關于工作用玻璃液體溫度計修正值插值法的準確性

唐秋晨

（北京市西城區計量檢測所，北京 100055）

1 引言

工作用玻璃液體溫度計，作為一種經典且廣泛應用的溫度測量工具，其準確性依賴于對其示值進行有效的修正。隨著技術的進步，多種插值方法已被提出和應用于溫度計修正值的計算，其中最常見的包括線性插值法和牛頓插值法。這些方法在不同的應用情境和數據特性下展現出各自的優勢和局限性。線性插值法以其計算簡便、直觀易懂而被廣泛應用，尤其適用于數據點間關系近似線性的情況。相比之下，牛頓插值法通過構建高階多項式，提供了一種更為復雜但能夠適應非線性數據的解決方案。

2 常用插值法概述

2.1 工作用玻璃液體溫度計中常用的插值法

在工作用玻璃液體溫度計的應用中，插值法發揮著至關重要的角色，以確保溫度測量的準確性和可靠性。最常用的插值法包括線性插值法和牛頓插值法。線性插值法，以其計算簡便和直觀性著稱，通過構建兩個已知測量點之間的直線關系來估算中間點的值。這種方法在數據點相對密集且變化趨勢線性時效果最佳。相比之下，牛頓插值法則是一種更為復雜但適用范圍更廣的方法，它利用差分表和多項式函數來近似數據點之間的關系，尤其適用于數據點間距不均勻或者需要高階估計的情況。

2.2 線性插值法的原理與應用

（1）數學原理。線性插值法是一種基于直線方程的簡單數學方法，廣泛應用于估算兩個已知數據點之間任意點的值。其核心原理是假設兩個相鄰數據點之間的變化呈線性關系，即這一區間內的數據可以通過一條直線準確地表示。具體來說，在線性插值中，假設有兩個已知點（x0，y0）和（x1，y1），想要估算在這兩點之間某一未知點(x對應的值y。線性插值法通過構造一個一階多項式（即直線方程），來實現這一點。該直線方程可表示為：

（2）在溫度計修正值計算中的應用及其局限性。線性插值法在溫度計修正值計算中的應用是基于其能夠有效估算在兩個檢定點之間溫度值的原理。在實際應用中，溫度計在特定的檢定點（即已知溫度值）下會被測試和檢定，但在這些檢定點之間的溫度值通常是未知的。線性插值法在這里發揮作用，通過假設兩個檢定點之間的溫度變化是線性的，即溫度計讀數與實際溫度之間的關系可以通過直線方程表示。這種方法簡化了溫度計修正值的計算過程，只需使用兩個最近的檢定點來估算中間點的溫度值。然而，這種方法的局限性在于，它假設了溫度變化是均勻和線性的，這在實際情況中可能并不總是成立。特別是當溫度計的溫度響應曲線非線性或在兩個檢定點之間有顯著變化時，線性插值法的準確性可能會受到影響。

2.3 牛頓插值法的原理與應用

（1）數學原理和計算過程。牛頓插值法是一種基于多項式逼近的差值方法，它在處理復雜數據集時尤其有效。該方法的核心是構建一個多項式，該多項式在一系列已知數據點上取確切的值。牛頓插值法的獨特之處在于它使用了所謂的差分法，通過計算數據點之間的差值來構建多項式。具體來說，假設有一組數據點牛頓插值法首先計算這些點之間的一階差分，然后是二階差分，依此類推，直到計算出n階差分。這些差分值用于構建插值多項式，形式為：

其中，a0，a1，…，an是根據差分計算得到的系數。這種方法的優勢在于它可以靈活地適應任意數量的數據點，且當添加新的數據點時，不需要重新計算整個多項式，只需添加相應的新項即可。此外，牛頓插值法在處理非均勻分布的數據點時表現優異。然而，牛頓插值法的一個主要缺點是，當數據點數量增加時，多項式的度數也隨之增加，這可能導致插值多項式在數據點之外的區域出現振蕩現象，即所謂的龍格現象。因此，盡管牛頓插值法在計算靈活性和適應性方面具有明顯優勢，但在實際應用時需要仔細考慮數據點的分布和所需的插值精度。

（2）在溫度計修正值計算中的優勢和潛在問題。牛頓插值法在溫度計修正值計算中的應用帶來了明顯的優勢，尤其是在處理復雜或非線性溫度響應曲線時。與線性插值法相比，牛頓插值法能更精確地適應溫度計讀數與實際溫度之間復雜的關系，尤其是在檢定點較多或溫度計性能受到多種因素影響時。這種方法通過構建一個高階多項式，能夠更細致地模擬溫度計的響應特性，從而在整個溫度范圍內提供更精確的修正值。此外，牛頓插值法的一個顯著優勢是其靈活性——當新增檢定點時，不需要重新計算整個多項式，只需在現有多項式基礎上增加相應項。然而，牛頓插值法也存在一些潛在問題。首先，隨著檢定點數量的增加，多項式的階數也會增加，這可能導致在數據點外（即插值區間外）出現過度振蕩的問題，即龍格現象，從而影響插值的準確性。其次，高階多項式的計算相對復雜，可能需要更多的計算資源和時間。最后，這種方法在處理數據點間隔不一致或存在異常值時的穩定性可能不如某些其他插值方法。因此，在使用牛頓插值法計算溫度計修正值時，需要權衡其精確度、計算復雜性以及適用的數據范圍，以確保既能準確反映溫度計的性能，又不會因多項式的復雜度而引入不必要的誤差。

3 兩種插值法的對比分析

3.1 實驗設計

為了比較線性插值法和牛頓插值法在溫度計修正值計算中的性能，可以設計一個實驗，選取特定范圍內的溫度計和多個檢定點進行分析。

（1）實驗對象。選取一支測量范圍為50～100 ℃、分度值為0.1 ℃的工作用玻璃液體溫度計。

（2）檢定點選擇。在該溫度計的檢定證書中，選擇45 ℃、55 ℃、65 ℃、75 ℃、85 ℃和95 ℃這6個溫度點。這些點將作為插值計算的基礎，因為它們分布在整個測量范圍內，可以代表溫度計在不同溫度下的性能。

（3）插值點選擇。在上述溫度范圍內，選取48℃、58 ℃、72 ℃、78 ℃和92 ℃共5個插值點作為研究對象。

（4）計算分析。對每個插值點，首先使用線性插值法進行計算。這需要找到每個插值點周圍最近的兩個檢定點，并在這兩點間構建直線方程來估算插值點的修正值。其次，應用牛頓插值法，這需要使用所有的檢定點來構建一個多項式，然后利用這個多項式來估算插值點的修正值。

3.2 實際示值修正值時的準確性和適用性對比

在比較線性插值法和牛頓插值法在計算工作用玻璃液體溫度計實際示值修正值時的準確性和適用性時，關鍵在于評估這兩種方法在不同情況下的表現。線性插值法，以其簡潔性和易于計算而聞名，假設相鄰檢定點之間的溫度變化是線性的。這在檢定點較近且溫度變化呈線性趨勢時非常有效，使其在快速估算和簡單應用中極具吸引力。然而，這種方法在處理復雜或非線性的溫度變化時，尤其是在檢定點較遠時，其準確性可能會下降。相比之下，牛頓插值法通過構建一個通過所有檢定點的多項式，能夠更精確地適應溫度計的非線性響應。這在理論上可以提供更高的準確性，特別是在檢定點分布不均或溫度計響應特別復雜的情況下。

4 結果分析

4.1 計算結果

（1）線性插值法。線性插值法的關鍵在于找到每個插值點周圍最近的兩個檢定點，并在這兩點間構建一個直線方程來估算插值點的修正值。以插值點58℃為例，可以選取最接近的兩個檢定點，例如55 ℃和65 ℃。假設這兩個檢定點對應的修正值分別為y55和y65。然后，使用線性插值公式計算58 ℃的修正值：

這個公式基本上是找到55 ℃和65 ℃之間直線的斜率，然后用它來估算58 ℃的點在這條線上的位置。對于其他插值點（如48 ℃、72 ℃、78 ℃、92 ℃），重復相同的過程，每次選擇最接近的兩個檢定點來構建直線方程。

（2）牛頓插值法。牛頓插值法則需要使用所有檢定點來構建一個多項式，然后利用這個多項式來估算插值點的修正值。

首先，計算差分表。對于檢定點45 ℃、55 ℃、65 ℃、75 ℃、85 ℃和95 ℃及其對應修正值，計算一階、二階直至五階差分。其次，使用牛頓的插值多項式（2），例如，對于插值點58 ℃，將58代入上述多項式中，計算出該溫度下的修正值。這個過程涉及更復雜的數學運算，尤其是當檢定點數量較多時，計算結果如表1所示。

表1 兩種插值法計算結果統計表

4.2 計算結果差異及原因分析

根據上述計算結果，可以看到線性插值法和牛頓插值法在不同插值點的修正值存在一定的差異。在接近檢定點的情況下（如58 ℃），兩種方法的修正值較為接近，這是因為當插值點離檢定點較近時，線性插值法能夠較好地近似實際值，而牛頓插值法在這些點上也能提供較高的準確度。然而，當插值點距離檢定點較遠時（如48 ℃和92 ℃），線性插值法的修正值與牛頓插值法出現較大差異。這主要是因為線性插值假設了檢定點之間的變化是線性的，這在距離較遠的插值點上可能不再適用，導致準確性下降。相比之下，牛頓插值法利用所有檢定點構建更復雜的多項式，能夠更好地適應數據的整體趨勢，特別是在非線性變化較顯著的情況下。

4.3 實際應用的插值方法優選

在實際應用中選擇合適的插值方法時，首先，需要考慮的是數據本身的特性和所需的準確度。如果數據點之間的關系接近線性，或者插值點非常靠近已知數據點，線性插值法通常是一個簡單且有效的選擇。這種方法的計算過程簡單快速，特別適合于需要快速響應或資源有限的場景，如在一些實時系統或簡單的工程應用中。

其次，當數據呈現復雜或非線性特征，或者需要在較廣的數據范圍內進行插值時，牛頓插值法或其他高級插值方法可能更為適合。牛頓插值法尤其適用于數據點分布不均或者當插值點距離已知數據點較遠時，因為它能更好地捕捉數據的整體趨勢和細微變化。但同時，也要意識到這種方法計算上更為復雜，可能需要更多的時間和計算資源。在選擇插值方法時，還應考慮實際操作的便利性和可行性。例如，在一些需要快速且頻繁計算的應用中，過于復雜的計算方法可能不太實際，即使它們在理論上提供更高的準確性。

再次，實際應用中的數據質量和可用性也是重要考慮因素。如果數據存在噪聲或誤差，高階插值方法可能會放大這些誤差，導致不穩定的結果。在這種情況下，選擇一種更穩健的方法，如線性插值，可能更為恰當。還需要考慮數據的獲取成本和頻率。

最后，還需要考慮應用的特定需求，例如時間敏感度、計算資源的可用性以及預期的結果精度。在一些要求快速響應的應用中，如實時監控系統，快速而簡單的線性插值可能更為適用。而在科研或工程設計等領域，精度非常重要且可以容忍更長的計算時間，復雜的插值方法如牛頓插值可能更合適。

總之，選擇最合適的插值方法需要綜合考慮數據特性、應用需求、計算資源和精度要求，從而在實際性和精確度之間找到最佳平衡。

5 結語

綜上所述，通過對線性插值法和牛頓插值法在玻璃液體溫度計修正值計算中的準確性和適用性進行比較分析。研究表明，雖然線性插值法因其簡單性和計算效率在一些情況下非常有效，但在處理復雜或非線性數據時，其準確度可能受限。相比之下，牛頓插值法能夠更精確地適應復雜的溫度響應曲線，盡管它的計算過程更為復雜。因此，選擇哪種插值方法應基于數據特性、準確性需求和實際操作的便利性，以在實際性和精確度之間找到最佳平衡。