基于靈敏度分析與響應面模型的機床主軸箱優化設計

喬雪濤， 周世濤， 閆存富， 曹康， 盛坤， 張洪偉

（中原工學院機電學院， 河南鄭州 450007）

0 前言

主軸箱是數控車床主軸系統重要的組成部件之一， 用于布置工作主軸及傳動零件， 其靜、 動態特性會直接影響數控車床加工的效率和質量［1－2］。 目前，多數車床主軸箱結構的設計還是依靠設計者自身的工作經驗對設計尺寸進行反復修改， 從可行的方案中選取仿真結果較為合理的設計方案， 使得產品設計過程復雜、 材料的性能無法完全利用， 因此利用現代設計方法對部件進行分析與優化成為新的研究方向［3－4］。FENG 等［5］對主軸箱進行靜態特性分析， 利用靈敏度分析獲得影響主軸箱靜態特性的5 個關鍵尺寸， 并通過尺寸優化的方式實現了主軸箱的輕量化研究。 謝軍等人［6］對加工中心主軸箱進行靜動態特性分析與拓撲優化， 提高了主軸箱的靜剛度， 但采用拓撲優化存在局部強度不能控制的缺點。 李健等人［7］通過靈敏度分析簡化了主軸箱模型， 在保證主軸箱性能的同時進行多目標、 多尺寸優化設計， 但并未說明使用何種設計方法得到響應曲線。 李權飛、 辛舟［8］采用靈敏度分析和多目標尺寸優化的方法減少主軸箱最大變形， 通過尺寸與變形之間的規律確定最優尺寸， 但設計過程復雜、 結果不夠精確。 趙旭東、 李衛民［9］通過對摩擦焊機主軸箱進行有限元分析， 驗證了其設計可以滿足使用要求， 同時構建響應面模型對主軸箱結構進行輕量化設計， 但并未考慮各個參數對構建響應面模型計算量的影響程度。

本文作者研究車床主軸箱的結構優化時， 考慮各個尺寸對主軸箱力學性能的影響。 通過靈敏度分析得到影響主軸箱力學性能的關鍵尺寸； 基于最佳填充空間設計法（Optimal Space－Filling design， OSF） 生成28 個實驗點； 采用Kriging 函數法構建響應面模型，通過多目標遺傳算法對主軸箱響應面模型進行求解，計算得到Pareto 最優解集； 最后根據最優解對模型進行修改， 并通過有限元分析對優化后的模型進行求解驗證。 在構建主軸箱響應面模型時， 所采用的設計方法具有空間樣本均勻、 擬合優度高、 計算量小的特點， 能夠有效解決主軸箱模型設計優化過程中計算量大的問題。

1 主軸箱有限元模型建立

利用SolidWorks 建立主軸箱三維模型， 為保證有限元分析結果的準確性， 根據圣維南原理對主軸箱部分設計特征進行合理簡化。 主軸箱的材料是灰鑄鐵HT250， 材料屬性如表1 所示。 對主軸箱進行網格劃分， 網格尺寸選擇1 mm， 單元類型選擇solid186 單元， 網格劃分后得到23 340 個單元， 41 936 個節點，網格劃分后主軸箱有限元模型如圖1 所示。

表1 主軸箱材料屬性Tab.1 Material properties of headstock

2 主軸箱靜動態特性分析

2.1 施加邊界條件

考慮車床實際加工情況， 對主軸箱典型工況下的受力情況進行分析。 工件采用外圓縱車的粗加工方式， 工件材料選擇結構鋼Q235， 刀具選用硬質合金，背吃刀量ap＝4 mm， 切削速度vc＝100 m/min， 進給量f＝0.8 mm/r。 切削合力可以分解為主切削力Fc、背向 力Fp、 進 給 力Ff， 經 過 計 算， 主 切 削Fc＝4 753.3 N、 背向力Fp＝1 496.4 N、 進給力Ff＝1 496.4 N［10］。 車床在加工工件時， 主軸箱的受力主要是切削合力和主軸箱重力的作用。 主軸箱與車床床身之間通過6 個螺栓相連接， 在ANSYS Workbench 中對6 個螺栓孔施加固定約束， 將切削力施加在主軸箱與主軸軸承相配合的內圓面上， 并考慮主軸箱自身的重力。

2.2 主軸箱靜態特性分析

主軸箱受到恒定外力時， 通過靜態特性分析可以了解主軸箱與受力情況之間的相互關系［11］。 主軸箱總變形云圖如圖2 所示， 最大變形出現在主軸箱上方加強筋處， 約為0.009 1 mm， 這部分變形是由主軸箱受切削力引起的， 且變形量較小， 能夠滿足主軸箱工作的精度要求。 主軸箱等效應力云圖如圖3 所示，主軸箱的最大等效應力出現在螺栓孔處， 約為6.02 MPa， 這是由于模型簡化的原因而導致的應力集中現象。 采用安全因素校核法， HT250 屈服強度為250 MPa， 安全因子數ns＝1.2 ～2.5， 取安全因子ns＝2.5， 由式 （1） 計算得到材料的許用應力為100 MPa， 主軸箱受到的最大應力遠小于材料的允許應力， 說明現有主軸箱結構有較大的優化空間。

圖2 主軸箱總變形云圖Fig.2 Cloud map of total deformation of headstock

圖3 主軸箱等效應力云圖Fig.3 Cloud map of equivalent force on the headstock

2.3 主軸箱動態特性分析

對車床主軸箱進行動態特性分析是主軸箱研究過程中的重要環節， 主軸箱與主軸共振影響機床加工精度。 主軸箱的低階模態對主軸的工作性能影響較大，根據主軸箱的實際工況， 去掉施加的外載荷， 采用Block Lanczos 法獲得主軸箱前6 階固有頻率和振型如圖4 和表2 所示。

圖4 主軸箱前6 階模態振型Fig.4 The first six modal shapes of the spindle box： （a）1st order； （b） 2nd order； （c） 3rd order； （d） 4th order； （e） 5th order； （f） 6th order

表2 主軸箱前6 階固有頻率及振型Tab.2 The first 6 order natural frequencies and vibration modes of the headstock before fixation

此款車床主軸設計的最高轉速為3 000 r/min，其固有頻率為

由表2 可知： 主軸箱前6 階固有頻率都在348.63 Hz 以上， 主軸的固有頻率遠遠小于主軸箱的1 階固有頻率， 說明主軸箱結構合理， 可以有效避免共振現象的產生。

3 主軸箱響應面模型建立

3.1 選取設計變量及靈敏度分析

在對主軸箱進行優化設計前， 需要明確設計變量， 將主軸箱箱體壁厚和筋板尺寸作為設計變量， 如圖5 所示。 圖中P1、P2、P3、P4、P5代表主軸箱前面板壁厚、 后面板壁厚、 左面板壁厚、 右面板壁厚、底面板壁厚；P6和P7分別為兩相鄰筋板之間的距離；將3 個筋板的厚度設置為關聯尺寸，P8為筋板厚度。根據主軸箱原始尺寸及設計要求， 在滿足車床性能要求的基礎上， 給出主軸箱尺寸參數的變化范圍， 如表3 所示。

圖5 主軸箱的設計變量Fig.5 Design variables of the headstock

表3 主軸箱設計參數 單位： mmTab.3 Design parameters of the headstock Unit： mm

主軸箱的優化參數較多， 使得構建響應面模型的計算量也成倍增加， 因此在構建響應面之前需要分析靈敏度以提高計算效率。 文中靈敏度分析的采樣方式選擇斯皮爾曼（Spearman） 采樣， 依據變量之間的秩做靈敏度的分析， 減少對原始參數范圍的要求。 當參數之間為非線性關系時， 斯皮爾曼采樣依然能夠計算出變量之間的相關性， 其簡化計算公式為

式中：n表示變量個數；di表示兩參數之間的秩。

通過對輸入參數進行靈敏度分析， 篩選出對輸出參數影響較大的輸入參數作為后續優化的關鍵尺寸，以減小構建響應面的計算量和計算時間。 對上述8 個輸入參數進行靈敏度分析， 獲得其對主軸箱質量、 最大變形、 最大應變和一階固有頻率的靈敏度分析結果， 如圖6 所示。

圖6 主軸箱靈敏度分析結果Fig.6 Sensitivity analysis results of the headstock

靈敏度數值的正負表示輸入參數與輸出參數的相關性， 從圖6 中可以看出： 參數P1、P2、P3、P8對主軸箱質量影響最大， 呈正相關；P1、P3、P6、P7、P8對最大變形影響最大， 呈負相關；P3、P7、P8對最大應力影響最大， 其中P3呈負相關，P7、P8呈正相關；P3、P6、P7對1 階固有頻率影響最大， 呈正相關。 因此將以上6 個參數作為優化設計尺寸進行分析。

3.2 DOE 實驗設計

實驗設計（Design of Experiment， DOE） 中不同方法的選擇直接影響構造的響應面模型的精度和計算量［12］。 文中選用最佳空間填充法（OSF）。 該實驗設計方法在對設計空間進行隨機抽樣時， 通過最大化設計點之間的間距， 使設計點可以均勻散布在設計空間， 生成最少的實驗點同時獲得對設計空間最大的洞察。 在ANSYS Workbench Design Experiment 模塊中用OSF 法進行DOE 試驗， 采樣標準選擇 “Max－Min Distance”， 樣本類型選擇“Full Quadratic Model Sam?ples”， 對空間進行了28 次抽樣， 實驗點及其數據如表4 所示。

表4 OSF 實驗點及其數據Tab.4 OSF experimental points and their data

3.3 基于Kriging 函數法的響應面模型

響應面設計法是通過設計進行實驗獲得相應的數據， 采用多元二次回歸方程來擬合自變量與響應值之間的數學回歸方程， 通過分析回歸方程解決多目標優化問題的統計學方法［13］。 對非線性問題求解時，Kriging 函數法可以獲得擬合精度較高的結果， 因此選取Kriging 函數法構建響應面模型［14－16］， 其表達式為

式中：fi（X） 為多項式函數；βi為相對系數；z（X）為均值是0、 方差是σ2的靜態隨機過程。

空間內2 個不同位置隨機變量之間的協方差矩陣為

通過ANSYS Workbench 中的Design Experiment 模塊， 生成Kriging 的響應曲面如圖7 所示。 響應面模型的擬合度曲線如圖8 所示， 主軸輸出變量所對應的點均在對角線上， 說明采用OSF 實驗設計方法產生的設計點， 通過Kriging 插值法建立的響應面模型擬合度高， 能夠滿足主軸箱的優化要求。

圖7 主軸箱的響應曲面Fig.7 Main spindle box response surface of headstock： （a） mass； （b） maximum deformation；（c） maximum stress； （d） 1st order natural frequency

圖8 擬合度曲線Fig.8 Fitting curves

4 主軸箱優化設計

4.1 主軸箱優化數學模型

基于所建立的主軸箱響應面模型， 以主軸箱質量、 變形、 應力和1 階固有頻率作為目標函數， 將主軸箱的6 個關鍵尺寸作為設計變量， 建立主軸箱多目標優化數學模型如下：

目標函數：

設計變量：x＝ ［x1，x2，x3，x4，x5，x6］T

式中：xi為設計變量， 表示6 個關鍵的設計參數；αi為設計變量的下限約束；βi為設計變量的上限約束；fm（x）、f′m（x）分別為主軸箱最小質量、 主軸箱初始質量；fδ（x）、f′δ（x）分別為主軸箱最大變形、 主軸箱初始最大變形；fσ（x）、f′σ（x）分別為主軸箱最大應力、 主軸箱初始最大應力；ff（x）、f′f（x）分別為主軸箱1 階固有頻率、 主軸箱初始1 階固有頻率。

4.2 基于遺傳算法的多目標優化

文中基于多目標傳算法（NSGA－II） 對主軸箱響應面模型進行求解。 該算法采用非支配解快速排序計算方法， 既降低了計算復雜程度又保留了優秀的個體； 相比傳統多目標優化方法將多目標問題轉換成單目標問題， 該方法通過擁擠度與擁擠度比較算子， 使Pareto 域中的個體擴展到整個域， 極大提高種群的多樣性和優化結果的均勻性［17］。 相關參數設置如下：初始樣本數量選擇1 000， 每次迭代的樣本數選擇100， 突變概率為0.01， 交叉概率為0.98， 最大允許Pareto 百分比為80%， 收斂穩定百分比為1%， 最大的迭代數量選擇20。

Pareto 最優解集如圖9 所示， 3 個坐標軸分別對應3 個目標函數， 坐標系中的點由較優解和較差解組成。 在整個優化過程中， 由于優化過程中目標函數之間相互矛盾， 所以需要通過后期給予不同權重來尋優求解。

圖9 Pareto 最優解集Fig.9 Pareto optimal solution set

基于Pareto 最優解集的多目標遺傳算法生成5 組最優候選點， 如表5 所示。 在主軸箱結構滿足力學性能的前提下， 以主軸箱質量最小為設計原則， 選取第五組候選點作為最優設計點。 考慮實際加工工況下的加工精度， 對尺寸進行圓整， 優化前后尺寸對比如表6 所示。

表5 候選點結果Tab.5 Candidate point results

表6 尺寸優化前后對比 單位： mmTab.6 Comparison of size before and after optimization Unit： mm

為了驗證優化結果的可信度， 根據優化取整后的尺寸參數對原模型重新繪制， 并在相同載荷的情況下對主軸箱進行有限元分析， 得到目標參數優化前后結果對比， 如表7 所示。

表7 目標參數優化前后結果對比Tab.7 Comparison of results before and after optimization of target parameters

由表7 可知： 優化后的主軸箱的最大變形和最大應力均有所增加， 但都滿足主軸箱的力學性能； 主軸箱質量相比原始質量下降了13.58%， 與候選點的結果非常相近， 說明文中提供的研究方法能夠獲得正確的優化結果。

5 結論

（1） 以數控車床主軸箱為研究對象開展靜力學和模態分析， 分析結果表明： 主軸箱在典型工況下具有良好的剛度、 強度和抗震性， 但從材料利用效率的角度考慮， 并未完全發揮材料的性能。

（2） 對于結構復雜的主軸箱進行優化設計， 需要解決有限元計算量大及樣本點多的問題。 通過靈敏度分析獲得影響主軸箱力學性能的關鍵尺寸， 采用最佳填充空間設計法（OSF） 和Kriging 函數法建立主軸箱響應面模型， 可以有效減少抽樣次數， 提高優化效率。

（3） 采用多目標遺傳算法對主軸箱響應面模型求解得到Pareto 最優解集， 在滿足主軸箱力學性能的基礎上， 選擇最優解并圓整得到優化后的主軸箱模型。 經有限元分析， 優化后的主軸箱質量與原始質量相比減少13.58%。