挖掘條件內涵選擇合適路徑

■安徽省寧國中學 陳曉明

在平時考試中,不少同學對題目條件不知如何處理,從而造成解題受阻,失分現象嚴重。如何解決這樣的問題呢? 下面通過實例說明解題要注重對題目條件內涵的挖掘,選擇合適的路徑解決問題,我們的解題水平得到提高,才能笑傲考場!

解析:如圖1 所示,要求橢圓E的離心率,就是要構建關于橢圓中的基本量a,b,c的方程。于是想到在△MF1F2中利用正弦定理或余弦定理解決問題,只需求出|MF1|,|MF2|的長即可。 由已知條件可判斷MN為∠F1MF2的角平分線,且∠F1MF2=120°,這與后面的條件”有什么關系呢? 條件“有什么用呢?

圖1

圖2

圖3

于是還要從角平分線著手分析,三角形

再根據∠F1PF2=60°,由余弦定理得(2)2=9a2+a2-2×3a×a·cos 60°,解得a=2。

故△PF1F2的內切圓的半徑為正確答案是B。

例2(安徽省2022 年高考考前適應性考試理科數學第20 題) 已知點O為坐標原點,過點C(4,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB。

(1)求拋物線的標準方程;

(2)動點M,N為拋物線在第一象限內兩點,且直線MC與直線NC的傾斜角互補,求證:是定值。

解析:(1)如圖4 所示,設A(x1,y1),B(x2,y2)。顯然直線AB的斜率不為0,設其方程為x=my+4,代入拋物線方程y2=2px并整理得y2-2mpy-8p=0。

圖4

因為根的判別式Δ>0,所以由韋達定理得y1y2=-8p。

(2)證法1 如圖5所示,設點N關于x軸的對稱點為T,則|ON|=|OT|。

圖5

因為直線MC與直線NC的傾斜角互補,所以M,C,T三點共線。

由 題 設 得OM⊥OT,不妨設M即為A點,T即為B點,即M(x1,y1),T(x2,y2),則N(x2,-y2),故y1(-y2)=x1x2+y1y2-2y1y2=-2y1y2=32,是定值。

點評:本證法充分挖掘條件“直線MC與直線NC的傾斜角互補”的內涵,得到M,C,T三點共線。從而由題設得OM⊥OT,再利用韋達定理、向量數量積的坐標表示及變換的思想解決問題。

證法2 如圖6 所示,設M(x1,y1),N(x2,y2)。顯然直線MN的斜率不為0,設其方程為x=my+a,代入拋物線方程y2=4x并整理得y2-4my-4a=0。

圖6

當判別式Δ>0 時,由韋達定理得y1+y2=4m,y1y2=-4a。

因為直線MC與直線NC的傾斜角互補,所以它們斜率之和為0,即kMC+kNC=

又x1=my1+a,x2=my2+a,故y1(my2+a-4)+y2(my1+a-4)=0,整理得2my1y2+(a-4)(y1+y2)=0。

將y1+y2=4m,y1y2=-4a代入上式得-8ma+(a-4)·4m=0。

因為m≠0,所以解得a=-4。

點評:本證法充分挖掘條件“直線MC與直線NC的傾斜角互補”的內涵,得到kMC+kNC=0,從而利用斜率的坐標表示、直線方程消元、韋達定理及向量數量積的坐標表示解決問題。

因為y1+y2>0,所以y1y2=16。

點評:(1)本證法充分挖掘條件“直線MC與直線NC的傾斜角互補”的內涵,得到kMC+kNC=0,從而利用斜率的坐標表示、拋物線方程消元及向量數量積的坐標表示解決問題,沒有利用韋達定理,解法變得簡單。(2)仿照上述解題過程,我們易證下面結論成立。

已知定點C(2p,0),動點M,N為拋物線y2=2px(p>0)在第一象限內兩點,若直線MC與直線NC的傾斜角互補,則是定值8p2。

例3在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(a+b)·(sinAsinB)=c(sinC+sinB),若角A的內角平分線AD的長為2,則4b+c的最小值為( )。

A.10 B.12 C.16 D.18

解析:因為(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),所以由正弦定理化角為邊得(a+b)(a-b)=c(c+b),即b2+c2-a2=-bc。進一步由余弦定理得cosA=

又因為0

如 圖7所示,已知A,又由題設知角平分線|AD|=2,僅這兩個條件怎么能求出4b+c的最小值呢? 看來需要通過這兩個條件來尋求邊b和c的關系式,應該利用正弦定理或余弦定理來解決問題。

圖7

再用余弦定理試試看: 在△ABC中利用余弦定理得。因為a未知,或者說根本沒有利用條件“|AD|=2”,所以還是不行。

由兩邊及夾角可求三角形面積,于是想到了等面積法。

因 為S△ABC=S△ABD+S△ACD,所 以

將|AD|=2 代入并化簡得bc=2(b+c),終于大功告成,構造了b和c的關系式。

這樣問題就轉化為一個我們比較常見的問題(“1”的代換)。

因為bc=2(b+c),所以故2(5+2×2)=18,當且僅當c=2b=6時等號成立,即4b+c的最小值是18,本題正確的答案是D。

點評:上述過程其實就是一步一步挖掘條件內涵,這時會出現條件的不同內涵,從而產生不同的解題路徑,需要我們從中選擇合適的路徑解決問題。

同學們在平時的解題中,要注重對題目條件內涵的挖掘,這也有利于培養我們的發散思維,同時要結合結論,分析清楚不同的內涵產生的不同路徑有的為什么不合適,怎樣選擇合適的路徑是關鍵點。長期堅持,就不至于看到數學難題不知所措,從而我們的解題水平才能提高!