基于新型趨近律的PMSM 模糊滑模控制

齊歌， 黃文豪， 馬丁

（1.鄭州大學電氣與信息工程學院， 河南鄭州 450066；2.河南工業大學人工智能與大數據學院， 河南鄭州 450001）

0 前言

永磁同步電機 （Permanent Magnet Synchronous Motor， PMSM） 具有結構簡單、 效率高、 損耗小等特點， 在飛行器電動舵機、 機器人和軌道交通等工業領域應用廣泛［1－3］。 矢量控制方法是永磁同步電動機中常用的控制方法， 該方法能夠將永磁同步電動機看做直流電機進行控制。 由于大型復雜系統都伴隨著時變、 非線性和滯后等缺點， 所以傳統的PID 控制已不能滿足工業生產中復雜系統的控制要求， 因此， 諸多學者致力于研究PID 控制的改進策略。 目前， 先進的控制策略主要有： 自適應控制［4］、 滑模控制［5］、 模糊控制［6］、 神經網絡控制［7］等， 其主要思想是通過控制定子繞組電流幅值和轉子永磁磁動勢與定子磁動勢之間的角度， 對電壓、 電流進行坐標變換， 實現磁勢變量之間的解耦， 從而模擬直流電機［8］。 其中滑模控制具有響應快速、 魯棒性好等優點， 但由于滑模結構固有的開關現象、 系統慣性、 切換面的隨機性、 系統本身的離散性等原因， 使系統產生抖振現象。 抖振會影響系統的穩態性， 找到有效削弱抖振的方法是目前滑模控制研究的熱點。 高為炳、 程勉［9］率先提出趨近律概念， 削弱了滑模運動的抖振， 改善了系統的動態性能。 近年來， 為了使滑模控制獲得更好的控制效果， 眾多學者結合趨近律和其他控制算法進行了改進， 如文獻［10］提出在冪次趨近律的基礎上加入指數項， 并將系統狀態變量引入到冪次項指數中， 使趨近律與系統狀態關聯， 此法解決了冪次趨近律遠離滑模面時趨進速度慢的問題， 但存在參數較多、 參數調節較為復雜等問題。 文獻［11］引入系統狀態變量和滑模函數冪次項， 以切換函數的絕對值為界， 使趨近律可以表示為2 種不同形式， 能夠有效地抑制滑模的固有抖振。 文獻［12］提出一種將趨近速度與系統狀態誤差和滑模切換函數相關聯的新型趨近律， 不僅加快了趨近速度并且有效抑制了傳統滑模控制的固有抖振。 文獻［13］通過將RBF 神經網絡與滑模控制有效結合， 利用RBF 神經網絡自適應逼近的特點， 能夠有效降低切換增益， 削弱抖振。 文獻［14］結合反步設計與滑模控制， 并引入自適應機制， 去除了對擾動及系統參數不確定性上界信息的先驗要求。 文獻［15］采用模糊控制方法， 通過設計模糊滑模控制器，并采用自適應策略估計滑模系統參數的最優值， 有效減小了跟蹤誤差， 但存在模糊規則較為簡單、 參數估計不夠精確等問題。

綜上所述， 本文作者提出一種改進的指數趨近律， 借助模糊控制器對所設計的趨近律參數進行動態優化； 并采用擾動觀測器估計等效擾動， 改善系統的動態性能與穩態性能， 設計出PMSM 滑模轉速控制系統模型以驗證方案的可行性與有效性。

1 PMSM 數學模型

永磁同步電機是一個非線性、 高耦合的系統， 電磁關系十分復雜， 建立精確的數學模型比較困難。 為了簡化分析過程， 在不影響控制性能的前提下忽略一些影響較小的參數， 假設： （1） 空間磁場呈正弦分布； （2） 忽略定子鐵芯飽和， 認為磁路線性， 電感參數不變； （3） 不計磁滯和渦流損耗的影響； （4）轉子上無阻尼繞組。

通常采用id＝0 的永磁同步電機轉子磁場控制，轉矩的大小只與定子電流幅值成正比， 實現了永磁同步電機的解耦控制。 則永磁同步電機在d－q 軸下數學模型如下：

（1） 定子電壓方程

式中：ud、uq分別為d、 q 軸電壓；id、iq分別為d、 q 軸電流；ωe為轉子的電角速度；R為定子電樞繞組電阻。

（2） 定子磁鏈方程

式中：Ld、Lq分別為d、 q 軸的電感， 在表貼式PMSM 中一般認為Ld＝Lq；φf為永磁體磁鏈， 為常數。

（3） 電磁轉矩方程

式中：B為黏性摩擦系數；J為轉動慣量；TL為負載轉矩。

2 新型指數趨近律的設計與驗證

2.1 趨近律設計

引理1［16］： 空間軌跡中的全部運動點最終都能到達并穩定運行于滑模切換面， 是滑模運動的理想運行模式。 在運動點到達切換函數s（x）＝0 兩側時， 滑動模態的存在必須滿足：

滑模控制實質上是一種非線性控制。 滑模控制的性能優劣取決于切換函數的選取和滑動模態趨近律，其中趨近律的選取影響滑模可達性。 根據滑模控制理論的基本原理， 在滑動相位中， 系統的狀態空間變量從任意未知的初始狀態在有限時間內到達滑動面， 必須滿足滑模式（7） 的可達性條件。 因此， 可以設計各種趨近律函數來保證正常運動階段的質量。

較為常用的指數趨近律為

式中： sign（s）為開關函數，s＞0 時值為1，s＝0 時值為0，s＜0 時值為－1；ε為趨近速率；k為趨近系數。

ε和k的取值大小決定趨近速度， 但是過大的ε和k必定導致系統的抖振程度增加， 所以合理選取這2 個系數對于系統既有效削弱抖振又加快趨近運動速度尤為重要。

為了減少傳統指數趨近律帶來的抖振， 加快收斂的速度， 作者提出了一種新的基于模糊控制的趨近律。 基于指數趨近律引入狀態變量x， 并結合冪次趨近律的特點， 設計一種新型指數趨近律。

根據李雅普諾夫函數的證明可知此系統穩定。

2.2 趨近律控制性能分析

在一個典型系統中驗證和分析新趨近律的性能。對于典型的SISO 單輸入單輸出系統有以下公式：

表1 趨近律參數選取Tab.1 Parameter selection of reaching law

圖1 顯示了新型趨近律在相位軌跡和控制輸入方面與傳統指數趨近律相比的優勢。 仿真結果表明： 新型趨近律優先進入滑模面， 可以有效地減弱抖振。

圖1 控制性能分析Fig.1 Control performance analysis： （a） control input；（b） phase trajectory

3 模糊控制器和NSMDO 的設計

3.1 模糊控制器設計

由于滑模趨近律中的ε和k決定了滑模控制系統穩態誤差和響應速度， 合理地選擇ε和k的值， 可以使系統擁有較好的控制性能。 利用模糊控制算法的原理， 設計一個二維模糊控制器， 以系統變量x和其導數x·作為模糊控制的2 個輸入變量。 選擇變量x和x·的隸屬函數類型為高斯函數， 模糊控制的輸出變量分別為Δε和Δk， 隸屬函數選擇三角函數， 論域分別為（－6， 6） 和（0， 30）， 如圖2、 3 所示。 通過經驗方法和仿真調試得到模糊控制規則。

圖2 輸入變量x 和x·的隸屬函數Fig.2 Input variables x and x·membership function

圖3 輸出變量Δk 和Δε 的隸屬函數Fig.3 Output variable Δk and Δε membership function

在圖2、 3 中， NB 代表負大， NM 代表負中， NS代表負小， ZO 代表零， PB 代表正大， PM 代表正中，PS 代表正小。

根據式（9）， 結合所設計的模糊規則， 模糊滑模 控 制 器 （ New Fuzzy Sliding Mode Controller，NFSMC） 為

滑模控制的實現過程如圖4 所示。

3.2 NSMDO 設計

根據式（16） 和Te＝1.5pλfiq， 在考慮系統建模和負載轉矩變化引起的擾動時， 新的運動方程為

式中：u為要設計的控制律； Δa、 Δg、 Δh為電機的參數變化；d為參數與負載變化引起的匹配擾動。 由于這些擾動總是變化緩慢且有界， 可以認為d·＝0。 根據文獻［17］， 采用飽和函數代替符號函數。當飽和函數使系統收斂于邊界層時， 使用連續函數代替符號函數可以有效地削弱抖振， 使系統輸出更平滑。

新型滑模擾動觀測器（New Sliding Mode Disturb?ance Observer， NSMDO） 滿足：

式中：ρ為邊界層厚度；z1、z2分別是ωm、d的觀測值；α1、α2、α3和k是待設計的參數， 均為正常數。 觀測誤差：

式中：e1＝z1－ωm，e2＝z2－d分別為速度和擾動的觀測誤差。

滑動面選取s＝e1， 用李雅普諾夫函數V＝1/2s2證明該滑模面的穩定性。

擾動觀測器的原理框圖如圖5 所示。

圖5 擾動觀測器原理框圖Fig.5 Principle block diagram of disturbance observation period

通過擾動觀測器得到系統擾動d， 并將它前饋到SMC。 結合公式（16）， 控制器的輸出為

其中：ωm為實際轉速；u為控制器輸出iq。 由式（22） 可知， 控制器的輸出與趨近律參數的選擇、 模糊控制輸出參數的選擇和系統的擾動有關。 通過合理設置參數可以獲得較好的控制效果。 此外， 在趨近律中加入速度偏差x作為變量， 可以加快趨近速度， 減少抖振。 至此， 永磁同步電機新型模糊滑模調速控制器的設計完成。

4 仿真與討論

通過Simulink 平臺構建基于擾動觀測永磁同步電機新型趨近律模糊滑模控制的PMSM 矢量控制仿真模型如圖6 所示， 驗證算法的合理性和有效性， 并與傳統指數趨近律滑模控制系統進行對比。 在仿真實驗中， 永磁同步電動機的參數設置如表2 所示。

圖6 永磁同步電機調速系統框圖Fig.6 Block diagram of PMSM speed－regulation system

表2 永磁同步電動機模型參數Tab.2 Model parameters of PMSM

對于新型模糊滑模控制器， 應從小到大調整參數α和β， 直到系統出現明顯抖振， 這是其上限。 此時減小參數以達到抑制抖振和兼顧快速性的目的。 新型擾動觀測器的收斂速度由α1和α2決定。 首先選擇較大的值， 然后逐漸減小， 直到沒有明顯的抖振現象。α3和k決定擾動觀測周期的誤差趨于零。 仿真實驗參數取值如表3 所示。

表3 仿真實驗參數Tab.3 Parameters of simulation experiment

4.1 空載實驗

電機以空載800 r/min 啟動， 0.2 s 加速到1 000 r/min， 仿真時間為0.4 s。 仿真結果如圖7 所示。 可以看出： 與傳統的指數趨近律控制器相比， 新型趨近律具有更快的啟動響應， 并且在速度突變時無超調。然而， 新型趨近律在啟動時有很大的超調， 通過添加模糊控制器， 有效消除了啟動時的抖振和轉速突變時的超調， 可以保證系統快速到達滑模面。

圖7 空載轉速波形對比Fig.7 Speed waveform comparison with no load

4.2 負載實驗

實驗模擬時間為0.4 s， 在0.2 s 時對系統施加10 N·m 的負載， 0.3 s 時負載降至0， 速度響應如圖8 所示。 可以看出： 當0.2 s 突然增加10 N·m 負載時， 傳統指數趨近律控制（SMC） 下的速度波動更明顯， 動態穩定時間更長， 相對而言， 新型趨近律（NSMC） 和加入模糊控制器的新型趨近律在相同條件下轉速波動更小， 穩定時間更短。 圖9 顯示了將干擾觀測器NSMDO 添加到模糊滑模新型趨近律前后對應的速度。 圖10 所示為各趨近律下的轉矩響應。 可以看出： SMC 的轉矩響應起動和變轉速時超調大、穩態波動大； NFSMC 的轉矩響應消除了起動超調，但穩態波動依然很大且轉速變化時響應時間慢； NF?SMC－NSMDO 的轉矩響應消除了起動和變轉速的超調， 提高了響應速度。

圖8 負載轉速波形對比Fig.8 Load speed waveform comparison

圖9 NSMDO 速度觀測器Fig.9 NSMDO speed observer

圖10 轉矩響應Fig.10 Torque response： （a） SMC； （b） NFSMC；（c） NFSMC－NSMDO

5 結論

文中提出了一種永磁同步電機轉速控制系統動態性能優化的模糊滑模新型趨近律。 通過MATLAB/Simulink 建立仿真模型， 證明所提出的結合模糊控制的新型滑模趨近律在各方面都優于傳統的指數趨近律。 為了減小干擾對控制效果的影響， 提出了一種新型滑模擾動觀測器（NSMDO） 來觀察控制系統的干擾并對其進行補償。 仿真結果驗證了該方法的可行性。 結果表明： 所設計的方法能夠獲得滿意的性能，具有一定的優勢和實際應用價值。