亂花漸欲迷人眼，透過現象看本質
——從全國卷三道三角函數與導數綜合問題談起

■南京市溧水區第二高級中學 蔣桃俊

函數與導數是高中數學的核心知識,是歷年高考考查力度最大的主線之一,也是數學思想方法與能力、學科核心素養的載體。三角函數與導數的綜合問題,在高考卷中往往以壓軸題的形式呈現,由于此類問題立意新穎、靈活多變,創新性與綜合性并存,與常規導數問題有所區別,對同學們有很大的挑戰。它體現高考的選拔功能,實現命題“能力立意”向“素養導向”轉變,因此備受命題者青睞。因為三角函數與其他函數綜合,其導函數一般情況下不是多項式類型(多次求導也不行),所以一般無法求出零點(原函數極值點),只能以隱零點的形式存在,形成思維障礙,而同學們對其并沒有形成好的處理方法和策略,很多時候會束手無策。事實上,雖然函數模型發生了變化,但是其數學本質并沒有變,加上三角函數的特殊性(單調性、奇偶性、有界性、周期性等),倘若我們能夠充分挖掘,掌握一些常用的方法策略,還是能夠找到解決此類問題的突破口的。下面以全國卷中三角函數與導數綜合的三道試題為例,總結出在解題過程中常用的一些處理方法,以期拋磚引玉,啟發同學們對此類問題解決策略的進一步思考。

例1(2023年全國新課標Ⅱ卷第22題)

(1)證明:當0

(2)已知函數f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍。

解析:(1)記g(x)=sinx+x2-x,則g′(x)=cosx+2x-1,g″(x)=-sinx+2>0。

所以g′(x)在(0,1)上為增函數,即g′(x)>g′(0)=0,從而g(x)在(0,1)上為增函數,g(x)>g(0)=0,也即sinx+x2-x>0。

因此,x-x2

記h(x)=sinx-x,則h′(x)=cosx-1<0。

所以h(x)在(0,1)上為減函數,即h(x)

綜上,當0

(2)易知f(x)=cosax-ln(1-x2),其定義域為x∈(-1,1)。

又f′(0)=0,故 當-10。

故f(x)在(-1,0)上單調遞減,在(0,1)上單調遞增。

所以x=0是f(x)的極小值點,不符合題意。

因為f′(0)=0,所以f′(x)<0,f(x)在(0,ξ)上單調遞減。

因為f(x)為偶函數,所以f(x)在(-ξ,0)上單調遞增。

所以x=0是f(x)的極大值點,符合題意。當a<- 2,取,同理可證。

綜上,若x=0是f(x)的極大值點,則a的取值范圍為(-∞,- 2)∪(2,+∞)。

說明:第一問中,先后利用了正弦函數和余弦函數的有界性(|sinx|≤1和|cosx|≤1),得到g″(x)和h′(x)的符號,這是處理三角函數與導數問題的常用方法。該小問的背景是正弦函數在x=0 處的泰勒展開式。第二問中,進行了兩次求導,注意到f′(x)是奇函數,要使得x=0是極大值點,則要求f′(x)在0的附近先正后負(原函數先增后減);由于f″(x)為偶函數,則f″(x)在0附近小于0即可(此時f′(x)為減函數),所以只要分類討論f″(0)的符號即可。情形①中,通過觀察,利用三角函數的有界性,適當進行放縮,可以確定f″(x)的符號;情形②中,繼續求導,利用三角函數的符號確定f?(x)的正負,從而確定f″(x)在上的單調性,通過正負的討論,分別直接得到或利用零點存在性定理得到f″(x)在0 右側附近的符號,從而使得問題得到解決。

注:第二問的本質是“函數f(x)的極大值點為x0”的充分條件:f′(x0)=0,f″(x0)<0。而情形①和②的本質是高等數學中連續函數的性質——f(x)在x=x0處連續,若f(x0)>0,則存在δ>0,當x∈(x0-δ,x0+δ)時,f(x)>0;若f(x0)<0,則存在δ>0,當x∈(x0-δ,x0+δ)時,f(x)<0。其中區間(x0-δ,x0+δ)稱為x0的鄰域,上述性質很容易理解并被同學們接受。因此,考試時也可以采用這種有爭議和超綱嫌疑(同極限一樣)但非常簡捷的方法加以說明,如②中,方法如下:

因為f″(0)<0,所以存在0<δ<1,當-δ

又f′(0)=0,所以當-δ0;當0

故f(x)在(-δ,0)上為增函數,在(0,δ)上為減函數,x=0是f(x)的極大值點,符合題意。

例2(2023年全國甲卷理科第21題)

(1)若a=8,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)

解析:(1)若a=8,則

(2)記g(x)=f(x)-sin 2x=ax-

當00,g(x)在(0,ξ)上單調遞增,g(ξ)>g(0)=0,不符合題意。

綜上,若f(x)

說明:相對于其他三角函數與導函數的綜合問題,該題中的導函數中只有三角函數(類似于2020 年全國Ⅱ卷理科第21 題),考查了同角關系、三角恒等變換、余弦函數的單調性等,有較強的綜合性。第二問的不等式恒成立問題是一個典型的“端點效應”問題。其中的情形②也可以仿照例1,用連續函數及鄰域加以說明。因為g′(0)>0,所以存在,當00,即g(x)為增函數,……,因為該問中易知g′(x)為減函數,所以采用了嚴格的演繹推理,同學們可以去體會。

例3(2019 年全國Ⅰ卷理科第20題)已知函數f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導數。證明:

(1)f′(x)在區間內存在唯一的極大值點;

(2)f(x)有且僅有2個零點。

解析:(1)由題意知f(x)=sinxln(1+x),其定義域為(-1,+∞)。

易得f(0)=0。

當x∈(-1,0)時,f(x)>f(0)=0;

當x∈(0,x1)時,f(x)>f(0)=0。

又因為f(π)=-ln(1+π)<0,所以存在唯一的實數x2∈(x1,π),使得f(x2)=0。

當x≥π時,sinx≤1,ln(1+x)>1,所以f(x)<0。

綜上,函數f(x)有且僅有2個零點。

說明:本題是三角函數與導數的完美融合,真正體現了導數在研究函數中的工具性,將三角函數與對數函數結合,創新性和綜合性較高,是一道區分度非常高的試題。解題的過程中,正弦函數與余弦函數的單調性、有界性及在區間上的正負等得到了充分運用,利用它們來確定導函數的正負或函數值的正負,其中分區間討論是處理此類問題的一種常用方法(如當時,f′(x)<0;當x≥π時,f(x)<0等,直接利用三角函數的符號和有界性得到),需要同學們有一定的觀察能力和解題意識。

以上是2019 年至今全國卷中三角函數與導數綜合的部分試題,雖然呈現方式各異(不等式恒成立、零點和極值問題、求單調區間等),考查的知識點不盡相同,但基本的思想方法還是有規律可循的,如分區間討論、三角函數的符號及有界性等的應用。事實上,雖然此類問題涉及的函數往往較為復雜,但是我們要透過現象看清本質。由于三角函數的特殊性,它的融入有時反而會為問題的解決帶來簡便,當然這對同學們思維的靈活性、多樣性、創新性等都有一定的要求。