具有“挑戰(zhàn)性任務(wù)”的數(shù)學(xué)問題鏈的教學(xué)案例設(shè)計(jì)嘗試

徐璦 楊凱凡 趙臨龍

陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院??陜西漢中??723001

摘??要：?jiǎn)栴}鏈教學(xué)通過一個(gè)個(gè)問題合理分解教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)思考，有關(guān)挑戰(zhàn)性任務(wù)的研究可以為問題鏈的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。文章闡述了數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)和問題鏈教學(xué)的關(guān)聯(lián)以及設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性問題鏈的關(guān)鍵點(diǎn)，通過對(duì)“確定二次函數(shù)表達(dá)式”的教學(xué)實(shí)踐探索，闡述了關(guān)于挑戰(zhàn)性任務(wù)的問題鏈設(shè)計(jì)的思路及實(shí)施要點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：挑戰(zhàn)性任務(wù)；問題鏈；二次函數(shù)

一、數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)與數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)指在數(shù)學(xué)中需要深入思考，對(duì)學(xué)生認(rèn)知要求高的任務(wù)，核心目標(biāo)指向?qū)W(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)，如對(duì)信息的分析綜合能力、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造能力。采用“挑戰(zhàn)性任務(wù)”的數(shù)學(xué)課程，以實(shí)際問題為主驅(qū)，以對(duì)知識(shí)的積極投入、建構(gòu)與創(chuàng)新為手段，強(qiáng)調(diào)將學(xué)生知識(shí)內(nèi)化、知識(shí)運(yùn)用與數(shù)學(xué)高階思維的提升。“挑戰(zhàn)性目標(biāo)”讓教學(xué)從學(xué)科走向?qū)W生，“挑戰(zhàn)性內(nèi)容”讓教學(xué)從單一走向多元，“挑戰(zhàn)性流程”讓教學(xué)從“主導(dǎo)”轉(zhuǎn)向“合作”。學(xué)習(xí)者可以在挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)中挑戰(zhàn)自我，實(shí)現(xiàn)各種身心發(fā)展與能力提高。[1]

問題鏈教學(xué)是教師以教學(xué)目標(biāo)為指引，根據(jù)教學(xué)中的知識(shí)關(guān)聯(lián)，提出一系列具有邏輯連接的問題鏈，將教學(xué)目標(biāo)分解成一連串小目標(biāo)，使學(xué)生在自主探索解決問題的過程中掌握知識(shí)、鍛煉能力的教學(xué)方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)高階思維以問題為載體，設(shè)計(jì)的問題鏈可以有效引領(lǐng)學(xué)生思考，外化思維過程，在問題鏈指導(dǎo)下思考和解決問題的過程中，高階思維也得到了有效發(fā)展。[2]

數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)與問題鏈教學(xué)都旨在追求對(duì)學(xué)生深入的數(shù)學(xué)思考即高階思維能力的培養(yǎng)。第一，挑戰(zhàn)性任務(wù)具有復(fù)雜性、綜合性，適度的挑戰(zhàn)性既可以保證任務(wù)對(duì)學(xué)生具有吸引力也能通過問題解決過程實(shí)現(xiàn)學(xué)生發(fā)展。第二，數(shù)學(xué)問題鏈為學(xué)生進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)思考提供載體，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、思維能力。教師可將挑戰(zhàn)性任務(wù)通過問題鏈呈現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生積極進(jìn)行思維活動(dòng)，鍛煉學(xué)生的高階思維能力，為挑戰(zhàn)性任務(wù)的落實(shí)提供路徑。數(shù)學(xué)問題鏈教學(xué)，是一種構(gòu)建知識(shí)聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、完成挑戰(zhàn)性任務(wù)，從而激發(fā)學(xué)生深入思考、落實(shí)核心素養(yǎng)的培育的方式。[3]?因此，基于挑戰(zhàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題鏈值得關(guān)注和研究。

二、基于挑戰(zhàn)性任務(wù)設(shè)計(jì)問題鏈的關(guān)鍵點(diǎn)

（一）明確教學(xué)目標(biāo)，做好課堂預(yù)設(shè)

第一，教師要對(duì)數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)性任務(wù)進(jìn)行剖析，確定符合學(xué)生認(rèn)知水平且學(xué)生能最大限度獲得發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)。以學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平為出發(fā)點(diǎn)，以教學(xué)目標(biāo)達(dá)成為終點(diǎn)設(shè)計(jì)問題鏈。問題鏈間應(yīng)有明確的邏輯聯(lián)系，在教學(xué)活動(dòng)結(jié)束后形成由淺入深、層層遞進(jìn)的探究體驗(yàn)。第二，預(yù)設(shè)就是根據(jù)一定的事實(shí)材料、經(jīng)驗(yàn)和理論知識(shí)對(duì)實(shí)踐活動(dòng)的策劃、規(guī)劃、預(yù)測(cè)、設(shè)計(jì)等活動(dòng)。[4]設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，不僅要考慮每個(gè)問題的價(jià)值及想要達(dá)成的效果，還應(yīng)充分預(yù)設(shè)學(xué)生的回應(yīng)。學(xué)生在解決問題時(shí)可能會(huì)選擇不同的方法，這要求教師自己經(jīng)歷多種解決問題的路徑，做出多種預(yù)設(shè)。課堂上，學(xué)生可能很快提出解決方法，也可能遲遲找不到突破；可能出現(xiàn)多種思路，也可能想法單一。教師應(yīng)提前做好預(yù)案，使學(xué)生持續(xù)思考并保證課堂效果。

（二）依據(jù)最近發(fā)展區(qū)，合理設(shè)置問題難度

維果斯基將學(xué)生現(xiàn)有水平與學(xué)生可能達(dá)到的水平之間的差異稱為最近發(fā)展區(qū)。即教學(xué)目標(biāo)要符合學(xué)生現(xiàn)有水平，也應(yīng)符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生在可能范圍內(nèi)獲得最大的發(fā)展。在基于挑戰(zhàn)性任務(wù)設(shè)置問題鏈時(shí)，問題需具有一定難度，是學(xué)生必須認(rèn)真思考、探索總結(jié)后才能解決的，經(jīng)歷這樣的“挑戰(zhàn)”，才能發(fā)揮對(duì)學(xué)生高階思維能力的提高作用。但若問題難度與學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平差距過大，超出最近發(fā)展區(qū)，即使在教師引導(dǎo)下勉強(qiáng)完成任務(wù)，新知識(shí)也很難與學(xué)生已有知識(shí)建立聯(lián)系，起不到鍛煉學(xué)生思維的作用。因此，在設(shè)置問題鏈時(shí)，可利用主干問題將任務(wù)分層，各問題間留有一定的思考空間，在主干問題之間設(shè)置輔助問題，在學(xué)生無法自主解決時(shí)進(jìn)行適時(shí)引導(dǎo)，這樣既給學(xué)生留下了充足的發(fā)展空間，也保證學(xué)生能通過努力解決問題。

（三）發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生自主探索

在傳統(tǒng)的教育模式里，學(xué)生學(xué)習(xí)處于被動(dòng)接受的地位，單方面的知識(shí)傳遞不利于學(xué)生創(chuàng)造力、想象力以及學(xué)習(xí)主動(dòng)性的發(fā)展。因此，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。首先，在設(shè)計(jì)問題鏈時(shí)，可以通過生活情境等與學(xué)生聯(lián)系緊密的挑戰(zhàn)性問題吸引學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生解決問題及探索的欲望。其次，在探索過程中，對(duì)于基礎(chǔ)的、挑戰(zhàn)程度不高的問題，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考探索解決問題；對(duì)于考察要求較高、挑戰(zhàn)性較大的問題，可通過集體討論、共同實(shí)驗(yàn)等團(tuán)體探索的形式進(jìn)行解決。既可以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，又可以鍛煉學(xué)生溝通表達(dá)的能力、培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的意識(shí)。最后，在教學(xué)中，教師要懂得適時(shí)放手，給學(xué)生觀察、操作、討論的機(jī)會(huì)使學(xué)生從內(nèi)心產(chǎn)生求知的欲望，學(xué)生的內(nèi)在需求更能調(diào)動(dòng)自身各項(xiàng)特長與潛能，在完成挑戰(zhàn)性任務(wù)的同時(shí)也獲得了自身的發(fā)展。

（四）考慮學(xué)生差異性，設(shè)置輔助性問題

陶行知先生說過：“教什么和怎么教，絕不是凌空可以規(guī)定的，它們都包含‘人的問題，人不同，則教的東西、教的方法、教的分量、教的次序都跟著不同了”。[5]首先，在面對(duì)挑戰(zhàn)性任務(wù)時(shí)，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平確定該任務(wù)的學(xué)習(xí)目標(biāo)。設(shè)置啟示性問題引導(dǎo)學(xué)生將挑戰(zhàn)性任務(wù)與已有知識(shí)聯(lián)系起來或提示可選擇的探究方向與方法；同時(shí)設(shè)置拓展性問題，若大多數(shù)同學(xué)都能完成挑戰(zhàn)性任務(wù)，展示拓展性問題對(duì)學(xué)生提出更高的要求。其次，班級(jí)中不同學(xué)生有不同的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)水平，教師應(yīng)密切關(guān)注每個(gè)學(xué)生的表現(xiàn)。有的同學(xué)能快速組織調(diào)動(dòng)已有知識(shí)結(jié)構(gòu)并探索出問題解決辦法，此時(shí)教師可針對(duì)性地提出輔助問題，如：“你能想到多少種解決辦法？不同的辦法有什么特點(diǎn)？”，增加學(xué)生探索過程的深刻性。當(dāng)然，也有面對(duì)問題局促茫然、無從下手的學(xué)生，教師可適時(shí)提供更加具體的提示問題，讓學(xué)生參與到問題解決的探索中來，保證每個(gè)學(xué)生都能在解決問題的過程中有所收獲。

三、《確定二次函數(shù)的表達(dá)式》教學(xué)案例

《確定二次函數(shù)表達(dá)式》是北師大版教材中九年級(jí)下冊(cè)第二章“二次函數(shù)”第三節(jié)內(nèi)容。

（一）內(nèi)容分析

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中十分重要的一部分，在本節(jié)內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的表達(dá)式、圖像以及性質(zhì)，求二次函數(shù)表達(dá)式是在了解函數(shù)表示形式及函數(shù)圖像性質(zhì)的基礎(chǔ)上展現(xiàn)的，同時(shí)也為二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。在本節(jié)課中，學(xué)生需要把握數(shù)形結(jié)合的思想，在實(shí)際的問題中抽象出數(shù)學(xué)模型并根據(jù)題目條件靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式。

（二）問題鏈設(shè)計(jì)

1.提出挑戰(zhàn)性問題，設(shè)置輔助問題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已有知識(shí)

挑戰(zhàn)性任務(wù)的設(shè)置是依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平而確定，其中包含了學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，但學(xué)生無法輕松解決。該任務(wù)能引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件回憶已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。經(jīng)過對(duì)問題的分析過程，能鍛煉學(xué)生識(shí)別、定位已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的技能，提高學(xué)生完善認(rèn)知體系的能力。

問題1（挑戰(zhàn)性任務(wù)）：如圖一個(gè)隧道入口橫截面是拋物線，入口底部寬8米，隧道兩側(cè)各有一盞燈，燈的高度距地面4米，兩燈之間水平距離為6米，隧道口的最大高度多少米？

問題1-1：針對(duì)以上問題你能想到什么數(shù)學(xué)內(nèi)容？有什么解決這個(gè)問題的辦法？

問題1-2：如果要運(yùn)用拋物線的性質(zhì)解決問題，針對(duì)未知的函數(shù)，怎么去求函數(shù)表達(dá)式呢？

問題1-3：回憶學(xué)過的兩種函數(shù)，在求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)表達(dá)式時(shí)，待定系數(shù)法有哪些步驟？

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課以問題解決型的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)任務(wù)開始，該任務(wù)對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言具有挑戰(zhàn)性。問題以生活化情境呈現(xiàn)，學(xué)生需要分析問題并結(jié)合已有知識(shí)從中抽象出數(shù)學(xué)模型。問題解決方法多樣，學(xué)生需要花費(fèi)大量時(shí)間確定解決路徑及步驟。

問題1-1的設(shè)置旨在使學(xué)生建立與所學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，體會(huì)生活與數(shù)學(xué)的緊密關(guān)聯(lián)。學(xué)生獨(dú)立思考后，部分學(xué)生會(huì)提出初步的想法，但也會(huì)有大量學(xué)生表示毫無頭緒，輔助問題1-2將難度分解，提示學(xué)生思考的方向。問題1-3回顧待定系數(shù)法，通過類比為本節(jié)課求解二次函數(shù)表達(dá)式做準(zhǔn)備。

2.不同情況探究比較，加深學(xué)生思維深度

圍繞同一知識(shí)點(diǎn)設(shè)置不同形式的問題，學(xué)生在解決問題過程中需要進(jìn)行知識(shí)的遷移，通過類比進(jìn)行已知到未知的推理。單獨(dú)完成對(duì)每個(gè)小問題的解題后，對(duì)不同情況進(jìn)行比較總結(jié)，形成對(duì)該部分內(nèi)容的整體把握。經(jīng)歷這部分探究，提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的遷移能力、已知到未知的推理能力以及建立解題模型的能力。

問題2：二次函數(shù)表達(dá)式有幾種形式？請(qǐng)嘗試求出以下情況中二次函數(shù)表達(dá)式。

問題2-1：拋物線圖像過（1，0），（2，0），（3，4）三點(diǎn)，求拋物線的表達(dá)式。

問題2-2：拋物線頂點(diǎn)是A（4，1），并且經(jīng)過點(diǎn)B（2，0），求二次函數(shù)的表達(dá)式。

問題2-3：拋物線的圖像過點(diǎn)A（1，3）、B（-2，-6）且對(duì)稱軸是，求二次函數(shù)的表達(dá)式。

3.展示思維過程，討論辨析，發(fā)展表達(dá)能力和批判性思維

學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)和總結(jié)能力不可忽視，討論過程中不僅鍛煉了學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力也提高了分析總結(jié)的水平，有利于高階思維能力的固化。問題3是對(duì)問題2的整理總結(jié)，通為學(xué)生提供交流合作的機(jī)會(huì)，學(xué)生通過語言梳理思路并外化。討論過程結(jié)束后，教師可根據(jù)討論情況引導(dǎo)學(xué)生做出整理，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)新知識(shí)建構(gòu)。同時(shí)，批判質(zhì)疑思維也具有重大意義，學(xué)生通過分析和判定過程與結(jié)論是否正確，促進(jìn)學(xué)生的批判性思維發(fā)展以及獨(dú)立思考，增加學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

問題3-1：你和其他同學(xué)求表達(dá)式的方法一樣嗎？請(qǐng)同學(xué)們四人一組，展示自己的求解過程并說明理由。

問題3-2：你覺得其他同學(xué)的方法正確嗎？

4.多種方法解決問題，鍛煉學(xué)生分析問題的靈活性

同一問題采用不同的解決辦法會(huì)經(jīng)歷不同的難點(diǎn)。因此引導(dǎo)學(xué)生選擇不同方案解題并進(jìn)行分析對(duì)比，讓學(xué)生養(yǎng)成對(duì)問題條件的深度分析意識(shí)，靈活選取合適便捷的思路，避免思維定勢(shì)的影響，提高學(xué)生思維的靈活性。

問題4（重新展示挑戰(zhàn)性任務(wù)）：?在這個(gè)問題中你會(huì)如何設(shè)立坐標(biāo)系，怎么確立更便于確定函數(shù)表達(dá)式呢？

問題4-1：以A為原點(diǎn)設(shè)立坐標(biāo)系，其他幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)如何表示？并用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式。

問題4-2：以C為原點(diǎn)設(shè)立坐標(biāo)系，其他幾個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)如何表示？用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式。

問題4-3（拓展性輔助問題）：以上哪種做法比較簡(jiǎn)便？你能想到更簡(jiǎn)便的做法嗎？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4重新回到挑戰(zhàn)性任務(wù)，教師需根據(jù)課堂狀態(tài)選擇問題呈現(xiàn)，若大部分學(xué)生對(duì)問題解決有了明確方法，則問題4-1與4-2可以不做集體呈現(xiàn)，將其有針對(duì)性作為輔助問題提供給遲遲沒有動(dòng)作的學(xué)生。若問題4-1、4-2沒有集體呈現(xiàn)，學(xué)生設(shè)置坐標(biāo)系可能出現(xiàn)其他形式，問題4-3在呈現(xiàn)時(shí)可做適當(dāng)調(diào)整，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整理比較，體會(huì)不同方法的選擇依據(jù)和優(yōu)點(diǎn)。

5.形成完整解決方案并應(yīng)用于新問題，提高學(xué)生決策能力及問題解決能力

學(xué)生經(jīng)歷一系列探究后，能分析題中解決問題所需的信息，建立信息間的聯(lián)系，制定最優(yōu)的解決方案，提高解決問題時(shí)的決策能力。對(duì)于新的問題，學(xué)生通過解釋相關(guān)信息，辨別各類情況的關(guān)聯(lián)和差異，完成對(duì)所學(xué)知識(shí)和技能的遷移，鍛煉學(xué)生辨析和解決問題的能力。

問題5：現(xiàn)在你能選擇合適的辦法計(jì)算出隧道口的最大高度了嗎？有幾種方法？

問題6（鞏固+檢測(cè)）：請(qǐng)同學(xué)們嘗試用多種方法解決以下問題。

李大叔建一個(gè)蔬菜大棚如圖所示，大棚橫截面為拋物線，尺寸如下圖。

（1）求拋物線表達(dá)式；

（2）李大叔身高180cm，要想在大棚內(nèi)不彎腰活動(dòng)，求他的橫向活動(dòng)范圍是多少米。

（三）小結(jié)

“確定二次函數(shù)表達(dá)式”問題鏈的設(shè)計(jì)以學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，按照6個(gè)主干問題展開，部分問題下設(shè)有輔助問題。主干問題將挑戰(zhàn)性任務(wù)分解，為學(xué)生搭建解決問題的腳手架，輔助問題根據(jù)課堂情景呈現(xiàn)，在必要時(shí)促進(jìn)學(xué)生自主思考。在教學(xué)過程中，挑戰(zhàn)性任務(wù)借助問題鏈靈活培養(yǎng)學(xué)生完善認(rèn)知體系的能力、建模能力、問題解決能力和決策能力等中學(xué)生高階思維能力。因此，基于挑戰(zhàn)性任務(wù)的問題鏈設(shè)計(jì)對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生高階思維切實(shí)有效。

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*?作者簡(jiǎn)介：徐璦（1995—），女，漢族，陜西西安人，碩士研究生，主要從事學(xué)科教育（數(shù)學(xué)）方向研究。