數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)的四個(gè)層面
——以教材函數(shù)習(xí)題為例

何建東, 俞菊妃

(1.紹興市越州中學(xué),浙江 紹興 312075;2.紹興文理學(xué)院數(shù)理學(xué)院,浙江 紹興 312000;3.紹興市元培中學(xué),浙江 紹興 312000)

數(shù)學(xué)教師不僅要在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)解題方法和數(shù)學(xué)思想的落實(shí),而且要在教學(xué)過程中重視教學(xué)理論與教育德育的滲透[1].在發(fā)展解題能力、融合數(shù)學(xué)思想、組織有效教學(xué)、貫徹?cái)?shù)學(xué)育人這4個(gè)遞進(jìn)式層面,數(shù)學(xué)教師既可以達(dá)到“固本”“探源”兩個(gè)教學(xué)目標(biāo),更能夠使自身實(shí)踐與理論得到雙重專業(yè)成長(zhǎng).

章建躍在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(以下統(tǒng)稱“高中《數(shù)學(xué)》”)扉頁(yè)“寄語(yǔ)”中指出,仔細(xì)閱讀教科書,用心揣摩每句話,弄懂每道例題,在探究、質(zhì)疑、反思中逐漸領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法[2].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)也明確指出,數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì),充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教育的育人功能,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值[3-4].

以高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))“函數(shù)的概念與性質(zhì)”單元教學(xué)為例,我們首先要明晰“函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線,因其抽象程度高而成為許多學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)”;其次要明白“用好、弄透教材的每道例題和習(xí)題,才能幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的概念及其思想方法”;然后要明確“理解《課標(biāo)》要求,落實(shí)教材內(nèi)容,發(fā)揮課堂功能,引導(dǎo)學(xué)生通過例題和習(xí)題去感受數(shù)學(xué)文化、解決數(shù)學(xué)問題、形成數(shù)學(xué)思想”[5].

1 解題有“法”——半畝方塘一鑒開

問題是數(shù)學(xué)的心臟．好的數(shù)學(xué)問題不僅可以觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,而且可以成就一段教學(xué)“佳話”．尤其是教材中的例題和習(xí)題,都是專家精挑細(xì)選的,凝聚著編寫團(tuán)隊(duì)的智慧與心血．?dāng)?shù)學(xué)教師要用好、弄透每道例題和習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生分析解決,做到解題有“法”．

例1證明:

1)若f(x)=ax+b,則

2)若g(x)=x2+ax+b,則

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第101頁(yè)綜合運(yùn)用第8題)

分析這是筆者經(jīng)常用作例子的教材習(xí)題．通過對(duì)該題的解答,既可以復(fù)習(xí)初中已學(xué)的一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),又可以讓學(xué)生熟悉鞏固高中新學(xué)的函數(shù)符號(hào)f(x)的含義．教師還可以引導(dǎo)學(xué)生既著眼于“代數(shù)”的角度,通過“解析式”的演算嚴(yán)格推理論證,又借助“圖象”的角度,通過“函數(shù)特性”直觀簡(jiǎn)潔感知．

證明(代數(shù)角度)

1)因?yàn)榈仁阶筮厼?/p>

等式右邊為

所以

2)因?yàn)榈仁阶筮厼?/p>

等式右邊為

感知(圖象角度)如圖1、圖2所示.

圖1 圖2

基于以上問題的解決與說明,筆者一般會(huì)通過適當(dāng)?shù)刈兓c引用,讓學(xué)生思考解決如下類似的問題.

( )

答案為BC.

2 數(shù)學(xué)求“理”——天光云影共徘徊

數(shù)學(xué)是系統(tǒng)的學(xué)科．無論是數(shù)學(xué)問題還是數(shù)學(xué)方法,都不是孤立存在的．?dāng)?shù)學(xué)教師除了要引導(dǎo)學(xué)生解決問題,也要適時(shí)適切地引領(lǐng)學(xué)生梳理蘊(yùn)藏在問題中的數(shù)學(xué)思想,將研究的重點(diǎn)內(nèi)容系統(tǒng)整合成規(guī)律化的模塊,以“問題鏈”“結(jié)論堆”的形式呈現(xiàn),養(yǎng)成數(shù)學(xué)求“理”的習(xí)慣．

以上述教材習(xí)題為引子,教師可以做兩方面“理”的探求.

一是系統(tǒng)地歸納整理教材中涉及函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等圖象與性質(zhì)的系列例題和習(xí)題,對(duì)“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”進(jìn)行拓展研究,引領(lǐng)學(xué)生逐層得出如下系列“結(jié)論堆”.

1)f(0)=0?f(x)過原點(diǎn).

2)f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數(shù);f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數(shù).

3)任意x∈D,f(x)≤M,存在x0∈D,f(x0)=M?M為f(x)的最大值;任意x∈D,f(x)≥M,存在x0∈D,f(x0)=M?M為f(x)的最小值.

5)f(x+1)=f(x)?f(x)的周期為1.

6)f(1+x)=f(1-x)?f(x)=f(2-x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱;f(1+x)=-f(1-x)?f(x)=-f(2-x)?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱.

7)f(x)+f(-x)=2?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱;f(a+x)+f(a-x)=2b?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

8)f(x+y)=f(x)+f(y)?f(x)的一個(gè)代表函數(shù)為f(x)=kx(其中k≠0);f(xy)=f(x)·f(y)?f(x)的一個(gè)代表函數(shù)為f(x)=xα(其中α為常數(shù)).

10)|f(x)|的圖象可看作f(x)的圖象保留x軸上方部分,同時(shí)將x軸下方部分圖象沿x軸翻折到x軸的上方;f(|x|)的圖象可看作f(x)的圖象保留y軸右側(cè)部分,擦去y軸左側(cè)部分,同時(shí)畫出y軸右側(cè)部分圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象;f(x-1)+2的圖象可看作f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位,向上平移2個(gè)單位得到．

二是將數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)站得更高些,利用教師學(xué)過的高等數(shù)學(xué)知識(shí),揭示教材例題和習(xí)題背后的數(shù)學(xué)知識(shí),如本文例1的“源頭”是高等數(shù)學(xué)中的“琴生不等式”.

琴生不等式設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,任意x1,x2∈I,其中x1≠x2,λ∈(0,1),總有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)(《數(shù)學(xué)分析》中也稱“下凹函數(shù)”);反之,如果總有

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)是區(qū)間I上的凹函數(shù)(《數(shù)學(xué)分析》中也稱“上凸函數(shù)”).

3 教學(xué)悟“道”——問渠那得清如許

教學(xué)是范式的行為．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)往往有“范式”可循,數(shù)學(xué)教師要組織學(xué)生悟得學(xué)習(xí)中的門道——研究程序．以“函數(shù)”為例,何為函數(shù)?為何要研究?怎么研究?中學(xué)數(shù)學(xué)就是在不斷研究解決各模塊內(nèi)容的這3個(gè)問題,從而貫徹《課標(biāo)》,使用教材開展課堂教學(xué),實(shí)現(xiàn)教學(xué)悟“道”.

為了給不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)提供借鑒,筆者以“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例梳理得出教學(xué)的一般研究范式.

1)我們已經(jīng)儲(chǔ)備了函數(shù)學(xué)習(xí)的哪些基礎(chǔ)知識(shí)?(初中階段學(xué)過的函數(shù)知識(shí):正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)等.)

2)搜集、了解函數(shù)的形成與發(fā)展史.(函數(shù)產(chǎn)生的社會(huì)背景、函數(shù)概念發(fā)展的歷史過程、函數(shù)符號(hào)的故事、數(shù)學(xué)家與函數(shù)等.)

3)舉例說明數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)背景素材.(融合在數(shù)學(xué)教材大量例題和習(xí)題中的數(shù)學(xué)歷史文化、社會(huì)科技文化、現(xiàn)實(shí)生活文化中的背景材料.)

4)研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般化路徑.(從函數(shù)定義域入手,經(jīng)由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、特殊點(diǎn)線,借助圖象,最后到函數(shù)的最值與值域.)

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第79頁(yè)例3)

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第86頁(yè)綜合運(yùn)用第8題)

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第92頁(yè)探究與發(fā)現(xiàn))

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第101頁(yè)拓廣探索第12題)

2)對(duì)函數(shù)解析式中的實(shí)數(shù)a,b,你認(rèn)為需要分哪些情況進(jìn)行討論研究?這些情況之間有何內(nèi)在的聯(lián)系?

3)這種類型的函數(shù)的研究過程中,與基本不等式存在怎樣的關(guān)聯(lián)?如何解釋說明函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)?

通過這個(gè)學(xué)習(xí)、聯(lián)系、研究與轉(zhuǎn)化的過程,學(xué)生可以提升自己對(duì)數(shù)學(xué)的研習(xí)能力,教師的數(shù)學(xué)教學(xué)也更上了一個(gè)臺(tái)階,突出了教學(xué)的本質(zhì)與關(guān)鍵．

4 教育立“德”——為有源頭活水來

立德是教育的根本．教育要回答并解決“為誰培養(yǎng)人?培養(yǎng)什么人?怎么培養(yǎng)人?”的問題.處于基礎(chǔ)教育與高等教育關(guān)鍵過渡的中學(xué),更要堅(jiān)定不移、不折不扣地“立德樹人”.數(shù)學(xué)教師要充分領(lǐng)會(huì)、深入理解并貫徹落實(shí)《課標(biāo)》的“德育”全要素,落實(shí)教育立“德”．

新教材一個(gè)顯著的特點(diǎn)就是整合了大量?jī)?nèi)容豐富、形式多樣的數(shù)學(xué)文化背景材料,廣泛滲透在教材的例題、習(xí)題和閱讀材料中．?dāng)?shù)學(xué)教師在理解利用教材例題、習(xí)題的過程中,除了要充分揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)屬性,還要善于發(fā)掘并闡述蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)各方面的“德育素材”,包括教材每章的引言、每節(jié)的例題習(xí)題、每單元的閱讀材料、每階段的探索與發(fā)現(xiàn)等．教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題,以發(fā)展和提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),更要引領(lǐng)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)問題的來源與發(fā)展,以感悟數(shù)學(xué)的“文化自信”,讓數(shù)學(xué)教學(xué)始終“德育”其中．

筆者通過“函數(shù)的概念”的3個(gè)引例進(jìn)行數(shù)學(xué)“德育”(以下引例中的圖和表略).

引例1某“復(fù)興號(hào)”高速列車加速到350km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí)．這段時(shí)間內(nèi),列車行進(jìn)的路程s(單位:km)與運(yùn)行時(shí)間t(單位:h)的關(guān)系可以表示為s=350t．

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第60頁(yè)問題1)

引例2如何根據(jù)某市某日的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡(jiǎn)稱AQI)變化圖確定這一天內(nèi)任一時(shí)刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的值I?你認(rèn)為這里的I是t的函數(shù)嗎?

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第60頁(yè)問題3)

(人教A版高中《數(shù)學(xué)》(必修第一冊(cè))第60頁(yè)問題4)

分析上述3個(gè)引例中,引例1以我國(guó)自主設(shè)計(jì)的高速動(dòng)車為科技文化背景,彰顯“中國(guó)速度”“中國(guó)智造”,而且可以讓坐過或者沒坐過“復(fù)興號(hào)”動(dòng)車的學(xué)生感知和了解“350”是個(gè)什么概念.當(dāng)我們坐著自己國(guó)家設(shè)計(jì)制造的高速動(dòng)車馳騁在祖國(guó)綠水青山之間,是何等的自豪與爽快!引例2以與人們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)的空氣質(zhì)量為社會(huì)文化背景,著眼當(dāng)前國(guó)際國(guó)內(nèi)特別關(guān)注的人類環(huán)境保護(hù)話題,與我國(guó)下一個(gè)百年大計(jì)中的“碳達(dá)峰”“碳中和”目標(biāo)相契合,反映了我國(guó)不僅要建設(shè)一個(gè)強(qiáng)大的社會(huì)主義國(guó)家,更要建設(shè)一個(gè)在國(guó)際社會(huì)中負(fù)責(zé)任的“大國(guó)形象”．引例3將事關(guān)我國(guó)城鎮(zhèn)居民生活質(zhì)量的恩格爾系數(shù)作為社會(huì)文化背景,寓意“人民至上”的發(fā)展理念,反映了我國(guó)社會(huì)文明建設(shè)的主要目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)全面小康,滿足全體人民對(duì)更加美好生活的向往,可見教材的例題和習(xí)題的“小題目大作為”．

數(shù)學(xué)的教與學(xué),如科學(xué)研究,亦如文化表達(dá),既需要有“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”那樣,善于從不同的角度、不同的層次去分析探究,以品味其中所蘊(yùn)含的味道,更應(yīng)該秉持“素心正如此,開徑望三益”的精神,回歸數(shù)學(xué)最本質(zhì)、最樸素的東西,方能以不變應(yīng)萬變,以其宗馭其形[6-7].