安裝誤差對于電場式圓時柵傳感器測量精度的影響規律及抑制方法

于沛玉，王合文，王祥虎，吳昶亮，展丙男

（1.重慶理工大學機械檢測與裝備技術教育部工程研究中心，重慶 400054；2.時柵傳感及先進檢測技術重慶市重點實驗室，重慶 400054；3.通用技術集團國測時柵科技有限公司，重慶 400039；4.北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081）

0 引言

角位移測量在制造業、機器人等行業具有重要地位，而隨著半導體制造和精密加工領域的發展，對大量程范圍內的位移測量精度要求越來越高，如何精確地獲得角位移信息是實現精密測量和加工的關鍵之一。測量精度越高，對傳感器安裝精度的要求就越高，因此如何在安裝精度有限的條件下保證較高的測量精度成為亟待解決的問題。

光柵傳感器因高分辨率、高精確度而被廣泛運用在各個測量領域。光柵傳感器由標尺光柵和指示光柵組成，通過光的干涉衍射產生莫爾條紋，再對莫爾條紋移動的數量進行角度測量［1］。由于其柵線密度大、精度高，使光柵編碼器可以達到納米級的測量精度。但光學傳感器的測量精度主要由光柵刻線精度與讀數頭來決定，讀數頭的制造一致性與安裝位置偏差都會對測量精度產生影響。目前，日本ASIT采用等分平均法，利用同軸安裝雙光柵尺與整周均布多讀數頭進行誤差平均，達到了±0.01″的測量精度［2］。德國聯邦物理技術局利用大尺寸光柵盤整周特殊位置排列的16個讀數頭消除因安裝帶來的位置誤差［3－4］。但由于多個讀數頭的安裝同心度很難保證，且在測量過程中還有軸系偏移等影響因素，更加難以控制多個讀數頭之間的一致性。因此，為了在現有安裝條件基礎上進一步提高圓光柵測量精度，國內外學者從誤差補償方法入手進行深入研究，期望通過誤差修正和增加讀數頭數量求平均的方法來進一步降低由分度誤差和安裝誤差引起的測量誤差［5］。

在非光學傳感器領域，電磁式、電容式傳感器通過電磁感應或電場耦合的方式實現角位移測量。與光學傳感器不同，電磁式、電容式傳感器采用電極平面作為傳感單元，并利用重疊電極區域的變化導致的電場強度變化進行位移測量。因此與光學傳感器相比，電容式傳感器能夠在整個電極平面進行信號的輸入和讀取，輸出信號強度較高，同樣能夠進行高精度的位移檢測。然而電容極板的制造、傳感器安裝、測頭布置等均會對測量精度造成影響。其中，孫世政等［14］從測頭數量和布置方式入手，提出了一種改進長短周期誤差的新型測頭布置方案。

納米時柵電容式傳感器可以通過微納制造技術大幅增加讀數頭的數量和制造精度，因此，相較于光學傳感器，它能夠極大地降低對環境與安裝精度的要求，從而在更多復雜場合進行高精度位移測量。筆者所在團隊前期分析了納米時柵傳感器的誤差理論，詳細闡釋了行波的形成機理，并對安裝傾斜、偏移等造成的大量程誤差進行定性分析，但未對安裝誤差進行理論上的系統性闡釋。

時柵傳感器利用相對面積變化引起的電容變化反映位移的變化，利用電極重合面積的積分作用來調制信號［15－16］。下面結合時柵傳感特性，采用分段面積積分法進行建模，詳細研究在偏心、傾斜等安裝誤差存在情況下對測量精度的影響，利用多測頭結構帶來的勻化效應對誤差進行抑制，并通過實驗驗證理論分析結果的準確性。

1 測量原理

電場式納米時柵位移傳感器整體結構如圖1（a）所示，由一組平行電容極板構成定子和轉子。其中，轉子表面覆蓋有正弦形的感應電極，定子表面整周列陣方形金屬激勵電極。定轉子正對安裝，安裝間隙為d。由于轉子極片與定子極片之間的重合面積的變化會導致輸出信號的變化，因此傳感器通過觀測輸出信號的變化并進行數據處理，計算位移變化量。定子由矩形電極按照等間距的排列置于絕緣板上，以4個為1組同時通以4個幅值、頻率相同，相位相差π／2的激勵信號，按施加信號的相位分別標為S＋、C＋、S－和C－。一組激勵極片的感應電壓如式（1）所示。

圖1 納米圓時柵結構示意圖

理想情況下，感應電極與S路和C路激勵電極分別構成2個差動平板電容，則感應電極上的輸出信號與平板電容間的正對面積呈線性關系，輸出信號可以表示為

設激勵極片的高度為2Δr，傳感器周期數為N，此時感應極片即為幅值為Δr的正弦形極片，如圖1（b）所示。空間中1個感應電極對應4個激勵電極，為方便分析，以S＋路信號為例，運用分段積分將一個周期內的面積變化ΔSS＋表示為：

可以看出，傳感器在1個周期內運動時，定轉子的正對面積變化總可以表示為

最大面積S0可表示為

由于S＋、C＋、S－和C－路極片相互之間在空間上偏移π／2N的角度，因此可以得到四路激勵在感應電極上拾取到的耦合信號以及總的輸出信號UO的表達式為

式（6）中，A＝NA0。可知，單列式圓時柵傳感器在四路激勵電極上加載正交的激勵信號與感應極片進行耦合，從而形成一個行波信號。將行波信號UO輸出并整形為方波，與1個相位固定的同頻參考信號Ur進行比相。利用脈沖插值技術檢測UO與Ur之間的相位差，從而計算出位移值。

2 傳感器誤差分析

2.1 誤差特性

圓時柵傳感器在測量過程中需要始終維持定轉子的同軸相對平行運動，因此安裝造成的偏心和傾斜是造成測量誤差的重要原因之一。將式（6）表示的輸出信號進行傅里葉展開：

式中：a0和b0表示空間信號的直流分量，an和bn表示表示空間信號諧波的幅值；n表示空間信號諧波的頻次；φn和ηn表示空間信號諧波的相位。將這些變量稱為空間信號參量，若空間信號中包含這些空間參量，傳感器的輸出信號將是一個畸變的類行波信號。令：

則式（7）可表示為

周期誤差可以表示為

因此，只需要求出a（θ）和b（θ）的函數關系，便可求得周期誤差的變化趨勢。由時柵測量原理可知，整周誤差是由360°內連續的周期內誤差構成，因此在采樣角度為單個周期對應角度時，可將整周誤差轉換為N個周期內誤差，代入式（10）運算后求得周期內頭尾的具體誤差量值。這個量值反映了整周誤差在各個周期內的具體細分，因此將求得的N＋1個量值連續排布便可得到整周誤差的變化規律。

2.2 偏心誤差

納米時柵傳感器以平行電容極板的電容變化導致信號變化為原理，因此需要定子轉子保持平行正對的安裝與運動。實驗時由于人為因素無法避免會出現定子與轉臺、定子與轉子安裝不同心的情況，動定子在XY平面上的投影如圖2（a）所示。將轉子的正弦形極片與定子的方形極片的重合長度記為l。

圖2 傳感器安裝偏心示意圖

以過兩圓心的中垂線作為X軸建立極坐標系。設極片內徑為R1＝r－Δr，外徑為R2＝r＋Δr，則當0＜θ＜π時，有：

可求得l的表達式為

同理，當π＜θ＜2π時，有

整周測量時，選取整周不同周期內的同一點作為采樣點進行測量，且實際測量中整周周期數目較多，動定子極片的軸線在轉動中可認為近似重合，則面積變化ΔS如圖3所示。因此可以將動定子極片重合面積變化轉換成動定子極片的重合長度變化。在安裝過程中會對偏心量進行控制，因此在分析中可以簡化考慮圖3（b）—（d）所示區間。

圖3 偏心狀態下變面積分段積分示意圖

以C路為例，定子與轉子極片重合面積ΔSC與軸線重合長度的關系有：

同理，可得S路的面積變化ΔSS。將式（1）表示的輸出信號改寫為：

那么周期誤差可以表示為：

因此，將式（12）—式（14）代入式（16）便可得到周期誤差在整周的變化趨勢曲線方程為

將傳感器整周設為12個周期，以步長30°進行采樣，共采樣13個點，軟件仿真結果如圖4所示。可以看出，安裝偏心會導致整周一次諧波誤差，誤差值隨偏心量a的增大而增加。

圖4 偏心量對偏心誤差影響的仿真分析結果

2.3 傾斜誤差

當傳感器動定子同心精度較高但安裝不平行時，轉子在定子上的投影面積與定轉子之間的距離都會隨著轉臺運動而產生變化。由式（6）可知，時柵傳感器通過測量行波的相位變化得到空間位移，而定轉子間的距離變化主要導致行波幅值的變化，投影面積對相位的影響則更加顯著。在動定子安裝不平行時，其在XY平面上的投影如圖5（a）所示。

圖5 傳感器安裝傾斜示意圖

如圖5建立坐標系，設動定子間夾角為φ，得到動定子在XY平面上的投影重合部分。同理可得，當0＜θ＜2π時有：

可求得l的表達式為

同理，可得ΔS的變化情況，并將式（19）代入式（17），得到整周傾斜誤差曲線如圖6所示。

圖6 Matlab對傾斜誤差的模擬結果

由圖6可看出，安裝傾斜會導致整周二次諧波誤差，且隨著傾斜量的增加誤差也隨之增加。綜合圖（4）與圖（6）的誤差曲線可知，如果將這幾種主要的誤差成分消掉，傳感器的精度就能夠得到很大提升。

2.4 多測頭平均效應

在傳感器實際測量中，采用多測頭平均讀數的方式可以顯著減小安裝誤差。多測頭讀數是將每個測頭視為一個單獨的測角系統，對每個測頭信號進行單獨處理，最后將各個測頭的測量角度相加進行平均后得到準確的角位移值。多測頭結構采用在圓周上整周均布多個測頭的方式減小除測頭數整數倍以外的所有頻次諧波誤差，由式（7）簡化得到：

以雙測頭為例，當整周間隔180°對稱布置2測頭時有

則輸出電壓與測量誤差可以表示為

式（22）中只包含誤差的偶次諧波，奇次諧波都被抵消，這其中包括整周的一次誤差。

以圖2為例，設雙測頭分別布置在A、B所示位置，其中單個測頭的偏心誤差曲線如圖7所示。

圖7 雙測頭結構中各測頭的誤差曲線

當共同測量時，由于誤差的變化趨勢是兩條相位相反、幅值相同的誤差曲線，因此整周的一次誤差會因為疊加勻化作用而相互抵消。同理可得，當整周分別布置2測頭、n測頭時偏心誤差的表達式為：

在安裝誤差存在時，經由電場仿真計算得到的模擬結果如圖8所示，沿圓周均布的多個測頭能夠很大程度抵消相應頻率成分的諧波誤差。因此，電容式圓時柵傳感器采用封閉圓周均布感應電極的傳感方式，能夠顯著地抑制安裝等因素對讀數的影響，大幅提高測量精度。

圖8 多測頭安裝誤差的模擬結果

3 實驗

通過上述分析可知，安裝偏心會導致整周一次誤差，安裝傾斜會導致整周二次誤差。為了進一步驗證仿真結論，設計如圖1所示的傳感器模型。傳感器需要在絕緣基材上進行多層加工實現極片間的連接和感應，PCB工藝相對成熟、生產效率高、價格低廉，適用于大批量低成本的運用場合。實驗采用PCB工藝制作傳感器樣機，如圖9（a）所示，傳感器直徑為305 mm，極片長度為10 mm，分別見圖9（b）和圖9（c）。

圖9 納米時柵實驗平臺

為了測試安裝帶來的誤差影響，建立如圖9所示的實驗平臺。轉子由精密氣浮轉臺帶動轉動，安裝間隙為0.9 mm。轉臺內部選用定位精度為0.5″、分辨率為0.01″的高精度光柵進行讀數，并與時柵值比較得出誤差值。整個實驗平臺安裝在大理石基座上進行防震處理，并嚴格控制實驗溫度、濕度。

首先對單組測頭結構的傳感器進行測試，采用1／4圓周的傳感電極作為一組獨立測頭進行讀數。整周采樣25點，實驗結果如圖10所示。誤差的峰峰值為16″，主要是整周一次與二次的諧波誤差，幅值分別達到了7.5″與2.2″。

圖10 單組測頭讀數實驗結果

而后進行雙組測頭讀數試驗，有2種安裝模式：對徑安裝與相鄰安裝。對徑安裝指在圓周對應180°位置對稱安裝一組獨立測頭，相鄰安裝指在圓周90°位置相鄰安裝一組獨立測頭進行讀數，采取同樣的采樣方法。對徑安裝實驗結果如圖11（a）所示，與單組測頭讀數相比，對徑讀數能夠大幅減小由安裝偏心帶來的一次諧波誤差，因此整周誤差峰峰值減小到了6″，一次諧波的幅值由單測頭的7.5″減小為1.05″。理論上對徑二測頭布置無法消除二次諧波誤差，但由于測頭數量多了1倍，帶來的勻化效果使二次諧波幅值減小至1.5″。相鄰安裝實驗結果如圖11（b）所示，理論上相鄰雙測頭布置無法消除整周一次諧波誤差，但其一次諧波誤差由于測頭的勻化效應，也減小了約一半左右。

圖11 雙組測頭讀數實驗結果

最后，在雙組測頭基礎上在90°、180°位置分別添加一組測頭，即整周均布測頭，其實驗結果如圖12所示。通過多測頭自身具備的誤差抵消與誤差勻化2種效果，使整周誤差的峰峰值減小至1.5″，一次諧波的幅值減小為0.15″，二次諧波的幅值減小至0.33″。

圖12 多測頭讀數實驗結果

由上述實驗可以看出，安裝偏心與傾斜會帶來整周一次與二次諧波誤差，可以通過整周均布多測頭的方式，利用其誤差抵消與勻化效應降低傳感器對安裝誤差的敏感度，使測量誤差能夠控制在相對較小的范圍內。

4 結論

1）由安裝引起的偏心、傾斜誤差可以等效為定子在轉子極片的不完全重合，這個不重合量可以由偏心及傾斜角度的大小算出。采用多測頭讀數時，具有的平均效應可以有效消除單測頭采集時造成主要影響的一次、二次諧波誤差，極大降低安裝誤差對測量精度的影響。

2）采用PCB工藝制造整周周期數420、半徑305 mm的圓時柵傳感器。實驗驗證了由安裝偏心帶來的誤差主要為整周一次諧波誤差，由安裝傾斜帶來的誤差主要為整周二次諧波誤差。在整周均布多測頭可以針對性地降低由于安裝精度不足帶來的整周誤差，降低安裝要求，有效地提高納米時柵圓傳感器的測量精度。