設。通過數據的分離，應用高斯數據，相應η的T 統計量超過6，可以說明Δ?y具有非常高的概率接受η非零的假設，即具有隨機波動率性質。這些結果說明，跳對隨機波動率影響比較大。因為分離出跳的數據時，相應參數估計值和統計量都表明模型具有隨機波動率性質，而不分離跳的數據時，模型的參數估計結果拒絕了隨機波動率的性質。

表2 參數估計

接著，根據Kitagawa[40]研究結果，使用重度采樣粒子濾波方法(Sampling Importance Resampling, SIR)給出了隨機波動率估計。圖5 描述了高斯數據和原始數據的過濾波動率值，從圖形可以看出，當使用完全數據時，波動率非常好地描述了樣本波動現象。但是根據A¨?t-Sahalia 等[26]的論述，若不考慮跳的現象，所得波動率估計值可能是由真實的波動率和跳的因素組合而成。因此，在圖5 中，高波動率值不僅包含了真實的波動率而且也包含了跳的過程，意味著高的Δy值是由波動率和跳的因數相互組合而成的。我們進一步觀察截斷數據的估計值，顯然當剔除掉跳的過程時，整體上改變波動率的形態。因此，進一步說明所得估計可能需要考慮跳的因素，否則波動率可能被高估。

圖5 基于原始數據和高斯數據，通過過濾方法給出隨機波動的估計

圖6 應用隨機波動率模型給出原始數據和高斯數據的Q-Q 圖，顯然包含跳數據時，Q-Q 圖顯示殘差非標準正態分布。因此，說明了引入擴散系數樣本數據還是滿足不了連續擴散模型，這就隱含著可能需要引入其它的狀態變量，而一旦根據閾值剔除掉跳的樣本數據，相應殘差Q-Q 圖顯示樣本的殘差和正態分布隨機數擬合的非常好，意味著高斯數據滿足連續擴散模型。比較圖4 中關于高斯數據的Q-Q 圖像，顯然擴散系數會影響到殘差的變化。即使在表2 中，關于高斯數據統計量說明樣本數據密度函數具有向左偏離，同時具有厚尾性質，但是在模型擴散項引入隨機波動率Vt，相應殘差的Q-Q 圖測試表明滿足正態分布。可見，偏度和峰度不能作為統計量來測試樣本數據是否滿足連續擴散模型。

圖6 基于隨機波動率模型，描述原始數據和高斯數據的Q-Q 圖

3.2 跳的參數估計

在給出跳的參數估計值之前，首先需要給出跳的幅度矩函數

根據這些矩函數，結合定理2 和定理3 應用GMM 方法，給出跳的參數估計值。

表3 基于GMM 算法給出不同模型參數估計值和相應的一些統計量。首先觀察表格中的數據卡方統計量，由于本文使用103 個矩函數，因此對于FVJHJ 和FVJ 模型相應的p值都接近1，這意味著兩個模型對數據的擬合效果都非常的好。但是比較兩個模型的卡方統計量，在統計意義上，無法通過似然率的檢驗來測試FVJHJ 模型更加有效。鑒于此，定理3 說明了可通過通過參數的估計值來判斷跳的強度是否是具有隨機性[26]。

表3 模型參數估計值和統計量

為了給出表3 中對于參數估計的T 統計量的檢驗，首先需給出T 統計量的臨界值。由于使用50 個滯后數據進行估計，有效的樣本數為15 690，所以對T 統計量的自由度為15 689，相應地，相應單邊99%概率(p= 0.01)臨界值為2.326 6。根據該臨界值，結合表3 中的T 統計量，顯然對參數向量(σ0,κ,μ,b)大于零的假設在統計意義上是有意義的，即超過99%接受了備擇的假設，隱含著在模型中需要這些參數都不能設置為零。值得注意的是，關于μ0的統計檢驗需要雙邊檢驗，顯然此時p值為0.00 5，相應T 的臨界值也為2.576 1。因此，也超過99%接受了非零的假設。

值得一提的是，關于參數向量(σ0,μ)和(κ,b)的統計檢驗，前者說明在模型中需要引入跳的過程，后者說明了在模型中需要考慮跳的強度是隨機的。根據表3 中關于這些參數高T 統計量表明跳的幅度是隨機的，且跳的強度也是隨機的。因此，即使似然率無法測試模型的有效性，但是通過參數T 統計量的檢驗表明模型需要引入跳的過程，同時也需要考慮跳的強度是隨機的。綜上所述，構建短期率模型時需要引入跳且也具有很強自我激勵機制跳的現象，也就是模型中不能拒絕引入跳的因素并需要考慮跳的聚集現象。

進一步，根據表3 中κ、μ、b的數值結果，通過計算可得FVJHJ 和FVJ 模型平均每年發生跳的次數大約為99.9 和2.2 次。雖然基于FVJ 模型平均次數低于樣本跳的平均值4.5 次，但是A¨?t-Sahalia 等[26]論述了基于跳的模型所得跳的年平均次數約1～2 次。因此，基于FVJ 模型所得平均跳的次數是可接受的。根據跳的平均次數估計，FVJ 模型確實無法刻畫跳的次數，也意味著引入跳的模型還是不足與描述樣本跳的屬性。基于FVJHJ 模型相應年平均跳的次數遠高于樣本跳的平均次數，說明了考慮跳的強度具有自我激勵機制性質，會增加跳發生的概率，而且將進一步改善因為跳發生頻率太少所導致估計跳的過程所產生的樣本匱乏問題。

3.3 跳的幅度和跳的強度過濾估計

在金融領域中，一般做市場壓力測試是通基于波動率指標(或稱恐慌指數)。事實上，A¨?t-Sahalia 等[26]說明了通過波動率作為壓力測試是不足的，應該考慮樣本數據的跳的現象來做壓力測試。Eraker 等[2]也使用跳的過程作為壓力測試指標。因此，在這一部分將給出跳的過程估計，包括跳的強度。根據前面所得參數估計結果，基于過濾方法給出了隱含狀態變量跳的強度，跳的幅度和跳的發生估計，即估計(λt,Jt,It)。近幾年來，過濾方法在金融領域中已經得到廣泛地應用[41–43]，不僅用來估計參數而且也被應用于隱含狀態變量的參數估計。雖然重度采樣粒子濾波方法[40]簡單而且能夠比較容易添加一些新的狀態變量，然而Johannes 等[5]說明了SIR 算法在估計跳的模型時候可能會產生樣本匱乏現象。因此，本文將使用輔助粒子濾波器(Auxiliary Particle Filter, APF)方法給出跳的強度估計，該方法可參考Pitt 等[44]，這種方法主要思想是在估計過程中考慮新的觀察數據。因此，本文將沿著Johannes 等[5]思路，使用APF 算法給出狀態變量的估計，詳細的步驟如下。

步驟1 基于SIR 算法，計算權重

根據權重函數，重新抽樣指標函數

上面算法詳細可以參考文獻[5]。注意在算法第2 步中，重新抽樣粒子時，引入新的觀察數據Δyn+1。因此，當估計樣本較少的狀態變量所得粒子不會出現匱乏的問題。

圖7 基于APF 過濾方法給出了跳的強度(λt)、跳的概率、跳的幅度(Jt)和隨機波動率(Vt)的估計。觀察圖7 中的左圖，顯然跳的強度λt的估計值比較大，最低值大約為30 左右，而最大的值接近210 左右，意味具有高的概率發生跳，相應跳的概率在圖7 中的中間圖。比較圖6 中的右圖關于跳的幅度值和圖5 跳的數據，我們發現在特定時間區間內跳的幅度很好地描述跳的數據。例如，從1972 年至1973 年跳的聚集因素現象歸因能源的危機；上個世紀80 年代初左右跳的聚集現象最為明顯，在這段時間內發了海灣戰爭、伊朗政治危機、美聯儲貨幣政策等一些極端事件導致短期利率產生跳的集聚現象[8]；1987 年黑色星期五；2000 年至2002 年網絡經濟泡沫；2008 年的金融危機。因此，可得出基于FVJHJ 模型很好地描述這些區域極端事件所產生跳的現象。

圖7 基于FVJHJ 模型，跳的強度、跳的概率估計、跳的幅度估計

圖8 基于FVJ 模型給出了跳的概率和跳的幅度估計值。比較圖7 和圖8 關于跳的概率和跳的幅度估計值，顯然當跳的強度為隨機時，相應跳的概率更加密集，意味著FVJHJ 模型具有更多的概率發生跳。進一步，比較FVJ 和FVJHJ 模型關于跳的幅度，即使FVJ 模型也能夠刻畫一些特定時期極端事件發生，但是FVJHJ 模型所描述的跳的幅度更加接近跳的數據。因此，也說明FVJHJ 更好的刻畫市場數據跳的動態行為。雖然表3 中似然率無法推斷FVJHJ 模型和FVJ 模型的有效性，但是從描述樣本數據跳的現象角度考慮，有理由接受FVJHJ 模型而拒絕FVJ 模型。比較張新軍等[13]結果，即使他們考慮跳的強度是隨機的(波動率是確定的值)，但是FVJ 模型描述的更多數據的跳，這也說明隨機波動率對跳的估計影響也非常的大。

圖8 基于FVJ 模型，跳的概率估計和跳的幅度估計

最后，圖9 給出了FVJHJ 和FVJ 模型的波動率估計值。很顯然，基于FVJ 模型的所的隨機波動率值比較大。事實上，雖然不考慮挑的因素，波動率將會被高估[2,26]，但基于圖9 的結果，若不考慮跳聚集現象，重大極端事件持續性也會導致波動率被高估，這將導致其衍生定價錯誤，從而影響到風險管理水平。因此，由于FVJHJ 描述更多的跳，從而導致更低的隨機波動率值。

圖9 基于不同模型隨機波動率估計值

4 結論

本文構建具有自我激勵機制跳的隨機波動率短期利率模型(FVJHJ)。在FVJHJ 模型中，跳的強度滿足Hawkes 過程，同時波動率滿足CIR 過程，因此所構建模型是三因子模型。根據GMM 方法的收斂性和必要條件(正交條件)，基于條件期望算子定義，應用微分算子Taylor 展開，推導了矩函數精確表達式，包括了自協方差矩和平方協方差矩函數，進一步應用GMM 方法給出了模型的參數估計和統計推斷，最后也應用APF 算法給出隨機波動率、跳的幅度、跳的概率及跳的強度估計值。

應用美國國債一個月到期收益率每天交易數據做實證的研究。為了給出實證的結果，應用截斷函數技巧對原始數據分離出高斯數據和跳的數據，前者應用于隨機波動率模型參數估計，后者應用于估計跳的模型。實證結果表明應用截斷函數技巧很好地分離出跳的數據。基于數據的分離結果，通過模型參數T 統計量檢驗發現，在統計意義上，接受跳的強度是隨機過程。此外，通過對跳的幅度估計值和樣本跳的數據比較，FVJHJ 模型更好地描述數據的跳，特別是在一些特定時間段內，如上個世紀80 年代初一系列政治事件和經濟事件對模型產生的沖擊，本世紀初的網絡泡沫和2008 年的金融危機等極端事件。綜上所述，研究短期利率動態行為過程時，需要考慮自我激勵機制跳的模型。

雖然FVJHJ 模型在統計意義上能夠很好地描述樣本數據問題，但是仍然有一些問題值得進一步研究，例如非參檢驗自我激勵機制跳的有效性及其對短期利率衍生品的沖擊。