APOS理論視角下的初中數學概念教學
——以三角形概念教學為例

崔園園

(1.揚州大學 數學科學學院,江蘇 揚州 225002;2.江蘇省太倉市良輔中學,江蘇 蘇州 215400)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》在對“會用數學的思維思考現實世界”的解釋中指出:通過經歷獨立的數學思維過程,學生能夠理解數學基本概念和法則的發生與發展,數學基本概念之間、數學與現實世界之間的聯系[1].基于此,如何有效進行概念教學是數學教師值得研究的問題.

1 問題提出

從教育者的角度來看,教師雖然意識到概念教學的重要性,但要形成一節完整的概念教學課耗時較多,若留給學生大量的探究時間,則會減緩教學進度.反之,大部分教師更愿意將時間花費在解題上,通過題海戰術來實現學生對概念的鞏固與理解.從學習者的角度來看,初中學生的數學抽象水平仍處于一個較低的層次,教師如果不能引導學生經歷一個完整的概念形成過程,很難培養學生發現問題與提出問題的能力.因此,在進行概念教學時,教育者需要參考已有的相關研究,改進教學模式,充分調動學生的主動性.

2 APOS理論概述

APOS是美國學者杜賓斯基提出的建構主義學習理論,該理論的前身是皮亞杰的“自反抽象”,自反即“反自”,意為抽身而出,對于自己結束的活動進行觀察與反思,從而最終經過抽象得出一個比較嚴謹的結論[2].之后,杜賓斯基對于這一理論進行了再認識,最終形成 “APOS”理論.該理論主要分為四個階段:Action(活動階段)、Process(程序階段)、Object(對象階段)以及Schema(圖式階段).

3 教學案例

本文以“認識三角形”為例,將APOS理論融入初中數學概念教學過程中.

3.1 操作階段

操作階段又為“活動階段”,學生通過一系列的活動,初步建立對于所學概念的直觀感知.此處的活動不局限于觀察、操作、探索及歸納等外顯活動,還包括內隱活動,即學生對于頭腦中已有的經驗性知識進行回憶與反思.

①外顯—觀察

問題1:請同學們觀察課件上兩張圖片,你能從中看出哪些熟悉的圖形?

問題2:除了上述圖片,你能從日常生活中再找出一些熟悉的三角形的實物嗎?

②內隱—回憶

問題1:請你們嘗試著回憶小學階段中已經學習過的三角形的相關知識.

問題2:有學生會問,為什么我們之前已經學習過三角形,現在還要學習?那么我們回顧之前獲得這些知識的過程,發現大部分知識都是通過觀察得出的,數學是一門嚴謹的學科,那么這些知識是否正確?你該如何驗證?

設計說明:首先,引導學生從生活實例中抽象出幾何圖形,引出本節課的課題,并依據幾何圖形想象出所描述的實際物體,初步建立學生的空間觀念;其次,提問學生已經學習的三角形的相關概念,學生回憶在小學階段已經學習過三角形的概念,師生共同歸納出結構框圖,也建立起幾何概念的學習體系.

3.2 程序階段

程序階段是指對于活動階段進行反思,對活動中所得的經驗進一步抽象,從而得出概念本質特征.

活動1:規范定義

①內隱—回憶

問:我們剛剛回憶時談到三角形的概念,請你說說什么叫三角形?

學生回答各不相同,但基本上不能完全準確地說出三角形的概念.

②外顯—操作歸納

師:請同學們拿出木棒搭建三角形,并從搭建好的三角形中挑選出“特殊”的圖形.學生按照教師提示拿出木棒搭建三角形,并將自己搭建好的三角形與課件上兩張圖片對比,從而完善三角形概念.

活動2:符號表示

①外顯—觀察

問:觀察課件上的屋頂框架,指出其由幾個三角形構成,分別是哪些?

②內隱—思考

問題1:回憶三角形構成要素.

問題2:類比角的符號表示,用符號表示三角形并完善表格,最終解決①中的問題.

問題3:屋頂框架是由哪些三角形構成的?

活動3:明確分類

①內隱—回憶

問題1:結合所學知識,你能給三角形分類嗎?

問題2:有學生提到按角可以分為鈍角,銳角和直角三角形,也有同學提到按邊可以分為等腰三角形和等邊三角形,請思考:這兩位同學各自的分類是否能夠包括所有的三角形?如果不能,請你指出哪一種分類存在瑕疵?

師生共同歸納三角形的準確分類.

②外顯—操作

課件出示一些三角形的圖片并進行分類.

活動4:探究性質

①外顯—操作

問題1:拿出5根長度分別為3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,9 cm的吸管,任意取出3根首尾相接搭三角形,你可以搭出幾種不同的三角形?

問題2:哪些情況下小木棒經過組合能構成三角形?哪些情況下小木棒經過組合不能構成三角形?

師:在經過上述問題的初步探究之后,我們有同學已經提出:三角形兩邊之和大于第三邊.但在這個過程中數據量還是比較少的,接下來請看老師用幾何畫板進行的操作展示.

②內隱—思考

問題1:將三角形三邊關系的文字語言轉化為符號語言.

問題2:你能否用我們已經學習的知識來證明該結論?請同桌二人相互討論.

問題3:在探索“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的過程中,你是否有其他結論?

問題:關于“三角形任意兩邊之差小于第三邊”的證明,留給你們課后思考.

設計說明:在三角形概念引入的過程中,小學是直接通過觀察,教師總結概念得出,因此在活動1中,對小學學習中三角形概念進行了進一步的完善,增加了“不在同一條直線上”;活動2通過三角形框架這一模型認知沖突,學生體會到符號表示的必要性,進一步認識三角形的基本元素,學生在這個過程中“會用數學的思維思考現實世界”.

3.3 對象階段

對象階段是對操作階段和過程階段的延續與拓展,這一階段是對前面兩個階段得出的概念進行符號化,實現“壓縮”和“解壓縮”的過程.

例1下列數據中,能組成三角形的有( )組.

① 3,8,10;② 5,2,7;③ 5,5,11;④ 13,12,20.

A.1 B.2 C. 3 D. 4

問題:在解決上述問題的過程中,有沒有能夠快速判斷構成三角形的方法?

變式1:在三角形中,已知一邊長是4 cm,另一邊長是8 cm,求第三邊a的取值范圍;

變式2:在上述三角形中,若第三邊是偶數,求第三邊;若第三邊是奇數,求第三邊.

例2已知等腰三角形的一邊是5 cm,另一邊是7 cm,求這個三角形的周長.

變式:若等腰△ABC周長為30,AB=6,求其余邊的長.

設計說明:通過上述例題,引導學生在解決問題的過程中學會總結方法.在變式訓練中,學生需要進行分類討論,呈現知識的層次性.在這個過程中,學生逐步“會用數學的語言表達現實世界”.

3.4 圖式階段

圖式階段是對前三個階段進行整合,學生在此階段已經具備相應的知識與經驗基礎,該階段主要是將新知納入已有認知,對認知結構進行整合.

任務1:繪制出本節課學習內容的框架.

任務2:討論本節課和之前學習三角形相關概念的區別.

設計說明:圖式環節既鞏固了前三個階段,也引導學生發現前后學習內容的區別,學生的圖式結構得到進一步完善.

4 思考與啟示

在APOS理論的指導下,學生在活動中獲取知識,在反思中理解概念,最終完成概念學習.在教學中,四個階段運用APOS理論時需注意以下幾點.

4.1 創設情境

活動階段需要創設合適的情境,該階段是學生學習新知識的起點,若以純粹的數學性知識引入,學生會覺得枯燥乏味.首先,情境的創設要能夠體現教學目標,有利于教學活動的展開;其次,情境的選擇需要具有真實性,需聯系學生的已有經驗,否則會影響學生對概念探究的興趣;最后,選擇情境時還需注意情境的多樣性.

4.2 巧設問題串

程序階段要巧妙設計問題串.首先,問題串的設計需要體現出教學過程中的重難點,在整個過程中教師須發揮引導作用,通過問題串引發學生的認知沖突;其次,問題串的設計要具有層次性,后一個問題的提問是對前一個問題的補充和拓展,學生能夠在問題串的回答過程中不斷接近知識全貌,對學生自主探究概念的過程有一定的啟發性.

4.3 變式教學

對象階段是集“壓縮”與“解壓縮”于一體的過程,其主要功能是對“活動階段”和“程序階段”進行內化.該階段主要是通過例題和習題呈現,但是題目的呈現不能是簡單機械地重復,需要教師挑選出典型例題,對題目中的條件與結論進行變式,不斷變換題目中的非本質特征.學生能不斷抽象出概念本質特征,教師還應給予學生一定的自主性,引導學生自主對題目進行變式,也可以呈現出一些開放式的題目,多給學生一些反思和歸納的時間與空間.

4.4 靈活運用APOS

APOS理論具有一定指導意義,沒有固定的模式,教師在進行教學設計時,應充分考慮知識結構及學生的學情,進行合理的分階段設計,適當對四個階段進行重組和補充.

5 結束語

通過應用APOS的四階段理論來指導概念教學,學習者可以更好地理解概念的生成過程,主體性地位在進一步增強,從而提升了他們的思維水平.