旋轉圓環槽中珠子的動力學性質研究

黃欣雅,王本陽,王新順,潘玉寨,劉 一,王先杰

(1.哈爾濱工業大學(威海) 理學院,山東 威海 264209;2.哈爾濱工業大學 物理學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

珠子動力學屬于理論力學的研究范疇,涉及運動與能量,包含了空間轉動坐標系、質心運動定理、轉動慣量和角動量定理等多方面的知識. 關于無摩擦情形下珠子與環模型的研究較多[1-5],通常采用將珠子串在環上的模型,在牛頓力學體系[2]或拉格朗日力學體系[1,3]下求得珠子在環上的運動方程. 重點研究平衡位置的性質,判斷是否為穩定平衡[4],同時探究相關因素(例如環半徑和轉速)的影響. 其中,Dutta和Ray運用Lie對稱定理和Jacobi橢圓函數求解珠子的運動方程,得到珠子沿軌道運動角度和時間的關系式[2]. 但是上述研究忽略了摩擦阻力與珠子轉動所造成的影響,與實際情況存在差異.

本文采用珠子位于環槽內部的模型,相較傳統模型,增加了珠子運動的自由度,使研究對象從質心轉變為剛體,并且同時考慮環槽底部和環槽側壁方向上的摩擦. 本文分別進行理論研究和實驗驗證:理論上探究了珠子在環槽中的具體運動過程(包括質心運動和珠子自身的轉動)、珠子與環槽之間摩擦性質轉變的臨界條件、平衡位置的存在條件;實驗上研究了滑動摩擦系數、珠子球心到環中心的距離、環轉速對珠子運動過程和平衡位置的影響. 實驗中忽略了空氣阻力和非彈性碰撞對珠子運動的影響. 珠子動力學的理論分析和實驗研究可以提高學生對力學相關知識的理解和應用[6].

1 模型構建

環槽模型為:凹槽橫截面為方形,環槽寬度與珠子直徑基本相同且珠子可以放在環槽內,環槽為完整環槽的3/5. 不采用完整環槽是為了探究珠子飛出圓環槽時的臨界條件. 對于一般材料,滾動摩擦一般遠小于滑動摩擦,所以文中不考慮滾動摩擦帶來的能量損失.

珠子與環槽的簡化模型涉及的部分物理量為:環槽半徑R、珠子半徑r0、珠子球心到環中心的距離r、珠子球心到轉軸的距離ρ、珠子球心與環中心的連線與轉軸之間的夾角φ、環轉速ω.建立如圖1所示的空間直角坐標系,分為eb(垂直環面向內),eφ(切向)和er(徑向),其中,eb方向與環轉動方向一致.珠子受力情況如圖2所示,珠子受到重力mg、離心力mρω2、科里奧利力2mv×ω[7]、靜摩擦力f、來自側壁的支持力N、來自底面的支持力Nr.其中,虛線部分標注的N與2mv×ω的方向為eb方向.

圖1 珠子與環槽的簡化模型

圖2 珠子受力分析圖

珠子在圓環中eφ方向上的運動可根據初始條件與外界干擾分為2種情況:

a.珠子在圓環底部相對于環靜止;

b.珠子相對于環運動.

同時根據參量的不同,珠子的平衡位置以及平衡位置數量都將發生變化:

a.環轉速穩定后,若無外界擾動,則珠子在環槽底部受力平衡,相對于環靜止;

b.珠子在eφ方向上相對環運動.實驗發現,在環的轉速穩定之前,珠子相對于環做eφ方向上的運動所占時間極短,約占珠子全部運動時間的1%,且環轉速越快,占比越小.因此,可以忽略珠子在環開始轉動到環轉速穩定這一時間段eφ方向上的運動.對于此時間段,珠子受到慣性力的作用,相對于環做eb方向的運動,貼附于與環轉動方向相反方向的槽側壁.待環轉速穩定后,若珠子滿足有外界擾動或者初始位置偏離環槽底部中心2個條件中之一,即可以在eφ方向上相對環運動.

2 珠子相對于底端和側壁不同狀態的運動方程

根據珠子相對于底端和側壁的滾動情況不同,可分為4種運動狀態:

1)珠子相對于側壁和環槽底面均做純滾動.

假設底面作用于珠子的摩擦力[8]為fφ,有以下關系:

(1)

(2)

(3)

同理,假設側壁作用于珠子的摩擦力[9-10]為fb,可得:

(4)

由質心運動定理[11]可得:

(5)

化簡可得珠子在此種運動狀態下相對于環槽底面的運動方程為

(6)

2)珠子相對于側壁做純滾動,相對于環槽底面做滾滑運動.

由受力分析可以得知珠子受到環槽底面的摩擦力為

fφ=μNr=μ(mgcosφ+mrω2sin2φ),

(7)

其中,μ為滑動摩擦系數.同時,側壁作用于珠子的摩擦力也可沿用至此,即

(8)

由質心運動定理并化簡可得珠子在此種情況下的運動方程為

(9)

3)珠子相對于側壁做滾滑運動,相對于環槽底面做純滾動.

根據受力分析,

(10)

由于存在科里奧利力,珠子與側壁的滑動摩擦力為

(11)

同理可得珠子相對于環槽底面的運動方程為

(12)

4)珠子相對于側壁和環槽底面做滾滑運動.

此時有

fφ=μNr=μ(mgcosφ+mrω2sin2φ),

同理可得珠子的運動方程為

ω2sinφ(μsinφ-cosφ)=0.

(13)

3 珠子做滾滑運動和純滾動的轉換條件

珠子在滾滑運動和純滾動之間的臨界轉換條件[12]可分為2類4種情況.每個臨界條件可作為判斷下一階段運動首個符合條件的點為轉換臨界點的依據.

1)當底面滿足

側壁滿足

珠子沿底面或側壁做純滾動.

2)當相對側壁滿足

相對底面滿足

珠子相對于對應面的純滾動轉化為滾滑運動.

綜上,珠子的運動曲線對應4種運動狀態,通過滾滑運動與純滾動轉化條件連接組合而成.

圖3所示為當珠子球心到環中心的距離r=3.55 cm,珠子直徑r0=19.00 mm,圓環槽轉速ω=36 rad/s,滑動摩擦系數μ=0.5時,由上述理論得到珠子的整體運動曲線.理論曲線模擬時,程序根據臨界轉換條件自動進行珠子運動方程的轉換,因此珠子的1次完整運動過程可能包含上述4種運動狀態.

圖3 珠子的理論運動曲線

4 珠子運動過程中的科里奧利力

珠子在運動過程中受到科里奧利力,由于在環槽內運動,珠子中各點到環中心的距離不同,故珠子內部各處受到的科里奧利力的力矩作用不均勻,即科里奧利力力矩對珠子的整體作用不能完全抵消.

珠子相對于環槽靜止(平衡)時貼附于哪一側壁取決于珠子在相對靜止前向哪一方向運動,若向上運動則貼附與環轉動方向相反的槽側壁,若向下運動則貼附與環轉動方向相同的槽側壁.

5 珠子的平衡位置

在整個運動過程中,由于珠子在相對于環槽底部和相對于槽側壁2個方向分別滾動,因此珠子是繞通過質心的軸旋轉著向上運動,然后在平衡位置附近做阻尼振動[13],相對環趨于靜止.珠子的旋轉速度可由相對于環槽底面和相對于槽側壁2個方向的滾動速度矢量疊加得到.

(14)

6 實驗測量

實驗裝置示意圖如圖4所示.

圖4 實驗裝置示意圖

研究珠子球心到環中心的距離r、環轉速ω和滑動摩擦系數μ對珠子運動進程(珠子球心到轉軸的距離ρ隨時間t的變化)和平衡位置的影響. 實驗測量珠子球心到轉軸的距離ρ和珠子球心到環中心的距離r,夾角φ可以通過ρ=rsinφ得到.

1)實驗所用環的內槽難以做到完全光滑[15](3D打印精度有限導致環內槽會有垂直于槽側壁的規則紋路);

2)Tracker軟件自動追蹤珠子位置存在誤差;

3)槽寬略大于珠子直徑,珠子在實際運動中存在和側壁的碰撞,以及eb方向上的摩擦力.

圖6為μ=0.3,ω=36 rad/s時,r=3.75,3.70,3.60,3.55 cm時珠子的運動曲線.由圖6可以看出,隨著r增大,珠子的運動進程加快.

圖6 不同r對應的珠子的運動曲線

(a)ω=36 rad/s

圖8為r=3.75 cm,r0=15.00 mm,μ=0.3,不同環槽轉速對應的珠子運動曲線.當轉速ω增大時,珠子運動進程加快.這是因為環轉動是由外界永磁同步電機帶動,電機供給系統的能量越大,環轉動角速度越大,珠子所獲得的動力越大.

圖8 不同ω對應的珠子的運動曲線

圖9為r0=19.00 mm,r=3.75 cm,μ=0.5,以及r0=15.00 mm,r=3.55 cm,μ=0.3時,平衡位置與ω的關系曲線.ω增大時,珠子平衡位置上升.同理,由理論平衡位置公式可知當φ<90°時,ρ與ω的關系也為正相關,與實驗相吻合.

(a)r0=19.00 mm,r=3.75 cm,μ=0.5

r=3.55 cm,r0=19.00 mm,ω=51 rad/s時,不同滑動摩擦系數μ對應的的珠子運動曲線如圖10所示.當μ增大時,珠子運動進程減慢.根據理論研究,只有珠子相對于環槽做滾滑運動時,珠子的運動方程才包含μ,而且加速度與摩擦系數呈現反相關,和實驗結論一致.另外,實驗測量和理論均表明滑動摩擦系數對珠子平衡位置無顯著影響[16].

圖10 不同μ對應的珠子的運動曲線

將圖6～10中數據與對應條件下理論曲線數據進行對比計算,可知:珠子平衡位置的相對偏差均小于3%,珠子整體運動曲線實驗與理論的相對偏差基本處于10%以內,這主要是由于實驗所用3D打印環的內槽難以做到完全光滑.

7 結 論