應用赤池信息量準則優選慣性元器件的隨機誤差模型

祝元浩，常國賓，楊木森

（中國礦業大學 環境與測繪學院，徐州 221116）

慣性導航系統（Inertial Navigation System,INS）以自主性、抗干擾性和能夠提供短時高精度的姿態、速度和位置信息而廣泛應用于各個領域，但INS 的誤差會隨時間的累積快速增大，精度也會快速降低[1,2]。INS 的誤差主要來自慣性元器件的誤差。慣性元器件的誤差可分為確定性誤差和隨機性誤差，確定性誤差可在實驗室進行標定補償[3,4]，而隨機性誤差則需要建立隨機誤差模型進行分析。慣性元器件的隨機誤差類別眾多，例如量化噪聲、角度隨機游走、馬爾可夫噪聲、正弦噪聲、零偏不穩定性、角速率隨機游走和速率斜坡等。由于并非所有的隨機誤差都具有較大的影響，通常會忽略影響微弱的隨機誤差。

在慣性元器件隨機誤差建模中，通常選擇不同的隨機噪聲成分組合構建模型，比如有將隨機誤差建模為白噪聲與隨機游走的結合[5]，或直接以常見的角度隨機游走、零偏不穩定性和角速率隨機游走構建隨機誤差模型進行分析[6]，這樣根據慣性元器件特性構建隨機誤差模型的經驗假設方法具有一定的局限性。自相關性分析法和功率譜密度分析法可以得到隨機誤差在時域和頻域的統計特性，進而判斷隨機誤差類型，從而構建隨機誤差模型，但是這種傳統的時序分析法很難將不同類別的隨機誤差分離。1966 年，Allan[7]提出了Allan 方差分析技術用于分析振蕩器的相位和頻率不穩定性，由于慣性傳感器本身也具備振蕩器的特征，隨后被廣泛地應用在慣性傳感器隨機誤差識別中，并被IEEE 標準所采納[8]。根據不同類別隨機誤差的Allan 方差在不同相關時間的雙對數圖上表現的斜率不同，來判斷隨機誤差類別，這種被廣泛使用的方法也被叫做Allan 方差分析法[9]。盡管Allan 方差分析法較為簡單，但是這種方法依賴視覺檢查和干預，因此容易出現誤判的情況。

模型選擇理論已被廣泛使用于統計學、機器學習以及其他領域。本文研究目的是建立合適的隨機誤差模型來描述慣性元器件的隨機誤差。因為上述方法確定的隨機誤差模型存在偏差，本文將運用模型選擇理論，對隨機誤差模型中的誤差類別進行選擇，確定合適的隨機誤差模型。由于Allan 方差與各隨機誤差之間具有獨立且明確的關系，所以本文將基于Allan 方差構建隨機誤差模型作為研究對象。

赤池信息量準則（Akaike Information Criterion,AIC）是模型選擇領域廣泛使用的模型選擇方法，它能對模型的復雜度和擬合程度進行綜合評價。AIC 在誤差模型領域已經得到了廣泛的應用，比如它被使用于GNSS 長時間噪聲模型的選擇[10]和模型正則化參數的選取[11]；在組合導航中也常被用于AR 模型的階次選擇[12,13]。

本文將基于Allan 方差構建若干含不同隨機誤差類別的待選模型，使用赤池信息量準則對備選模型進行優選，確定較為合適的隨機誤差模型來描述慣性元器件的隨機誤差，并通過實測數據進行分析，從而驗證所提方法的有效性。

1 Allan 方差及其隨機誤差

假設有一組角速率的數據為Ω：{Ω1,Ω2…ΩN}，采樣周期為T，將該數據分為n（n＜N/2）個數據為一數據簇，組成具有k（k=N-n+1）個數據簇的集合，如圖1 所示，相鄰數據簇之間具有最大的重疊度。

圖1 Allan 方差樣本數據簇示意圖Fig.1 Allan variance sample data cluster diagram

每一個數據簇的相關時間為：

每一個數據簇的平均值為：

則該相關時間τ所對應的Allan 方差可表示為：

按照上述方法，可計算得到各相關時間所對應的Allan 方差。在圖解分析時，可將Allan 標準差按相關時間大小，依次繪制在雙對數圖中，得到Allan 標準差在對數坐標下的分布圖。如圖2 所示，可根據不同斜率來判斷隨機誤差的類別。

圖2 曲線斜率與隨機誤差類別關系Fig.2 Relationship between curve slope and stochastic error category

每個相關時間下的Allan 方差是根據每個數據簇的有限集合計算的，故Allan 方差精度取決于相關時間下數據簇的個數。數據簇所含數據量越多，誤差越大。當數據量為N，每個數據簇所含數據個數為n時，百分比誤差δ[14]可表示為式(4)，則Allan 標準差與Allan 方差的誤差可近似表達為式(5)和式(6)：

Allan 方差與雙面功率譜密度PSD 有如下關系，

由式(7)可知，在不同的相關時間τ下，以sin4(πfτ)/ (πfτ)2為傳遞函數的濾波器，Allan 方差與隨機誤差的總功率成正比，且 sin4(πfτ)/ (πfτ)2濾波器隨著相關時間τ不斷改變。因此，Allan 方差可以識別不同的隨機誤差。

陀螺中常見的五種隨機誤差分別是：量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走和速率斜坡[8]。由Allan 方差與雙面功率譜密度的關系式(7)，可以得到各隨機誤差所引起的Allan 方差。各隨機誤差的Allan 方差與功率譜密度的關系如表1 所示。

表1 各隨機誤差的Allan 方差與功率譜密度Tab.1 Allan variance and power spectral density of stochastic errors

2 擬合算法

由上節可知各隨機誤差所引起的Allan 方差大小，則總的Allan 方差可表示為各隨機誤差所引起的Allan方差之和，由此構建基于Allan 方差的隨機誤差模型。本節以量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走和速率斜坡五類隨機誤差為例，進行建模分析，即總的Allan 方差可表示為：

根據表1 將上式轉換為：

也可寫為通式形式：

傳統的隨機誤差系數擬合方法是基于最小二乘原理，直接根據式(10)擬合隨機誤差系數。這種方法常常會出現隨機誤差系數為負的情況，并且未考慮不同相關時間下的Allan 方差精度差異。為了避免異常值的出現，有學者使用分段Allan方差分析法進行分析[15]，即在不同的相關時間內擬合相應的隨機誤差項，避免了異常值的出現；有學者在分段的基礎上提出了重疊分段Allan 方差方法，進一步提高了估計精度[16]。由于并非所有的隨機誤差都有較大的影響，直接使用最小二乘對每一段進行系數擬合的做法是不合適的[17]。一種更為常用的獲取隨機誤差系數的方法是Allan 方差斜率法，它利用Allan 標準差的雙對數曲線，按照不同的斜率提取相應的隨機誤差系數。本文采用加權最小二乘擬合算法，即對不同間隔的Allan 方差數據進行合理的加權，并以代替βi，來約束隨機誤差系數為正，將式(10)右邊轉換為關于α的函數f(α)。

對于式(12)可使用加權非線性最小二乘法求解，例如使用高斯牛頓或列文伯格-馬夸特法[18]求解模型系數。

采集5 h 單軸陀螺靜態測量數據作為實驗數據，因為Allan 方差斜率法需要目視解譯確定隨機誤差類別，所以加權最小二乘法采用與斜率法相同的隨機誤差類別進行擬合。經過目視解譯，大致確定隨機誤差類別為角度隨機游走、零偏不穩定性和角速率隨機游走。分別使用Allan 方差斜率法和加權最小二乘擬合法求出隨機誤差系數。Allan 方差斜率法與加權最小二乘法所得的各隨機誤差大小如表2 所示。將各個誤差系數帶入模型中進行表達，結果如圖3 所示。其中圖3(a)是Allan 方差斜率法所得模型的曲線，圖3(b)是加權最小二乘法所得模型的曲線。可以看出加權最小二乘法擬合的曲線更加貼合Allan 標準差的曲線。由圖3(a)看出，后半段的擬合曲線整體高于Allan 標準差曲線，這是由于Allan 方差斜率法求得的零偏不穩定性偏大。其原因是在斜率處提取的隨機誤差系數是各隨機誤差在該相關時間下的總和，若在該相關時間下其他隨機誤差并不是小到可以忽略，則就會導致在該處提取隨機誤差系數偏大。故該加權最小二乘擬合法與廣泛使用的Allan 方差斜率法對比，所求得隨機誤差系數更加準確。

表2 兩種方法所求的隨機誤差Tab.2 The stochastic error values obtained by the two methods

圖3 模型曲線對比Fig.3 Comparison of model curves

3 赤池信息量準則

赤池信息量準則（Akaike Information Criterion,AIC）是20 世紀70 年代由統計學家赤池弘次創立，它建立在信息論中熵的概念的基礎上，評價模型的復雜度與擬合程度。AIC 是KL 散度（Kullback-Leibler Divergence,KLD)的無偏估計[19]。KLD 又稱相對熵，是描述真實數據的概率分布與模型概率分布之間的差別，但是真實數據的概率分布是未知的，只能使用樣本分布來近似總體分布。而構建AIC 的重要一環就是確立了近似的KLD 與經驗似然估計的緊密聯系。對近似的KLD 進行補償，若補償項為模型參數個數n時，則補償后的KLD 即為AIC，AIC 計算公式如下：

其中n為參數個數，θ表示模型參數，是通過真實數據y計算得到的模型參數估計值，為對數似然函數，計算公式為：

4 實驗分析

采用IMU-KVH1750 慣性測量單元內置的閉環光纖陀螺儀作為實驗儀器，輸出頻率為200 Hz，儀器輸出為角速率，其單位為rad/s。將儀器處于靜止狀態，記錄5h 單軸陀螺觀測數據作為實驗數據。圖4 為陀螺儀5h的觀測數據（將相鄰10個輸出數據作平滑處理）。

圖4 陀螺儀5 小時觀測數據Fig.4 Gyroscope 5-hour observation data

為了實現慣性元器件隨機誤差優選，需要建立備選模型。根據上文中常見的隨機誤差類別，進行排列組合，可建立31 種不同誤差類別所構成的隨機誤差模型。但是這其中許多隨機誤差組合模型是偏離實際情況的。本文根據儀器特性挑選了6 個符合實際情況的待選模型：包含角度隨機游走和零偏不穩定性的NB模型；包含角度隨機游走和角速率隨機游走的NK 模型；包含角度隨機游走、零偏不穩定性和角速率隨機游走的NBK 模型；包含量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性的QNB 模型；包含量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性和角速率隨機游走的QNBK 模型；包含量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走和速率斜坡的QNBKR 模型。

使用加權最小二乘擬合法計算上述六個備選模型的隨機誤差系數，再計算各模型的負對數似然函數與AIC，如表3 所示。圖5 為各模型的曲線與Allan 標準差之間的對比。

表3 各模型隨機誤差系數與AICTab.3 Stochastic error coefficient and AIC of each model

圖5 各模型擬合曲線與Allan 標準差曲線的對比Fig.5 Comparison of fitting curves of each model with Allan standard deviation curve

由表3 可知，NBK 模型的AIC 最小，即由角度隨機游走、零偏不穩定性和角速度隨機游走組成的隨機誤差模型能夠較合適地描述真實的隨機誤差。其中NBK 模型、QNBK 模型和QNBKR 模型的AIC 的值較為接近，從圖5(c)(e)(f)可看出，這三個模型的模型曲線更加貼合Allan 標準差的曲線。根據表3 數據，QNBK 模型和QNBKR 模型在τ冪次為-1、0、1 的系數值與NBK 模型基本相同，說明模型所包含角度隨機游走、零偏不穩定性和角速率隨機游走的隨機誤差數值基本相同。這兩個模型還包含其他隨機誤差類別，但是負對數似然函數值并沒有明顯的變化，說明其他隨機誤差類別對模型貢獻很小，故在本次實驗中角度隨機游走、零偏不穩定性和角速率隨機游走具有較大的影響，而量化噪聲與速率斜坡在本實驗中影響較小。影響較小的隨機誤差不僅對模型貢獻小，還增加了模型的復雜度，故QNBK 模型與QNBKR 模型的AIC 值都大于NBK 模型。其他模型的AIC 較這三個模型偏大，是因為這些模型忽略了具有較大影響的隨機誤差，例如NB 模型與QNB 模型都缺少了角速度隨機游走。綜上所述，根據AIC 可以對隨機誤差模型中隨機誤差進行選擇，確定合適的隨機誤差模型描述真實的隨機誤差。表4 為NBK 模型各隨機誤差的數值。

表4 NBK 模型的各隨機誤差Tab.4 Stochastic errors of NBK model

圖6 為模型的功率譜密度、模型模擬的功率譜密度和原數據的功率譜密度。從圖6 中可以看出，模型模擬的功率譜密度與原數據的功率譜密度比較吻合，且黑線所代表的模型功率譜密度與原數據的功率譜密度符合較好，這也反映了NBK 模型可以較好地描述隨機誤差。

圖6 NBK 模型模擬的功率譜密度與原數據功率譜密度的對比Fig.6 Comparison of power spectral density between NBK model simulation and original data

5 結論

本文提出了應用赤池信息量準則對慣性元器件隨機誤差模型優選的方法，通過實測數據分析，能夠準確地對隨機誤差模型中隨機誤差項進行優選，確定合適的隨機誤差模型，驗證了方法的有效性。與傳統目視Allan 方差的方法相比，此方法不依賴于視覺檢查與人工干預，且評判標準綜合了模型的擬合度與復雜度。本文還提出了加權最小二乘擬合法，即對不同相關時間下的Allan 方差數據進行加權，并將隨機誤差系數的對數作為預估系數，避免了異常值的出現。本文所提的方法無需人為干預，支持使用Allan 方差完成慣性元器件隨機誤差的自動化校準。