在“微專題教學”中追求整體,力求深入
——對一道高考題的教學設計與思考

董昊雷

(寧波市鎮海中學,浙江 寧波 315200)

數列是一種特殊的函數,卻又有別于常規函數,它能培養學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養．數列放縮問題是高考中的熱點問題之一,也是教學中的難點問題之一．在解決此類問題的過程中,學生往往會遇到“不知道往哪個方向變形,怎么變形,變形完后又該如何處理”等問題．在教學實施的過程中,教師不能進行低層次的記憶加訓練的模式,而是要讓學生有一個整體的認知,要讓學生清楚問題背后的本質．

微專題教學往往具有“因微而準、因微而整、因微而深”的特點．教師在問題設計的過程中要對學生的認知有一個準確的把握,讓教學變得更精準;在提煉模型的過程中要對問題有一個整體的認識,讓思維變得更完整;在挖掘本質的過程中要對問題有一個深刻的認識,讓學習變得更深入．

本文摒棄了“典例—練習—變式”的教學模式,嘗試了一種“解一題,懂一法,會一類,通一片”的新微專題教學模式,即通過對一個問題的不斷研究,提煉出問題解決的一種方法,從而形成解決一類問題的基本模型,在進一步挖掘此類問題本質的過程中,形成解題教學的一般路徑．筆者用思維導圖的形式歸納了研究問題的基本思路(如圖1)．

圖1

上述研究問題的路徑就是按照“從哪里來—為什么—怎么做—是什么—到哪里去”的思路展開的．“從哪里來”指的是要有一雙發現問題的眼睛,能在具體的問題和情境中找到研究的對象,即發現問題和提出問題;“為什么”指的是為什么要這么操作,即提煉解題背后的邏輯;“怎么做”指的是從背后的邏輯歸納出解決問題的基本模型,即抽象和概括模型;“是什么”指的是對基本模型進行更深入的挖掘使其有更一般的應用,即挖掘問題的本質;“到哪里去”指的是這樣的問題還能在哪里應用,即模型的應用和提升．

根據以上分析,本文以2021年浙江省數學高考試題第10題為例來研究一類“類等差數列”的放縮問題．

1 教學過程

1.1 從哪里來:發現和提出問題

( )

(2021年浙江省數學高考試題第10題)

參考答案給出了如下解法:

an>0.

由

可得數列{an}單調遞減,則

0

(1)

從而

(2)

故

不等式的左、右兩邊開平方,并整理可得

(3)

根據累加法,可得

(4)

當且僅當n=1時取等號.從而

于是

(5)

根據累乘法,可得

(6)

當且僅當n=1時取等號.因此

即

故選A．

問題1你能獨立解決此問題嗎?

追問1如果不能,請你結合答案說說哪些步驟是你無法理解的?你認為最關鍵的一步是什么?

師生活動教師讓學生嘗試獨立解決問題,在解題的過程中尋找自己遇到的難點．接著讓學生細讀答案并與自己的解題過程相比較,然后整理出自我認知上的難點,此時教師需要將學生的問題進行整理和分類．如上所示,將每一個步驟標記為(1)～(6),學生可能遇到如下的難點:第(2)步為什么要取倒數變形?第(4)步與第(6)步的累加、累乘是怎么想到的?為什么要將第(4)步所得結果代入第(5)步?此時教師通過提問“你認為最關鍵的一步是什么”將學生的視角聚焦在本節課的核心問題上來,即第(2)步取倒數變形．

設計意圖首先,研究的問題要具有“可行性、針對性”,即既要符合學生的最近發展區,又要有一定的研究價值．2021年的這道高考題就是一個很好的素材,它不僅符合以上特點,還能激發學生研究的興趣．其次,問題1不僅能讓學生快速入題,還能讓學生在閱讀答案的過程中主動地去發現問題,與此同時學生的思維障礙又能作為教師開展教學的出發點．為了幫助學生突破這些難點,教師需要提煉出如下的研究問題的框架:“為什么、是什么、怎么做”,即參考答案為什么會這么操作?這道題目的本質是什么?這類問題該怎么做?

1.2 為什么:剖析背后的原因

問題2第(2)步為什么要取倒數變形,第(3)步中的式子具有什么特征?

追問2在我們之前的學習中有遇到過類似的數列嗎?

追問3你能解釋將第(4)步的結果代入第(5)步的原因嗎?

設計意圖筆者設計問題2的目的不僅是讓學生得到“類等差數列”模型,還要讓他們理解如何抽象出這個模型．追問2的目的是想讓學生將未知的問題與已知的內容產生聯系,讓知識更有聯系性,方法更有系統性,思想更有整體性．追問3是對問題2的再認識,目的是將對問題2的理解應用到追問3的解釋中去,對思維進行補充,對認知進行深化．“類等差數列”除了讓學生能抽象地看問題外,還能幫助學生對這些步驟有一個更完整的認知,為后續得到解題模型做鋪墊．這樣的類比與學習能讓學生體會知識的應用與遷移,發展學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養．

1.3 怎么做:探尋解題的模型

問題3能否歸納出解題的一般步驟?

圖2

即

累加可得

求和可得

設計意圖問題3的目的不單是要讓學生知道如何解這道高考題,更是要讓學生形成一般化的解題步驟和模型化的思維．具體來看,每一步的過程都是在運用“類等差數列”“類等比數列”的模型,而每一次操作的目的是讓dn或qn的范圍變小,從而限制an的范圍．此題用模型化的觀點看問題是突破難點的關鍵.當學生知道其背后的邏輯和模型化的操作后,就不會覺得這是優秀學生才能解出的問題．用思維導圖將步驟顯性化的目的是讓學生將研究的思路用于其他問題并能進行有邏輯地表達和交流．

1.4 是什么:挖掘問題的本質

例1中對遞推關系的變形有很多:

那么為何要選擇第1)種呢?高等數學中的斯托爾茨定理(以下定理1和定理2)可以解釋這個原因．

(其中L可為有限數,+∞,-∞,但不可為∞).

(其中L可為有限數,+∞,-∞,但不可為∞).

斯托爾茨定理可以用于數列階的估計．回到例1,將遞推關系變形為

從而

解得

即

設計意圖在教學中,我們發現遞推關系的變形有很多種,因此,如何選擇就顯得至關重要．代數的變形并不是憑經驗和記憶,而是有它的理論依據．問題4的目的是希望通過進一步的研究對題目有一個更深入的認識,同時也可以讓學有余力的學生通過挖掘問題的本質得到更高階的知識——斯托爾茨定理．這個定理告訴我們該選擇哪一種變形方式,該朝著哪個方向變形．同時,該定理從較高的層次幫學生厘清了放縮的邏輯,構建了整體性的認知．另外,學生能將該問題的研究類比到其他問題的研究中去,當遇到具有挑戰性的問題時嘗試挖掘問題的本質,用更高的觀點看問題．

1.5 到哪里去:提升問題的認識

(2015年浙江省數學高考理科試題第20題)

問題5學了本節課的內容后,你能估計例2中的數列{an}與哪個數列同階嗎?

即

設計意圖問題5的目的是讓學生通過運用所學知識對本節課的理解有一個鞏固和提升．對比例1與例2,可以發現其中的解題方法和研究思路是一致的.因此,這兩道高考題不僅有助于學生整理思路,還能幫助學生拓展思維．通過這兩道高考題,學生可以發現“類等差數列”的形式雖然有很多,但本質都是用斯托爾茨定理找出其中隱含的“類等差數列”,通過放縮限制an的范圍．同時這兩道高考題都能作為較好的載體幫助學生體會其中隱含的思想方法．另外,在解題的過程中,學生不僅能梳理整節課的思路,將解題步驟進行鞏固和優化,還能在分析問題、研究問題、解決問題的過程中發展數學核心素養．

2 教學反思

微專題教學應具有“因微而準、因微而整、因微而深”的特點．

1)因微而準.微專題教學要能精準定位教學目標,應該讓學生從“學會”走向“會學”．因此,教師對學情的把握要到位,對例題的選擇要精準．在教學中,教師要做到“可行性、針對性”.“可行性”指的是問題的選擇要符合學生的最近發展區;“針對性”指的是教學的開展要圍繞學習的難點和痛點進行．至于例題的選擇并不是越多越好,關鍵是要將問題研究清楚,讓學生有所收獲．

2)因微而整.教師對“問題的發現、問題的剖析、模型的獲得”要有一個清晰的脈絡,問題的引導要做到環環相扣,教學環節的設計要做到層層深入．在教學中,既要做到“小整體”也要做到“大整體”.“小整體”指的是能對解題的步驟進行概括形成一般方法;“大整體”指的是能通過一道題的學習獲得解決一類問題的方法,形成研究問題的一般路徑．

3)因微而深.這里的“深”首先指的是對核心問題的研究要深入,即不僅能挖掘問題的本質,還能將問題進行合理的應用和推廣;其次指的是在探索問題的過程中得到解決問題的方法,形成研究問題的思想．

作為教師,要讓學生在類比方法和推廣思路的過程中獲得分析問題、研究問題、解決問題的能力,提高實踐與應用的能力,發展數學核心素養,真正達到“解一題,懂一法,會一類,通一片”的目的．