基于成分數據分析與模糊模式識別的古代玻璃種類鑒別

王保乾，蔣劍軍

（銅陵學院數學與計算機學院，安徽 銅陵 244061）

古代玻璃的發展，見證了古代絲綢之路各文明中心和民族的文化與技術交流。對于我國古代玻璃的早期研究主要從文化、藝術與歷史的角度進行定性分析。較有代表性的是干福熹對“古代玻璃之路”的研究[1-2]。隨著現代科學技術的發展，劉松等[3]運用便攜式X 射線熒光光譜分析技術（portable X-ray fluorescence analytic Technology，PXRF）對古代玻璃文物進行定量分析，馮百齡[4]則在其研究中應用了數據庫等技術。這些成果表明，數理分析方法在文物研究中的地位在逐漸提高。

由于古代玻璃極易受埋藏環境的影響而被侵蝕風化，在風化過程中內部元素與環境元素進行大量交換，導致其成分比例發生變化[5]。僅利用化學分析手段無法有效解決古代玻璃文物種類鑒別問題，路佳佳[6]提出了將主成分分析與logistic 回歸等機器學習模型相結合，解決古代玻璃文物種類鑒別問題。但古代玻璃文物成分數據的特點是成分性，即各化學成分比例累加和為100%。這類具有定和約束的數據，統計學上稱為“成分數據”[7]。同時定和約束使得成分變量之間具有明顯的共線性，而且經典的統計方法都是在實數域進行的，所以經典的多元統計方法在古代玻璃文物種類鑒別中失效[8-13]。本文通過對古代玻璃文物成分數據進行對數比（Log-ratio）變換，引入模糊模式識別對未知種類的古代玻璃文物種類進行鑒別，克服經典多元統計方法對成分數據分析的不足，研究方法也為國內關于玻璃文物的研究提供了一種新思路。

1 成分數據

1.1 成分數據的概念

定義1 稱數集

為D維成分數據空間，又稱為單形空間，其中c是一個正常數，xi為成分數據中第i種組分。SD中的元素是D維行向量，但由于成分和為定值，所以是D－1 維向量空間。

由于成分數據的定和限制問題，成分數據分布在單形空間而不是整個歐式空間，使得經典的多元統計方法不能夠直接應用于成分數據統計分析中[14]。主要有以下3 個問題。

1）數據的形態在單形空間與歐式空間上不同，需要建立兩空間之間的映射進行解釋。

2）成分數據原始方差結構的負偏性。

3）單形空間上數據分布單一。

為了解決這些問題，Aitchison[15]提出了非對稱對數比（Asymmetric Log-ratio，ALR）變換和對稱對數比（Centered Log-ratio，CLR）變換方法。李柱等[16]提出了等距對數比（Isometric log-ratio，ILR）變換方法。成分數據經過對數比變換將單形空間映射到歐式空間，消除了成分數據的協方差的負偏性，此時多元統計方法就可以應用于變換后的數據了[17]。

1.2 對數比變換

1.2.1 非對稱對數比變換（ALR）

定義2 設x=[x1，x2，…，xD]為成分向量，令

稱此變換為非對稱對數比變換。顯然，非對稱對數比變換將成分數據變換為取值范圍為全體實數的數據，這為模型的選擇帶來了極大的方便。但經過非對稱對數比變換后變量維數降低，變量無法與原始變量一一對應，致使模型解釋性不強。

1.2.2 對稱對數比變換（CLR）

定義3 設x=[x1，x2，…，xD]為成分向量，令

稱此變換為對稱對數比變換。對稱對數比變換相對于非對稱對數比變換而言，映射到歐式空間中，能夠較好地保留數據特征，變換后變量與原始變量一一對應，解釋性強。對稱對數比變換不能消除變量的完全相關性，但此時經典多元統計學模型可應用于變換后數據的分析。

1.2.3 等距對數比變換（ILR）

定義4 設x=[x1，x2，…，xD]為成分向量，令

稱此變換為等距對數比變換。等距對數比變換克服了多重共線性問題，但變換后變量維數減小，變量無法與原始變量一一對應，模型解釋性不強。

1.3 成分數據零值替換

由定義2、定義3 和定義4 易知成分數據中若含有零值，則會在對數比變換中做分母項，對數比變換將毫無意義。因此，對成分數據中零值的處理尤為重要。為了使對數比變換有意義，通常采用3 種非參數方法對零值進行替換。

1.3.1 真實零值與近似零值

真實零值是真正的零值，不是由于誤差而產生的。近似零值是指由舍入產生或限于儀器精度，成分低于一定閾值就無法測得的零值。

1.3.2 加法替換法

式中：rj是替換后的相應組分的值（下同），j=1，2，…，D，Z是一組成分數據中零值的個數，δ 是小于給定閾值的數。

1.3.3 簡單替換法

1.3.4 乘法替換法

式中：δj是用以替代xj的值，c是成分數據的定和。

2 模糊理論

2.1 隸屬函數

模糊數學使用模糊集合來描述難以用傳統集合進行精確刻畫的概念，模糊集合則通過隸屬函數來定義。

定義5 設U是論域，稱映射

確定了U上的一個模糊子集A，映射μA稱為A的隸屬函數，μA（x）稱為x對A的隸屬程度。

從定義5 可知，模糊集合將經典集合論中元素與集合之間“屬于或不屬于”的二元關系擴展為了各種不同程度的隸屬關系。

2.2 模糊集的運算

定義6 取大算子：a∨b=max（a，b），取小算子：a∧b=min（a，b）。

定義7 設有向量A=[a1，a2，…，an]，若0≤ai≤1（i=1，2，…，n），則稱A為模糊向量。

定義8 設A，B為模糊向量。稱為A，B的內積；稱為A，B的外積。

2.3 模糊正態分布隸屬度函數

模糊正態分布隸屬函數描述的模糊子集是最常用的模糊子集。

1）偏小型。

2）中間型。

3）偏大型。

2.4 格貼近度

定義9 設A，B是論域U上的2 個模糊子集，稱

為A與B的格貼近度。

2.5 多特征模糊模式識別原則

設數據樣本x由D（D≥1）個特征來描述，即x=[x1，x2，…，xD]。下面介紹基于模糊理論的x的識別方法。

基于貼近度的擇近原則：論域U上有m個模糊子集：A1，A2，…，Am，其構成了一個標準模式庫。若x與其中Ai0的格貼近度最大，則將x識別為模式Ai0。

古代玻璃文物風化時會和外界元素發生隨機交換，這一元素交換過程是模糊的，風化程度同樣也是模糊的。經典的模式識別算法難以解決模糊度較大的識別問題，于是基于模糊理論的模糊模式識別方法便應運而生。

3 實證分析

3.1 實證過程

3.1.1 數據獲取與預處理

本文數據集來自全國大學生數學建模競賽官網上公開的賽題數據[18]。本文將成分含量加和在85%~105%的視為有效數據，對于不在此范圍內的15 號與17 號文物數據做剔除處理。通過閱讀數據集，發現存在缺失值與零值。根據數據集的背景，本文認為缺失值是由于檢測儀器精度問題而未檢出，零值是由于舍入誤差造成，即缺失值與零值都是近似零值。已知種類的數據是文物隨機采樣點的化學成分含量，而待識別數據是整個文物的化學成分含量。數據文物風化信息可用于區分分化與否，無須根據風化情況進行分組識別。

基于上述分析，對剔除無效數據的數據，沒有嚴格符合定和約束的成分數據轉化為定和約束，再進行近似零值替換。由于式（3）中乘法替換法可以保持在單形空間上的運算[19]，經近似零值替換后不改變單形空間上的性質，更適合下一步的對數比變換。本文在根據式（3）對近似零值進行乘法替換時，設儀器最小檢測限為ej，將數據中各成分的最小非零值視為最小檢測限，并添加隨機誤差項。經研究發現δj取0.65ej時，可以最小化協方差矩陣的扭曲[20]。最后，分別使用3 種對數比方法對近似零值替換后的數據進行變換。

3.1.2 未知玻璃文物種類識別

本文建立基于貼近度的多特征擇近原則模糊模式識別方法。在模糊模式識別中，利用隸屬函數作為樣本和模板的度量，能夠較好地反映模式的整體特征，并且針對樣品中的干擾、噪聲具有很強的剔除能力[21-22]。主要有以下步驟。

步驟1：建立特征集。古代玻璃文物數據含有14個成分，即特征集含有14 個特征。

步驟2：確定結論集。結論集是由所有可能結果構成的集合，即結論集包含高鉀玻璃與鉛鋇玻璃2 個元素。

步驟3：建立標準模式。特征集就是論域，結論集中的元素就是標準模式。根據成分數據特征，選取中間型模糊正態分布作為隸屬函數。

步驟4：模式識別。根據定義9 和古代玻璃種類的模糊模式，以格貼近度度量與模糊模式的接近程度，待識別對象屬于貼近度較大的模式。

3.2 實證結果

3.2.1 近似零值替換結果

經乘法替換法替換后的玻璃文物成分數據見表1和表2。

表1 已知種類玻璃成分數據零值替換（部分）

表2 待識別玻璃成分數據零值替換

通過分別對比表3 和表4，零值替換前后描述性統計結果，可以發現由近似零值替換引起的各項統計指標僅發生了微小的變化，數據特征基本不變。由此可以認為本文應用乘法替換法是合理的。

表4 待識別玻璃成分數據零值替換前后的描述性統計（部分）

3.2.2 3 種對數比變換結果

通過對數比變換將單形空間上的成分數據映射到歐式空間中，對數比變換后的取值范圍是整個實數空間。根據定義2 和定義4 易知，非對稱對數比變換與等距對數比變換使數據特征由14 維降低1 個維度到13維，無法與原始變量一一對應，表5 與表6 中特征含義難以解釋，且兩表中特征含義不同。

表5 已知種類玻璃成分數據非對稱對數比變換（部分）

表6 已知種類玻璃成分數據等距對數比變換（部分）

3.2.3 模糊模式建立結果

如前所述，本文選取中間型模糊正態分布作為隸屬函數。對稱對數比變化下的2 種類型玻璃模糊正態分布函數曲線如圖1 所示，同一子圖中的2 條曲線差異越大，說明對應的特征在識別玻璃種類中越顯著。因此，直觀上氧化鉛、氧化鋇與氧化鉀是對分類結果影響較為顯著的特征。

圖1 對稱對數比變化下2 種類型玻璃的模糊正態隸屬度函數

3.2.4 3 種對數比變換下的模糊模式識別

分別在3 種對數比變換下應用模糊模式識別模型，并采用交叉驗證方法，計算出如表7 所示分類識別準確率。

表7 識別準確率比較%

3.2.5 CLR 下模糊模式識別與機器學習對比

使用模糊模式識別方法對玻璃文物種類進行預測，同時引入隨機森林算法和支持向量機算法，與基于對稱對數比變換的模糊模式識別結果進行對比。通過交叉驗證，得到模糊模式識別與隨機森林的準確率為100%，支持向量機算法的準確率為97.6%。分類預測結果見表8。

表8 分類預測結果

4 結論

國內外對于古代玻璃的研究中應用數字化方法尚處于初始階段，在一些研究中常常忽略數據的成分特性，存在一些方法濫用的情況，基于成分數據的古代玻璃文物分析鮮有涉及。從本文的研究來看，關于近似零值替換問題，加法替換法與小于閾值的數δ、維數D與零值個數Z有關；簡單替換法與和定和c有關；乘法替換法δj的值不依賴于維數D與空值Z的個數，且保持了單形空間上的運算。選用乘法替換法不改變成分數據的性質，可以更好地應用對數比變換處理成分數據。

經對稱對數比變換后，進一步對比模糊模式識別算法與隨機森林、支持向量機算法分類準確率。以上3種方法對高維數據的處理都有著良好的效果，均取得了較高的分類準確率。但是隨機森林與支持向量機運算較為復雜，訓練時所需要的時間和空間很大。模糊模式識別的運算量較小，在運算速度較快的情況下仍能保持極高分類準確率。因此，模糊模式識別在解決古代玻璃分析問題時有著明顯的優勢。

基于成分數據的理論廣泛應用于考古學、地質學與材料學等方面。在本文的研究中，根據數據的成分性特點合理地處理成分數據，使數據擺脫單形空間限制，使得經典的多元統計方法能應用于成分數據的分析。3種對數比轉化下的模糊模式識別方法對于古代玻璃種類的鑒別具有良好的效果。其中，對稱對數比變換下的模糊模式識別方法同時具備高分類準確率與較好的模型解釋性。對數比變化下的模糊模式識別方法的分類效果與隨機森林、支持向量機等機器學習算法相比也毫不遜色。本文為考古工作者的文物分類研究提供了一種新的簡單快速且準確的方法。